3.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则教学内容

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

课前预习学案

一．

预习目标

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

二．

预习内容

1．基本初等函数的导数公式表

2.导数函数

法则

yc

的运算导数

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

yf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

1

导数运算法则

1．f(x)g(x)

2．f(x)g(x)

''f(x)3．

g(x)（2）推论：cf(x)

（常数与函数的积的导数，等于：

）

''三．

提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点

疑惑内容

课内探究学案

一．

学习目标

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数

二．

学习过程

（一）。【复习回顾】

2复习五种常见函数yc、yx、yx、y1、yx的导数公式填写下表

xn*（二）。【提出问题，展示目标】

函数

导数

我们知道,函数yf(x)x(nQ)的导数为ynx'n1yc

yx

，以后看见这种函数就可以直接按公式去做，而不必用导数的定义了。那么其它基本初等函数的导数怎么呢？又如何解决两个函数加。减。乘。除的导数呢？这一节我们就来解决这个问题。

（三）、【合作探究】

1．（1）分四组对比记忆基本初等函数的导数公式表

导数

yx

y1

x2yx

yf(x)xn(nQ*)

函数

2

yc

y'0

y'nxn1

yf(x)xn(nQ*)

ysinx

ycosx

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

yf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

y'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna1

xf'(x)（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．

（1）yx2与y2x

（2）y3x与ylog3x

2.（1）记忆导数的运算法则，比较积法则与商法则的相同点与不同点

导数运算法则

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)(g(x)0)

3．2g(x)g(x)'推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于：

）

提示：积法则,商法则,

都是前导后不导, 间是加号, 商法则中间是减号. 前不导后导, 但积法则中（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx2x3

（2）yxsinx；

（3）y(2x5x1)e；

3 2x3

（4）yx；

4x【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．

②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

（四）．典例精讲

例1：假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

分析：商品的价格上涨的速度就是：

解：

变式训练1：如果上式中某种商品的p05，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

c(x)5284(80x100)

100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%

（2）98%

分析：净化费用的瞬时变化率就是：

解：

比较上述运算结果，你有什么发现？

三．反思总结：

（1）分四组写出基本初等函数的导数公式表：

（2）导数的运算法则：

四．当堂检测

1求下列函数的导数

（1）ylog2x

（2）y2ex

（3）y2x33x24

（4）y3cosx4sinx

2.求下列函数的导数

（1）yxlnx

（2）ylnx

x课后练习与提高

1．已知函数f(x)在x1处的导数为3，则f(x)的解析式可能为：

2Af(x)2(x1)

Bf(x)2(x1)

2

C f(x)(x1)3(x1)

Df(x)x1

22．函数yax1的图像与直线yx相切，则a

4

111

B

C

D

1

8423.设函数yxn1(nN)在点（1,1）处的切线与x轴的交点横坐标为xn，则A x1x2xn

llnA

B

C

D

1 nn1n14.曲线yxex2x1在点（0,1）处的切线方程为-------------------

5.在平面直角坐标系中，点P在曲线yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线在点P处的切线的斜率为2，则P点的坐标为------------ 6.已知函数f(x)x3bx2axd的图像过点P（0,2），且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70，求函数的解析式。

课后练习与提高答案：1.C 2.B 3.B 4.

3xy10

5. （-2,15）

6.由函数f(x)x3bx2cxd的图像过点P（0,2），知d2，所以f(x)x3bx2cx2，

f/(x)3x22bxc

由在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70知：

f(1)132bc1所以解得：bc3

/1bc26f(1)6故所求函数的解析式是f(x)x33x23x2

5

§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

一．教学目标：

1．熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2．掌握导数的四则运算法则；

3．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数．

二．教学重点难点

重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

三．教学过程：

（一）．创设情景

复习五种常见函数yc、yx、函数

导数

yx2、y1、yx的导数公式及应xyc

yx

函数

2

yxyc

y0

y'1

'用

（二）．新课讲授

1（1）基本初等函数的导数公式表

导数

（2）根据基本初等函数的导数公式，求下列函数的导数．

（1）与y'2x

y'0

y'nxn1

11'y

ny

*yf(x)xx(nQ)

x2

x

yyxsiny12x

y'cosx

y'sinx

y'axlna(a0)

ycosx

yf(x)xn(nQ*)

y'nxn1

yx2y2

yf(x)ax

yf(x)ex

f(x)logax

f(x)lnx

xy'ex

f(x)logaxf'(x)1(a0且a1)

xlna1

x（2）与2.（1）运算法则

y3xylog3x

导数的f'(x)导数运算法则

6

''1．f(x)g(x)f(x)g(x)

''2．f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)

''f(x)f'(x)g(x)f(x)g'(x)3．(g(x)0)

2g(x)g(x)'推论：cf(x)cf(x)

''

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 是加号, 商法则中间是减号. 前不导后导, 但积法则中间（2）根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数．

（1）yx32x3

（2）yxsinx；

（3）y(2x25x1)ex；

（4）yx；

4x【点评】

①

求导数是在定义域内实行的．

②

求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心．

四．典例精讲

例1．假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：元）与时间t（单位：年）有如下函数关系p(t)p0(15%)t，其中p0为t0时的物价．假定某种商品的p01，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

分析：商品的价格上涨的速度就是函数关系p(t)(15%)的导数。

解：根据基本初等函数导数公式表，有p(t)1.05ln1.05

所以p(10)1.05ln1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨．

'10'tt变式训练1：如果上式中某种商品的p05，那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到0.01）？

解：当p05时，p(t)5(15%)，

根据基本初等函数导数公式和求导法则，有p(t)51.05ln1.05

7 'tt

所以p'(10)51.0510ln1.050.4（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.4元/年的速度上涨．

例2日常生活中的饮水通常是经过净化的．随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增加．已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用（单位：元）为

c(x)5284(80x100)

100x求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率：（1）90%

（2）98%

解：净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数的导数．

5284'5284'(100x)5284(100x)'

c(x)()2100x(100x)'0(100x)5284(1)5284

22(100x)(100x)528452.84，所以，纯净度为90%时，费用的瞬时变(10090)2（1）

因为c(90)'化率是52.84元/吨．

（2）

因为c(98)'52841321，所以，纯净度为98%时，费用的瞬时变2(10090)化率是1321元/吨．

点评

函数f(x)在某点处导数的大小表示函数在此点附近变化的快慢．由上述计算可''知，c(98)25c(90)．它表示纯净度为98%左右时净化费用的瞬时变化率，大约是纯净度为90%左右时净化费用的瞬时变化率的25倍．这说明，水的纯净度越高，需要的净化费用就越多，而且净化费用增加的速度也越快．

五．课堂练习

做导学案的当堂检测

六．课堂小结

（1）基本初等函数的导数公式表

（2）导数的运算法则

七．布置作业

八．教学后记

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