1.2.1 充要条件优秀教案设计

充要条件教学设计

教学目标：

1．理解充分条件、必要条件、充要条件的意义，并能够熟练判断给定的两个命题之间的关系； 2．培养观察分析、抽逻辑思维能力； 3．培养勇于探索的精神，勇于创新精神，同时体会事物之间普遍联系的辩证思想。

教学重点：充分条件、必要条件、充要条件的意义。 教学过程：一、复习引入 1．写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假： (1) 若x>0则x2>0； (2) 若两个三角形全等，则两三角形的面积相等； (3) 若|x|=|y|则 x=y。 二、新课 1．推断符号

前面我们讨论了“若p则q”形式的命题，其中有的命题为真，有的命题为假.“若p则q”为真，是指由p经过推理可以得出q，也就是说，如果p成立，那么q一定成立，记作p(q，或者qp；如果由p推不出q，命题为假，记作p(q，简单地说， “若p则q”为真，记作p=＞q（或q＜＝p）；

“若p则q”为假，记作p≠＞q（或q＜≠p）. 符号“＝＞”叫做推断符号. 例如(1)是一个真命题，可写成：x>0＝＞ x2>0； 又如(2)是一个真命题，可写成：两三角形全等＝＞两三角形面积相等. 又如(3)是一个假命题，可写成 |x|=|y|≠＞x=y。 注：①“p＝＞q”表示“若p则q”为真；也表示“p蕴含q”. ②“p＝＞q”也可写为“q＜＝p”，有时也用“p→q”.

练习：课本第35页

练习：1 2．充分条件、必要条件的意义 已知p＝＞q，q＜＝p那么我们就说，p是q的充分条件，q是p的必要条件. 如上例：“x>0”是“x2>0”的充分条件，“x2>0”是“x>0”的必要条件； “两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件，“两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件 注:p＝＞q如果具备了条件p就可以保证q成立. q的充分条件是p,p的必要条件是q p＜≠q(即q不成立,则p不成立. ) 例1 （课本第34页）指出下列各组命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

(1) p：x=y；q：x2=y2. (2) p：三角形的三条边相等；q：三角形的三个角相等. 分析：可根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判断. 解：(1)由p＝＞q，即x=y＝＞x2=y2，知p是q的充分条件，q是p的必要条件. (2)由p＝＞q，即三角形的三条边相等＝＞三角形的三个角相等，知p是q的充分条件，q是p的必要条件； 又由q＝＞p，即三角形的三个角相等＝＞三角形的三条边相等，知q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 练习：课本P35练习：2 答案：(1)∵p＝＞q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件； (2)∵q＝＞p，∴p是q的必要条件，q是p的充分条件； ⑶∵p＝＞q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. ⑷∵p＝＞q，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件；又∵qp，∴q也是p的充分条件，p也是q的必要条件. 例２：写出｜x|<2的一个充分不必要条件

写出x>-1的一个必要不充分条件 注：以上是直接利用定义由原命题判断充分条件与必要条件的方法.那么，如果由命题不是很好判断的话，我们可以换一种方式，根据互为逆否命题的等价性，利用它的逆否命题来进行判断. 3．充要条件 例1(2)中，“三角形的三条边相等”既是“三角形的三个角相等”的的充分条件，又是“三角形的三个角相等”的必要条件；我们称“三角形的三条边相等”是“三角形的三个角相等”充分必要条件，简称充要条件 一般的既有p＝＞ q又有q＜＝ p，就记作p＜＝＞q p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件 再如：“x=0，y=0”

＝＞

“x2+y2=0”；

“x=0，y=0” ＜＝“x2+y2=0”

∴“x=0，y=0”是“x2+y2=0”的充要条件 4．四种条件 充分不必要条件：p＝＞q但q≠＞p，p是q的充分不必要条件 必要不充分条件：p＝＞q但q≠＞p，p是q的必要不充分条件 充要条件：p＝＞q且q≠＞p，p是q的充要条件 既不充分也不必要条件：p≠＞q且q≠＞p，p是q的既不充分也不必要条件 如：x>0＝＞ x2>0，x2>0 ≠＞ x>0

∴x>0是x2>0的充分不必要条件；x>0是x2>0的必要不充分条件 两个三角形面积相等≠＞两个三角形全等 两个三角形全等＝＞两个三角形面积相等

∴两个三角形全等是两个三角形面积相等的充分不必要条件 两个三角形面积相等是两个三角形全等的必要不充分条件 例2填空 ①“x是6的倍数”是“x是2的倍数”的

必要不充分条件 ②“x是2的倍数”是“x是6的倍数” 的

充分不必要条件 ③“x既是2的倍数也是3的倍数”是

“x是6的倍数”的

充要条件 ④“x是4的倍数”是“x是6的倍数” 的

既不充分也不必要条件 三、小

结 本节主要学习了推断符号“”的意义，充分条件与必要条件的概念，以及判断充分条件与必要条件的方法. 四、布置作业 习题1.8 一、复习引入 1．充分条件、必要条件、充要条件 2．指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件： (1) p：x>2，q：x>1； (2) p：x>0 ,y>0，q：x+y>0； (3) p： q：p (4) p：内错角相等 q：两直线平行 二、新课 例1(课本第35页例2)指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而不必要条件”、“必要而不充分条件”、“充要条件”、“既不充分也不必要条件”中选出一种）？ (1)p：(x-2)(x-3)=0；q：x-2=0. (2)p：同位角相等；q：两直线平行 (3)p：x=3；q：x2=9. (4)p：四边形的对角线相等；q：四边形是平行四边形. 解：(1)∵(x-2)(x-3)=0(x-2=0，(x-2)(x-3)=0x-2=0，

∴p是q的必要而不充分的条件； (2)∵同位角相等两直线平行，∴p是q的充要条件； (3)∵x=3x2=9， x=3(x2=9，∴p是q的充分而不必要的条件； (4)∵四边形的对角线相等(四边形是平行四边形，四边形的对角线相等(四边形是平行四边形，∴p是q的既不充分也不必要的条件.

1．从命题的真假看充要条件 以p与q分别记作命题的条件与结论，则原命题与逆命题的真假同p与q的关系之间有什么关系？ 如果原命题真，逆命题假，那么p是q的充分而不必要条件； 如果原命题假逆命题真，那么p是q的必要而不充分条件； 如果原命题与逆命题都真，那么p是q的充要条件； 如果原命题与逆命题都假，那么p是q的既不充分又不必要条件。 例2已知C是D的必要条件，B是C的必要条件，问D是C的什么条件？B是D的什么条件？ 解：∵C是D的必要条件，B是C的必要条件， ∴ C(D, B(C ∴ D(C(B ∴ D是C的充分条件, B是D的必要条件 2．从集合角度看充要条件 (1)若AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件（此时B也是A的充要条件）. 在含有变量的命题中，凡能使命题为真的变量x的允许值集合，叫做此命题的真值集合. (2)若pq，说明p的真值集合(q的真值集合，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；若p(q，说明p，q的真值集合相等，即p，q等价，则p是q充要条件（此时q也是p的充要条件）. 例3．已知实系数一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a(0) (1) △=b2(4ac≥0是否为这个方程有实根的充分条件？ (2) △=b2(4ac≥0是否为这个方程有实根的必要条件？说明理由。 解：∵a(0 ∴方程可化为 (1) ∵△=b2(4ac≥0 ∴

≥0 ∴方程有实根 ∴

△≥0 是方程有实根的充分条件。 (2) 若方程有实根，

则≥0 即

≥0

∴b2(4ac≥0 即

△≥0

∴△≥0是方程有实根的必要条件。 求证：一元二次方程ax2+bx+c=0 (a0)有实根的充要条件是b2-4ac≥0

练习： 如果B成立，那么A成立，或者

如果A不成立，那么B不成立

，就说条件A是B成立的

必要条件

。 已知A、B是两个命题，如果A是B的充分条件，那么B是A的

必要条件

；是的

充分条件

。

设甲是乙的充分条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要条件，那么丁是甲的

既不充分也不必要

条件。 四、作业：练习册《充要条件》一节