3.1.2 空间向量的数乘运算教学目标

3．1.2

空间向量的数乘运算

空间中有向量a，b，c(均为非零向量)．

问题1：向量a与b共线的条件是什么？

提示：存在唯一实数λ，使a＝λb. 问题2：空间中任意两个向量一定共面吗？任意三个向量呢？

提示：一定；不一定．

问题3：空间两非零向量a，b共面，能否推出a＝λb(λ∈R)? 提示：不能．

1．空间向量的数乘运算

(1)定义：实数λ与空间向量a的乘积

λa仍然是一个向量，称为向量的数乘运算．

(2)向量a与λa的关系：

λ的范围

λ>0

λ＝0

λ<0

(3)空间向量的数乘运算律

设λ，μ是实数，则有

①分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb. ②结合律：λ(μ

a)＝(λμ)a. 2．共线向量

共线(平行)向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互定义

相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量

充要条件

对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ使a＝λb.

若两个向量a，b不共线，则向量p与a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 平行于同一个平面的向量叫做共面向量

共面向量

方向关系

方向相同

λa＝0，其方向是任意的

方向相反

模的关系

λa的模是a的模的|λ|倍

如果l为经过点A平行于已知非零向量a的直线，那么对于空间任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，使OP＝OA＋ta，①其中a叫做直线l的方向推论

如图，空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对(x，y)，使MP＝x

MA＋y

MB

，向量，如图所示. 若在l上取或对空间任意一点O来说，有OP＝AB＝a，则①式可化为OP

＝OA＋t

AB

.

OM＋x

MA＋y

MB.

1．λa是一个向量．当λ＝0或a＝0时，λa＝0. 2．平面向量的数乘运算的运算律推广到空间向量的数乘运算，结论仍然成立．

3．共线向量的充要条件及其推论是证明共线(平行)问题的重要依据，条件b≠0不可遗漏．

4．直线的方向向量是指与直线平行或共线的向量．一条直线的方向向量有无限多个，它们的方向相同或相反．

5．共面向量的充要条件给出了空间平面的向量表示式，说明空间中任意一个平面都可以由一点及两个不共线的平面向量表示出来．另外，还可以用OP＝x

OA＋y

OB＋z

OC，且x＋y＋z＝1判断P，A，B，C四点共面．

空间向量的线性运算

1[例1]

如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，AM＝

2MC，A1N＝2

ND.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，试用a，b，c表示MN. [思路点拨]

先利用三角形法则进行向量的加减运算，将MN表示成其他向量，然后进一步用a，b，c表示MN. [精解详析]

如图所示，连接AN，

则MN＝AN－AM

1＝AA＋－AC

AN11321＝AA＋－(AB＋BC) AD131321＝AA＋(－)－(AB＋AD) ADAA113321＝c＋(b－c)－(a＋b) 33111＝－a＋b＋c. 333[一点通]

用已知向量表示未知向量，体现了向量的数乘运算．解题时要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量逐渐转化为已知向量．本题也可以先将MN表示为MN＝MA＋AA＋A. 11N

1.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点．若A＝a，A1D1＝b，A＝c，则下列向量中与B1M相等的向量是1A1B1(

) 11A．－a＋b＋c

2211B.a＋b＋c

2211C.a－b＋c

2211D．－a－b＋c

2211111解析：B1M＝B1B＋BM＝B1B＋(AD－AB)＝B1B＋AD－AB＝－a＋b22222＋c. 答案：A 2．已知P是正方形ABCD所在平面外一点，P在平面ABCD上的射影恰好是正方形ABCD的中心O，Q是CD的中点，求下列各式中x，y的值：

(1)

OQ＝PQ＋xPC＋yPA；

(2)

PA＝xPO＋yPQ＋PD. 解：(1)∵OQ＝PQ－PO

1＝PQ－(PA＋PC) 211＝PQ－PA－PC，

221∴x＝y＝－. 2(2)∵PA＋PA＝2PO，∴PA＝2PO－PC. 又∵PC＋PD＝2PQ，∴PC＝2PQ－PD. 从而有PA＝2PO－(2PQ－PD)＝2PO－2PQ＋PD. ∴x＝2，y＝－2.

向量共线问题

[例2]

如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断CE与MN是否共线．

[思路点拨]

分析题意→

CE＝CB＋BE

→根据M，N的位置表示出MN

→

根据CE与MN的关系作出判断

[精解详析]

∵M，N分别是AC，BF的中点，

四边形ABCD，ABEF都是平行四边形，

∴MN＝MC＋CB＋BN

11＝AC＋CB＋BF

2211＝(BC－BA)＋CB＋(BA＋BE) 2211＝BC＋CB＋BE

221＝(CB＋BE) 21＝CE. 2∴CE∥MN，即CE与MN共线．

[一点通]

判定向量共线就是充分利用已知条件找到实数x，使a＝xb成立，同时要充分利用空间向量运算法则，结合具体的图形，化简得出a＝xb，从而得出a∥b，即a与b共线．

3．已知空间向量a，b，且AB＝a＋2b，BC＝－5a＋6b，CD＝7a－2b，则一定共线的三点是(

) A．A，B，D

C．B，C，D

B．A，B，C

D．A，C，D

解析：BD＝BC＋CD＝(－5a＋6b)＋(7a－2b) ＝2a＋4b＝2AB，∴A，B，D三点共线．

答案：A

4.已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，22G分别是边CB，CD上的点，且CF＝CB，CG＝CD. 33求证：四边形EFGH是梯形．

证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，

11∴AE＝AB，AH＝AD，

22EH＝AH－AE＝2AD－2AB＝2(AD－AB) 11133＝BD＝(CD－CB)＝(CG－CF) 2222233＝(CG－CF)＝FG，

443∴EH∥FG且|EH|＝|FG|≠|FG|. 4又点F不在EH上，∴四边形EFGH是梯形.

向量共面问题

111[例3]

对于任意空间四边形ABCD，E，F分别是AB，CD的中点．

试证：EF与BC，AD共面．

[思路点拨]

分析题意→

利用向量的运算法则表示EF

→

利用中点关系寻求EF，BC，AD的关系→

应用向量共面的充要条件→得出结论

[精解详析]

空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD上的点，

则EF＝EA＋AD＋DF，

EF＝EB＋BC＋CF.①

又E，F分别是AB，CD的中点，故有EA＝－EB，

DF＝－CF.②

将②代入①中，两式相加得2

EF＝AD＋BC. 11所以EF＝

AD＋

BC，即EF与BC，AD共面．

22[一点通]

利用向量法证明向量共面问题，关键是熟练进行向量的表示，恰当应用向量共面的充要条件．解答本题实质上是证明存在实数x，y使向量EF＝xAD＋yBC成立，也就是用空间向量的加、减法则及运算律，结合图形，用AD，BC表示EF.

5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是(

) A．OM＝3OA－2OB－OC

B．OM＋OA＋OB＋OC＝0 C．MA＋MB＋MC＝0 11D．OM＝OB－OA＋OC

42解析：∵MA＋MB＋MC＝0，

∴MA＝－MB－MC，

∴M与A，B，C必共面．

答案：C 6．已知e1，e2为两个不共线的非零向量，且AB＝e1＋e2，AC＝2e1＋8e2，AD＝3e1－3e2

，求证：A，B，C，D四点共面．

证明：设存在实数λ，μ，使得AB＝λAC＋μAD，

即e1＋e2＝λ(2e1＋8e2)＋μ(3e1－3e2) ＝(2λ＋3μ)e1＋(8λ－3μ)e2. ∵e1，e2为两个不共线的非零向量，

2λ＋3μ＝1，∴有解得8λ－3μ＝1，

1μ＝5，1λ＝，5

11即AB＝AC＋AD. 55从而点B位于平面ACD中，即A，B，C，D四点共面．

1．共线向量定理包含两个命题，特别是对于两个向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb(b≠0)⇒a∥b，可以作为以后证明线线平行的依据．

2．共面向量的充要条件是判断三个向量是否共面的依据．其推论是判定空间四点共面的依据(若对空间任一点O，有OP＝αOA＋βOB＋γOC

(α＋β＋γ＝1)成立，则P，A，B，C共面)．

3．在讨论向量共线或共面时，必须注意零向量与任意向量都共线．要注意：向量的共线与共面不具有传递性．

1．下列命题中正确的个数是(

) ①若a与b共线，b与c共线，则a与c共线．

②向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面．

③若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb. A．0

B．1 C．2

D．3 ①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；

②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；

③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在．

解析：①当b＝0时，a与c不一定共线，故①错误；

②中a，b，c共面时，它们所在的直线平行于同一平面不一定在同一平面内，故②错误；

③当b为零向量，a不为零向量时，λ不存在．

答案：A 2．在四面体O－ABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则OE＝(

) 111A.a－b＋c

244111C.a＋b＋c

244

11B．a－b＋c

22111D.a＋b＋c

4241解析：OE＝OA＋AE＝OA＋AD

211＝OA＋×(AB＋AC) 22

1＝OA＋(OB－OA＋OC－OA) 4111＝OA＋OB＋OC

244111＝a＋b＋c. 244答案：C 3．已知两非零向量e1，e2不共线，设a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则(

) A．a∥e1

B．a∥e2

C．a与e1，e2共面

D．以上三种情况均有可能

解析：若a∥e1，则存在实数t使得a＝te1，

∴te1＝λe1＋μe2，∴(t－λ)e1＝μe2，

则e1与e2共线，不符合题意．

同理，a与e2也不平行．

由向量共面的充要条件知C正确．

答案：C 3114．A，B，C不共线，对空间任意一点O，若OP＝OA＋OB＋OC，则P，A，B，488C四点(

) A．不共面

B．共面

D．无法判断是否共面

C．不一定共面

311解析：OP＝OA＋OB＋OC

488311＝OA＋(OA＋AB)＋(OA＋AC) 48811＝OA＋AB＋AC，

8811∴OP－OA＝AB＋AC，

8811∴AP＝AB＋AC. 88由共面的充要条件知P，A，B，C四点共面．

答案：B 135．在三棱锥A－BCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则AB＋BC－BE－22AD化简的结果为________．

13解析：延长DE交边BC于点F，则有AB＋BC＝AF，DE＋22AD＝AD＋DF＝AF，故AB＋2BC－2

DE－AD＝0. 答案：0 6．设e1，e2是平面内不共线的向量，已知AB＝2e1＋ke2，CB―→＝e1＋3e2，CD＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则k＝________. 解析：AD＝AB＋BC＋CD＝AB－CB＋CD＝3e1＋(k－4)e2.由A，B，D三点共线可知，存在λ使AB＝λAD，即2e1＋ke2＝3λe1＋λ(k－4)e2. 2＝3λ，∵e1，e2不共线，∴

k＝λk－4，13

可得k＝－8. 答案：－8 7.如图所示，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和12D1D上，且BE＝BB1，DF＝DD1.证明：A，E，C1，F四点共面．

33证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，

∴AA＝BB1＝CC1＝DD1，

112DF∴BE＝

AA，＝，

1133AA12ABAD∴AC1＝AB＋AD＋AA＝＋＋＋AA11

313AA12AD＝(AB＋AA)＋(＋)＝AB＋BE＋AD＋DF＝AE＋AF.由向量共面1313AA的充要条件知A，E，C1，F四点共面．

8.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E在A1D1上，且A1E2＝2ED1，F在对角线A1C上，且A＝FC.求证：E，F，B三点共F13线．

证明：设AB＝a，AD＝b，AA1＝c. 2FC，

∵A＝2，＝EAAAF111322∴A＝，＝EADAF111，

3115AC22AD∴A＝＝b，

E133

A1F＝5(AC－AA1)＝5(AB＋AD－AA1) 222＝a＋b－c. 555242∴EF＝A－＝a－b－c

FAE11515522＝(a－b－c)．

5322又EB＝EA1＋A＋＝－b－c＋a＝a－b－c，

ABA1332∴EF＝EB.所以E，F，B三点共线．

5

22