探究与发现 牛顿法──用导数方法求方程的近似解教案范文

人教A版《牛顿法求方程的近似解》教案

执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。

1 探究与发现

《牛顿法——用导数法求方程的近似解》教学设计

设计人：冯云鹏

教材分析

本节课属人教A版数学选修1-2教材中的"探究与发现"内容,是新旧知识的衔接点,渗透着数学知识螺旋上升的新课程理念.

在数学必修1中,教材安排了方程的根与函数的零点之间的关系和利用二分法求方程的近似解的教学内容,使学生初步形成了利用数值法求解指数方程、对数方程等超越方程和高次代数方程的思想.通过有效教学使学生理解求方程的近似解的方法,体会精确与近似的相对统一,感悟数学逼近思想,接受数学文化的熏陶.

学情分析

高中生数学学习的过程是基于自身的经验和知识基础从直观到抽象、从感性到理性的主动建构过程,而不是简单地把知识从外界直接搬到记忆中.

在知识上,学生已理解函数的零点和方程根之间的关系,会利用导数求切线的斜率和方程，利用切线与x 轴的交点横坐标的逐步逼近的思想，求方程的近似解。

教学目标

1.知识与技能：会用牛顿法求方程的近似解，并能借助Excel，《几何画板》软件和计算机辅助求解，感受现代计算技术在数值运算中的作用。

2.过程与方法：通过学生小组讨论，采用发现、探究、对比的教学方法，让学生自主探究，逐渐拓展学生的只是。了解高次方程探索历程，应用及发展趋势，体会近似解代替精确、以直代曲、逼近、数形结合等思想。

3.情感、态度与价值观：学生根据历史材料的阅读，初步了解古今中外数学家在方程求解方面所取得的成就，感受人文精神，渗透数学文化，提高学生的数学素养。

二、教学重点

用导数方法探究方程近似解的过程，得出牛顿法求近似解的一般规律。

教学难点

以直代曲的思路的探求牛顿法原理的过程，

三、教学策略

依据教学内容的特点和教学目标要求，结合学生现有的认知水平，主要采用发现、探究、对比、问题引导式的教学方法，回顾二分法求近似解的原理，通过小组合作完成近似解的求解。学生通过“放大”和“缩小”，观察近似解所在区间的函数图像，分析该图像的特点，联想到导数的探索和分析，让学生亲历“作切线”的过程，完善“作切线”的规则，加深切线的交点逐渐逼近零点r在学生脑海中的印象，感悟到牛顿法求近似解的思想，在自主探究中逐渐拓展学生的知识。

四、教学过程

（一）、课题引入

中外历史上的方程求解

在人类用数学智慧架设的无数座从未知通向已知的金桥中，方程的求解是其中璀璨的一座。

不要失去信心，只要坚持不懈，就终会有成果的

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人教A版《牛顿法求方程的近似解》教案

执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。

人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题。

我国古代数学家比较系统地解决了部分方程求解的问题，这些成果在《九章算术》、《黄帝九章算法细草》、《数书九章》中均有记载。

英国科学家牛顿在《流数法》一书中，给出了高次代数方程的一种数值解法称为牛顿迭代法，这种求方程根的方法，在科学界已被广泛采用。因此对于高次多项式函数及其他一些函数，有必要寻求其零点的近似解的方法。这就是一个在计算数学中十分重要的课题。

下面来看看这个方程

，这个方程称为Leonardo方程。

斐波那契（1175年-1250年），意大利数学家，是第一个研究斐波那契数，并将现代书写数和数乘的位值表示法系统引入欧洲的人，影响了欧洲数学界一个时代。

斐波那契曾研究过这个方程的求解问题，并给出了一个精度非常高的近似解

。

这在当时是非常重要的结果，但是无人知道他是怎么计算得到的。

斐波那契的解释非常精确的，但是并没有给出过程。在十三世纪，能得出这个结果，是非常了不起的成就，即使在当今的年代，我们在没有计算器的条件下，给出近似解也是非常困难的。

设想一下，斐波那契是用是什么样的方法得到这个结果的呢？

（二）、探究发现

1、做一做

2)上的近似解（精确度为0.01）

用二分法求方程

，在区间(1,2)上单调递增。

（1）步骤：设函数

，且在区间(1,

第一步：确定区间[a,b]，验证_

f(a)f(b)<0___,给定精确度

。

第二步：求区间（a,b）的中点c

第三步：计算f(c)；若f(c)=0，则c就是函数的零点；若f(a)f(c)<0，则令b=c，此时零点在（a，c）；若f(c)f(b)<0，则令a=c，此时零点在

（c，b）

。

第四步：计算精度

，判断是否达到精确度，达到则停止运算，否则继续循环运算。

（2）表1，

，

精确度

计算次数

区间（a,b）

中点値c 中点函数近似值

精确度

1 1.5 0.5 （1，2）

2 1.25 0.25 （1，1.5）

3 1.375 0.125 （1.25，1.5）

4 1.3125 0.0625 （1.25，1.375）

5 1.34375 0.03125 （1.3125，1.375）

6 1.359375 0.015625 （1.34375，1.375）

7 （1.359375，1.375）

1.3671875

0.0078125 所以，方程的近似解可以取

中点1.3671875 ，而这个值与

有一定差距。

2、思一思

思考并回答以下问题：

（1）在研究方程的根的问题时，我们常可以将其等价转化为什么问题进行研究？

答：方程的根的问题可以转化为函数的零点问题

（2）在研究函数的性质时，我们新学习了什么知识可以用来很方便地刻画函数的什么性质？

有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。

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执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。

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答：导数知识刻画函数的单调性

（3）我们新学习的知识中，在刻画函数性质方面，体现出了什么样的思想？

答：以直代曲的思想

（4）在研究方程的近似解的时候，二分法体现出了什么样的思想？

答：一分为二，逼近的思想

（5）类比二分法的思想，结合我们新学到的知识，我们能产生什么新的想法求方程的近似解？

答：可以利用导数，求曲线的切线与x轴的交点横坐标，逐渐逼近零点。

（6）根据函数的大致图像，作曲线

在

处的切线，并求出切线与x轴的交点横坐标

。

如何进一步求方程的近似解？（提示：重复作切线，求交点横坐标）

函数 在点

处切线的斜率是

因此切线方程为

如果

，令

，

则切线与x轴交点的横坐标

函数 在点

处切线的斜率是

因此切线方程为

如果

，令

，

则切线与x轴交点的横坐标

继续这个过程，就可以得到如下求方程根的公式：

y

f(x)

R

x

0

（7）函数的零点同切线与x轴交点的横坐标之间有什么关联？

数列

，

，

，

，

，

中

逐渐逼近零点r的值

（8）

与

之间是否有关系？并推导。

耐心是一切聪明才智的基础。

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执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。

函数 在点

处切线的斜率是

因此切线方程为

如果

，令

，则

，

y f(x)

这种反复迭代方法进行计算，叫牛顿迭代法。

（9）

满足什么条件才可以作为零点r的近似解？

r 0

x 答：由于有时无法求出准确解，就无法知道近似解与准确值相差多少？所以算不出

的值，对此数学家们想了一个办法：用

绝对误差。

近似解。

来表示相对误差，

叫

如果在一个给定的精确度范围内，就可以把

作为方程的一个例题：求方程

的近似解（精确度为 ）

解析：第一步应该从何处开始？需要如何处理？

设对应函数

，则

，

给定起始点

，求切线方程

，并求出切线与x轴交点的横坐标

。

3、解一解

第二步应该如何继续？计算公式优势什么？如何能循环下去？

求在点

处的切线方程

，又求出切线与x轴交点的横坐标

。

计算公式

第三步计算过程可以通过Excel计算精确度

第四步计算到什么时候终止？如何体现精确度在求解中的控制作用？

有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。

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所以方程的近似解为__________________与斐波那契给出的解__________。

这种求解方程的近似解方法就叫牛顿迭代法。

不同的人选择的初始值不一样，得出的

也不一样。差别太大，那么不同的初始值对求方程的近似解有影响吗？如果有，影响在哪里？当初始值

分别取10、2、1、-2时，通过Excel得出以下结果。

结论：初始值越接近零点

越好

，重复次数越少，因此在利用牛顿法求方程的近似解时可以先对零点作一个估计。

（三）、方法与小结

1、简述用牛顿法原理和步骤

（1）给定精确度

和初始值

（2）写出迭代公式

（3）计算精确度

)

（4）当精确度

时迭代终止

2、牛顿迭代法的核心思想：

核心思想：以直代曲、逼近、迭代

（四）、学以致用

例1、借助Excel用牛顿法求方程

的近似解（精确度为 ）

（1）确定初始值

和

，

（2）通过推导得出牛顿法公式：

（3）利用Excel计算精确度

，得出结果

（五）、课堂小结

1、牛顿迭代法求方程的近似解步骤

（1）给定精确度

和初始值

（2）写出迭代公式

（3）计算精确度

)

（4）当精确度

时迭代终止

2、本节课的数学思想方法：

以直代曲的思想，逼近的思想，迭代的思想，函数与方程的思想，类比的思想，数学结合等

耐心是一切聪明才智的基础。

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执着追求并从中得到最大快乐的人，才是成功者。

（六）、课后作业

借助Excel利用牛顿法求方程的近似解（精确度为 ）

（1）

（2）

（七）、课后实习作业

从下列的叙述中，选择一个你比较感兴趣的方向，继续进行新的探究和发现。

1、在实际生活及其他学科研究中，哪些问题可以转化成方程求近似解的问题？

2、除了二分法和牛顿法，还可以找到其他方法求方程的近似解吗？

3、如果不判断有根区间，任取初始值利用牛顿法求近似解，会产生什么样的影响？

（八）、板书设计

牛顿法——用导数法求方程近似解

一、复习二分法、导数的几何意义

二、新课

例题的推导过程

步骤：1、

2、

3、

三、应用

四、小结

有了坚定的意志，就等于给双脚添了一对翅膀。