2.3 抛物线（通用）教学设计

《拋物线及其标准方程》教学设计

教学内容分析

在初中，抛物线图像为学习二次函数yax2bxc提供直观感觉；在高中阶段，它在一元二次不等式的解法、求最大（小）值等方面有着重要的作用。本节内容是在必修阶段学***面解析几何初步的基础上，学习椭圆和双曲线等相关知识后，结合初中学过的抛物线的相关知识，进一步学习抛物线的，从而对圆锥曲线有一个比较完整的认识。这一节放在椭圆和双曲线之后，一方面是三种圆锥曲线统一定义的需要，拋物线只是离心率e1的特例；另一方面也是解析几何“用方程研究曲线”这一基本思想的再次强化。教材的这种安排，是为了分散难点，符合认知的渐进性原则。

现在，社会需要我们教师培养出不仅“能学”知识，而且“会学”知识的优秀人才。很多一线教师提出了“创设问题情景—激发兴趣与情感、主动探索与发现，促进多元个性化发展”的教学模式。在课堂教学设计上，教师应学会如何创设问题情景，激发学生学习兴趣；围绕教材的重难点，始终关注学生知识和能力的形成。

学生学习情况分析

我校有优越的多媒体设备，每间教室安装有班班通设备。学生的数学基础大多数不好，但有强烈的求知欲，具备一定的分析、观察等能力。在此之前，学生已经比较熟练掌握二次函数图象、椭圆、双曲线的第二定义与求轨迹方程等内容，迫切想了解抛物线的本质特征。但是在动手操作与合作学习等方面比较欠缺，有待进一步加强。

教学目标

1、理解拋物线的定义，掌握拋物线的标准方程及其推导，明确拋物线标准方程中P的几何意义，会解决两类简单问题，即给出抛物线求焦点坐标或准线方程，给出一些条件求抛物线方程。

2、通过对拋物线和椭圆、双曲线离心率的比较，体会三种圆锥曲线内在的区别和联系。熟练掌握求曲线方程的基本方法。通过展示抛物线的形成过程及其标准方程的探讨，体会有观察、类比联想、分析概况来解决问题的一般方法。

3、引导学生用运动变化的观点发现问题、探索问题、解决问题，培养学生的创新意识，体会数学的简捷美、和谐美。培养合作学习的意识，体会成功带来的喜悦。发展数学应用意识，认识数学的应用价值。

教学重点和难点

教学重点: 拋物线的定义及其标准方程的推导。

教学难点：拋物线概念的形成。

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教学过程设计

一．设置情景，导入新课

（播放视频）播放全明星三分球冠军的视频。（此时学生的兴趣来啦！）

师：在CBA三分球投篮打赛中，于长春不停歇地用时短短的一分钟投篮就命中了24分的好成绩。他远距离投篮这么精准！为什么呢？

生：天赋、身高！

生：勤奋练习！ 生：与投篮时的弧线有关！

生：这弧线是抛物线！

师：对！于长春有优越的先天条件，同时好的技术也是一个关键的因素，今天我们就着手研究这个内容。

（进而引出本节研究的课题：抛物线及其标准方程）

【设计意图】

良好的开头课堂成功一大半，，激发兴趣，大大提高教学效率。

二．引导探究，获得新知

师：前面，我们学习了椭圆和双曲线的相关知识，它们的标准方程分别是什么？

x2y2x2y2212122abab生：椭圆是，双曲线是。（打开几何画板）

师：现在我慢慢拖动，大家认真观察图象。当0e1是什么曲线，当e1是什么曲线，当e1是又什么呢?

生：0e1是椭圆，e1是双曲线。

师：但你们有没观察到e1时的图象？

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生：抛物线！

【设计意图】学生认真观察图象的变化，认知e1的图象就是抛物线。不仅回顾了椭圆与双曲线的相关内容，而且为如何画抛物线奠定坚实基础。

师：这抛物线是怎么画出来的啊！（课堂顿时一片寂静）

众生：e1！

师：e1是什么意思？ 探究活动：

把一根直尺固定在画图板内直线l的位置上，一块三角板的一条直角边紧靠直尺的边缘；把一条绳子的一端固定于三角板另一条直角边上的点A，截取绳子的长等于A到直线l的距离AC，并且把绳子另一端固定在图板上的一点F；用一支粉笔扣着绳子，紧靠着三角板的这条直角边把绳子绷紧，然后使三角板紧靠着直尺左右滑动，这样粉笔就描出一条曲线，这条曲线叫做抛物线．反复演示后，请同学们思考抛物线有怎样的几何特征，并归纳抛物线的定义，教师总结．

【活动设计】前后学生组成四人小组，动手实践。教师以平等的身份介入学生的讨论中，并且关注学生疑惑，及时引导鼓励，了解学生探究的进展，把握课堂节奏。

【设计意图】培养学生动手实践与逻辑思维能力，增强学生的学习兴趣，培养合作交流的意识，体验成功带来的喜悦，增强学生的自信心。

师：接下来我来演示下抛物线的形成过程。（打开几何画板软件）

师：认真观察P点的运动过程，你们有什么发现？

生：APPC和APPF等于AC，所以点P在运动时，CP始终等于PF。

师：这位同学观察很敏锐，直接抓住关键地方！

师：现在你们就可以归纳一下抛物线的定义了！ 生：到点F的距离和到直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。

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师：这样归纳完整吗？

生:应该说，平面内到一个定点F和到一条定直线L的距离相等的点的轨迹叫做拋物线。

生：还要注意定点不能在定直线上。

师：为什么啊？

生：如果这样，就只能找到一个点。

师：说得很好！这里F叫做拋物线的焦点，定直线L叫做拋物线的准线。

【设计意图】着重培养学生分析、归纳等能力。

三．深入探索，推导方程

师：回顾求曲线方程的步骤是什么呢？

生：建系—> 设点—>列式—>化简。

师：接下来我们推导拋物线的方程？ 探究活动：

展示三种建系方法，让学生探讨哪种建系方法较好，一段时间后展示学生结果。（分组讨论）

1.以K为原点，定直线所在的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时得方程为：y22pxp2p0 2.以F为原点，过F且垂直于定直线F的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：y22pxp2p0

3.以垂线段KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，此时得方程：y22pxp0

师：哪个好呢？

y

y

y

K

F

K

F



K

F

x

x

x

L

L

L

生：方案3所得的方程更简洁！

师：我们就把它叫做拋物线的标准方程，注意这里标准的规范是顶点在原点，图象关于x轴对称。

【设计意图】通过有启发性的活动设计和层层深入的问题设置，使学生在分析、探究、反思和归纳中，不断获得解决问题的方法。

图2图1图3

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师：接下来看课本的一条拋物线，试将你们的课本逆时针旋转90再观察，会有什么发现？

生：x轴和y轴对调了。

生：还有开口向上了！

师：同学观察得很仔细！那么你们能推出它的方程吗？

22yy2pxxx生：将中的和对调就行了，就是2py！

师：大家在等式两边同除2p看看！

y12x2p，哦，是二次函数形式！

生：师：对了！这就是我们熟悉的二次函数了！

师：那再逆时针旋转90，怎么求？

22yy2pxyxx生：和图象关于轴对称，将替换就行，就是2px！

师：再逆时针旋转90呢？

22yyx2pyxx众生：和图象关于轴对称，将替换就行，就是2py！

（打开课本的表格，学生迅速完成表格内容！）

标准方程

图形

焦点坐标

准线方程

y22pxp0

p2,0

xp2

y22pxp0x22py

p2,0

xp2

p0

p0,2

yp2

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x22pyp0

p0,2

yp2

师：你们完成的过程有没什么发现？

生：从y22pxp0的形式上，方程的一次项决定焦点的位置。

p,0生：还有一次项系数符号决定开口方向，而且可以迅速算出焦点坐标为2和xp2。

准线方程为【设计意图】通过老师的层层引导，学生自主完成课本的表格的内容，认清抛物线和二次函数图象的联系，认清抛物线标准方程的各种形式。引导学生透过现象看本质，不断提升分析、总结与归纳等能力，也为分析例题和解决实际应用问题奠定理论基础。

四.知识应用

1．已知抛物线方程

求

相关量。

【例1】已知下列抛物线方程，求抛物线的焦点和准线方程。

（2）y12x2 （3）yax2(a0)

（1）y26x

2.已知

相关条件

求

抛物线的方程。 【例2】求适合下列条件的抛物线的标准方程

（2）准线方程为：x（1）焦点坐标为（-5，0） 1

4（3）焦点到准线距离为5 （4）抛物线过点A（2，-3）

【设计意图】巩固抛物线方程四种的形式及曲线特征，熟悉相关公式。强调解决抛物线方程问题时要先转化为标准方程。

五、巩固练习

1．求下列抛物线的焦点坐标和准线方程 2y8x

（1）2x4y （3）2y23x0

（4）y1x（2）26

2．根据下列条件写出抛物线的标准方程

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（1）焦点是F(2,0) （2）准线方程是y1

3（3）焦点到准线的距离是4，焦点在y轴上 （4）经过点A(6,2)

3．抛物线x24y上的点P到焦点的距离是10，求P点坐标

六、拓展提高

师：现在我们回到上课前的视频，于长春在平时的一次投篮中，测得投篮的轨迹是抛物线，请看右边画的图形，抛物线最高点离底面距离为4m，篮框高为3m，篮框中心离最高点的水平距离为2m，怎么求投中时抛物线的方程？（生思考）

师：这是一道实际生活问题！我们如何将这个问题转化成数学问题呢？

生：建立直角坐标系！

师：那怎么建立啊？

生：这里应该以点O为坐标原点，OA所在直线为y轴建立坐标系，这样抛物线就在x轴下方，直接设x22pyp0，又B2,1，则p2，方程就是x24y！

师：很好！接着我们还可以算出？

生：只要知道姚明的身高，我们还可以算出投篮地方离篮框的水平距离。

师：非常好！

【设计意图】当遇到实际应用题，学生可能会感到困惑，但在教师的引导下，利用掌握的相关知识解决了实际生活问题。设计一道求投篮轨迹的方程的例题，不仅与开头遥相呼应，而且可以巩固新知识，加深学生的数学应用意识，让学生感受数学的价值，体会数学来自生活，又应用于生活，服务于生活。

七．概括小结

师：今天我们学习了什么内容？ 生：知道了抛物线的定义、四种标准方程类型。

师：这是知识方面的。我们还学到了哪些数学思想方法？

生：转化思想，求解抛物线方程问题时要特别注意先化成标准方程。

师：还有吗？

生：从椭圆和双曲线中e的变化研究到抛物线，实际是用了类比的方法。

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师：很好！今天我们学习的内容虽然不多，但是从知识、能力、思想与应用等方面都理解和体验了数学的奥秘！

【学情预设】学生总结出在知识、数学思想等方面的收获。

【设计意图】摆脱传统教学中教师小结的做法，让学生自己总结，加深对本节课内容的认识。

八．作业布置

板书设计

拋物线及其标准方程

1．拋物线的定义

例题

2．拋物线的标准方程

3．应用与小结

练习

教学反思

本节是在学生学习了椭圆、双曲线之后，因此在教学设计中，应注意充分调动学生已有的知识，引导学生把新旧知识有机结合，构建知识的系统结构。时时与前两种曲线进行比较，不断复习学生已经理解和掌握了的建系求曲线方程的步骤。为了突破本节课的难点——拋物线概念的形成。

注重理论联系实际，运用生活场景激发学生学习兴趣，创造宽松和谐、民主开放的教学环境，长此以往学生必将乐学、会学。

在教学设计中注重设计活动，通过活动培养学习的信心；对概念的形成过程中起到非常重要的作用，为学生的自主探究活动提供了实物载体，并能体会成功带来的喜悦；在活动中，借助几何画板数学软件为教学演示和学生的观察提供了平台；通过系列活动加深了学生对抛物线概念的理解，而且使课堂更加紧凑有序。

总之，在以学生发展为核心的理念背景下，要求我们在教学中必须精心设计问题情景，为学生自主探究和发现创造条件，为培养学生的实践能力和创新能力，构建一个探索性的良好学习氛围空间。

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