1.1.2 四种命题教案和课堂实录

1.1.2

四种命题

一自主学习

四种命题的相关概念

1.原命题与逆命题: (1)关系:_____与_____互换. (2)结构形式:若原命题为“若p,则q”,则逆命题为____________. (3)结论:这两个命题叫做_________.

2.原命题与否命题: (1)关系:条件与结论都要_____. (2)结构形式:若原命题为“若p,则q”,则否命题为

_____________. (3)结论:这两个命题叫做_________. 3.原命题与逆否命题: (1)关系:条件与结论既要_____,又要_____. (2)结构形式:若原命题为“若p,则q”,则逆否命题为

______________ . (3)结论:这两个命题叫做_____________.

判断:(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)有的命题没有逆命题.(

) (2)“对顶角相等”的否命题为“对顶角不相等”.(

) (3)原命题的否命题的逆命题就是原命题的逆否命题.(

)

提示:(1)错误.任何命题都是由条件和结论构成的,所以任何命题都有逆命题. (2)错误.“对顶角相等”的否命题为“不是对顶角的两个角不相等”. (3)正确.原命题“若p,则q”的否命题为“若¬p,则¬q”,这个命题的逆命题为“若¬q,则¬p”,这就是原命题的逆否命题. 【知识点拨】

1.对四种命题概念的三点认识

(1)原命题与逆命题: ①逆命题是将原命题的条件与结论互换,写原命题的逆命题时,不要交换命题的前提条件; ②原命题也可以看作是它的逆命题的逆命题. (2)原命题与否命题: ①写一个命题的否命题时,要对条件和结论都进行否定,避免出现不否定条件,而只否定结论的错误; ②原命题也可以看作是它的否命题的否命题. (3)原命题与逆否命题:将原命题的条件和结论“换位”得逆命题,“换质”(即否定)得否命题,既“换位”又“换质”得逆否命题. 2.四种命题的相互关系

(1)原命题是相对于逆命题、否命题、逆否命题而言的,任何一个给定的命题都可以作为原命题. (2)明确原命题的逆命题、否命题、逆否命题的条件和结论的位置关系和否定关系是解决四种命题的关键. 类型

一

求原命题的其他三种命题

【典型例题】

1.设a,b是向量,命题“若a=-b,则|a|=|b|”的逆命题是(

)

A.若a≠-b,则|a|≠|b|

B.若a=-b,则|a|≠|b| C.若|a|≠|b|,则a≠-b D.若|a|=|b|,则a=-b 【解析】选D.原命题的条件是a=-b,作为逆命题的结论;原命题的结论是|a|=|b|,作为逆命题的条件,即得逆命题“若|a|=|b|,则a=-b”,故选D. 2.已知a,b,c∈R,命题“若a+b+c=3,则a2+b2+c2≥3”的否命题是(

) A.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2<3 B.若a+b+c=3,则a2+b2+c2<3 C.若a+b+c≠3,则a2+b2+c2≥3 D.若a2+b2+c2≥3,则a+b+c=3 【解析】选A.命题“若p,则q”的否命题是“若¬p,则¬q”,故选A. 3.命题“若-1

) A.若x≥1或x≤-1,则x2≥1 B.若x2<1,则-11,则x>1或x<-1 D.若x2≥1,则x≥1或x≤-1 【解析】选D.若原命题是“若p,则q”,则逆否命题为“若¬q,则¬p”,故此命题的逆否命题是“若x2≥1,则x≥1或x≤-1”. 【解题探究】1.写出一个命题的其他命题的关键是什么? 2.一个命题的否命题的形式是什么? 3.写一个命题的逆否命题,一般应注意几点? 1.写出一个命题的其他命题的关键是找到原命题的条件和结论. 2.命题“若p,则q”的否命题的形式为“若¬p,则¬q”. 3.写一个命题的逆否命题一般先找到原命题的条件和结论,然后交换条件和结论后再分别否定即为其逆否命题. 【拓展提升】

1.四种命题的转换方法

(1)交换原命题的条件和结论,所得命题是原命题的逆命题. (2)同时否定原命题的条件和结论,所得命题是原命题的否命题. (3)交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得命题是原命题的逆否命题. 2.常见词语的否定

词语

否定

是

不是

都是

不都是

>

≤

至少有n个

至多有n-1个

至多有n个

至少有n+1个

【变式训练】分别写出下列命题的逆命题、否命题与逆否命题: (1)若ab=0,则a=0.(2)若两直线平行,则内错角相等.

类型

二

四种命题及其真假判断

【典型例题】

1.命题“个位数字为5的整数能被5整除”是

(真、假)命题,它的逆命题为

,是

(真、假)命题. 2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假: (1)负数小于零.(2)在三角形中,大边对大角. 类型

二

四种命题及其真假判断

【典型例题】

1.命题“个位数字为5的整数能被5整除”是

(真、假)命题,它的逆命题为

,是

(真、假)命题.

2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假: (1)负数小于零.(2)在三角形中,大边对大角. 2.把下列命题改写成“若p,则q”的形式,并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假: (1)负数小于零.(2)在三角形中,大边对大角.

【解题探究】1.如何区分命题的条件和结论? 2.命题的真假分类有几种? 【拓展提升】四种命题真假的判断

(1)对于不含关联词的命题,要先把命题写成“若p,则q”的形式,有些命题的条件和结论含有前提条件,在改写时,前提条件的位置不能改变,即前提条件不能作为命题的条件. (2)判断一个命题是真命题,可以根据定义、定理证明,判断一个命题是假命题,只要举出反例即可. 【变式训练】把下列命题写成“若p,则q”的形式,并分别写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,并判断真假: (1)正方形的四条边相等. (2)已知函数f(x)=kx+b,k>0时,f(x)是增函数. 【类题试解】命题“若a,b都是奇数,则a+b是偶数”的逆否命题是(

) A.若a,b都不是奇数,则a+b是偶数

B.若a+b是偶数,则a,b都是奇数

C.若a+b不是偶数,则a,b都不是奇数

D.若a+b不是偶数,则a,b不都是奇数

1.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题

是(

) A.“若一个数是负数,则它的平方不是正数”

B.“若一个数的平方是正数,则它是负数”

C.“若一个数不是负数,则它的平方不是正数”

D.“若一个数的平方不是正数,则它不是负数”

2.下列命题的否命题为“邻补角互补”的是(

) A.邻补角不互补

B.互补的两个角是邻补角

C.不是邻补角的两个角不互补

D.不互补的两个角不是邻补角

3.“若x<1,则x<0”的逆命题是

命题(填真、假).

4.命题“若直线a,b不平行,则直线a,b相交”的否命题的逆命题为

,这是

命题(填真、假). 5.写出命题“若a2>b2,则a>b”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.