2.3 抛物线（通用）教学活动设计方案

2.3抛物线的定义及其标准方程

●学习目标

（一）学习知识点

1.抛物线的定义

2.抛物线的四种标准方程形式及其对应的焦点和准线

（二）能力训练要求

1.掌握抛物线的定义及其标准方程

2.掌握抛物线的焦点、准线及方程与焦点坐标的关系

（三）德育渗透目标

1.训练化简方程的运算能力

2.培养数形结合、分类讨论的思想

3.根据圆锥曲线的统一定义，可以对学生进行运动、变化、对立、统一的辩证唯物主义思想教育

●学习重点

1.抛物线的定义及焦点与准线

2.抛物线的四种标准方程形式，以及p的意义

●学习难点

抛物线的四种图形，标准方程的推导及焦点坐标与准线方程

●学习方法

启发引导式

通过回忆椭圆与双曲线的第二定义可引入抛物线的定义，从而推出抛物线的四种标准方程

●学习过程

Ⅰ.课题导入

［师］我们知道，到一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数的点的轨迹，当常数在（0，1）内变化时，轨迹是椭圆；当常数大于1时，轨迹是双曲线；那么当常数等于1时轨迹是什么曲线呢？这就是今天我们要学习的第三种圆锥曲线——抛物线，以及它的定义和标准方程

板书课题“抛物线及其标准方程（1）

［师］现在，同学们思考两个问题：

1.对抛物线大家已有了哪些认识？

［生］在物理学中，抛物线被认为是抛体运动的轨迹；在数学中，抛物线是二次函数的图象

［师］2.二次函数中抛物线的图象特征是什么？

［生］在二次函数中研究的抛物线，它的对称轴平行于y轴，开口向上或开口向下两种情形

［师］如果抛物线的对称轴不平行于y轴，那么就不能作为二次函数的图象来研究了.今天我们突破函数研究中的限制，从一般意义上来研究抛物线

Ⅱ.讲授新课

［师］如图所示，把一根直尺固定在图上直线l的位置，把一块三角尺的一条直角边紧靠着直尺的边缘，再把一条细绳的一端固定在三角尺的另一条直角边的一点A，取绳长等于点A到直角顶点C的长（即点A到直线l的距离），并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F，用铅笔

尖扣着绳子，使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺，然后将三角尺沿着直尺上下滑动，笔尖就在图板上描出了一条曲线.请同学们说出这条曲线有什么特征？（用PPT展示抛物线的形成）

［师］现在我们一起归纳抛物线的定义：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.下面根据抛物线的定义来求其方程，大家先想想一般求曲线方程的步骤

［师］现在大家自己求抛物线方程，根据抛物线定义，知道F是定点，l是定直线，从而F到l的距离为定值，设为p，则p是大于0的数

以下是学生的几种不同求法：

解法一：以l为y轴，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（p

设动点M（x,y)，由抛物线定义得：

(xp)2y2x

化简得：y2=2px－p2(p＞

解法二：以定点F为原点，过点F垂直于l的直线为x轴建立直角坐标系（如右图所示），则定点F（0，0），l的方程为x=－p

设动点M（x,y)，由抛物线定义得：

x2y2=|x+p

化简得：

y2=2px+p2(p＞

解法三：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（设动点M（x,y），由抛物线定义得：

pp,0）,l的方程为x=－. 22(xp2p)y2x

22化简得y2=2px(p＞

［师］通过比较可以看出，第三种解法的答案不仅具有较简的形式，而且方程中一次项的系数是焦点到准线距离的2倍.我们把这个方程叫做抛物线的标准方程，它表示抛物线的焦点在x轴的正半轴上，坐标是（pp,0），准线方程是x=－.现在22大家开始做课本P118上的练习第1题

学生们经过一番运算，得出当坐标系变为以过焦点且垂直于直线l的直线作为y轴，原点和抛物线都不变时，抛物线方程为x2=2py

完成巩固练习1：PPT 12页

［师］一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，如下表所示：

图形

标准方程

焦点坐标

准线方程

y2=2px(p＞0)

y2=－2px(p＞0)

x2=2py(p＞0)

x2=－2py(p＞0)

（

x=－p,0）

2

p

2

x=（－p,0）

2

p

2

（0,p）

2

y=－p

2

（0,－p）

2y=p

2［师］下面结合表格，完成PPT19`21 练习1-练习3 小结：1.看一次项(X或Y)定焦点

2.

一次项系数正负定开口

3.

看下列例题：

1.已知抛物线的标准方程是y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程

2.已知抛物线的焦点坐标是F（0，－2），求它的标准方程

分析：1.先根据抛物线方程确定抛物线是四种中哪一种，求出p，再写出焦点坐标和准线方程

2.先根据焦点位置确定抛物线类型，设出标准方程，求出p，再写出标准方程

解：1.∵抛物线方程为y2=6x

33，0）准线方程是x=－

22p2.∵焦点在y轴的负半轴上，且

2∴p则焦点坐标是（∴p则所求抛物线的标准方程是x2=－8y

Ⅲ.课堂练习

请学生板演

（1）根据下列条件写出抛物线的标准方程：

①焦点是F(0,3)，

②准线方程是x=－1，

4

∴抛物线开口向上，且③焦点到准线的距离是解：①∵焦点是F（0，3）则pp2

∴所求抛物线方程是x2=12y

②∵准线方程是x=－则p=1p1

∴抛物线开口向右，且=

4241∴所求抛物线方程是y2=x

2③∵焦点到准线的距离是∴p

∴所求抛物线方程是y2=4x、y2=－4x、x2=4y、x2=－4y

(2)求下列抛物线的焦点坐标和准线方程：

①y2=20x

②x2+8y

③2y2+5x=0

解：①∵抛物线方程为y2=20x

∴p则焦点坐标是F准线方程是x=－

②∵抛物线方程是x2+8y=0,即x2=－8y

∴p则焦点坐标是F（0，－2）准线方程是y

③∵抛物线方程是2y2+5x=0，即y2=－∴p=5x

25

855则焦点坐标是F(－84准线方程是x=Ⅳ.课时小结

由于抛物线的标准方程有四种形式，且每一种形式都只含有一个参数p，因此只要给出确定p的一个条件就可以求出抛物线的标准方程.当抛物线的焦点坐标或准线方程给定以后，它的标准方程就惟一确定

Ⅴ.课后作业课本67页练习3