3.1.3 导数的几何意义教案教学设计

导数的几何意义

武汉中学

王敏

一、教学目标

1、

知识教学点（知识与技能）

通过函数的图像直观理解导数的几何意义；理解曲线在某一点处的切线的概念；会求简单函数在某点处的切线方程。

2、

能力训练点（过程与方法）

培养学生分析、抽象、概括等思维能力；通过“以直代曲”思想的具体应用，使学生达到思维方式的迁移，培养学生科学的思维习惯。

3、

学科渗透点（情感、态度、价值观）

渗透逼近和“以直代曲”思想，能激发学生的学习兴趣，培养学生不断发现、探索新知识的精神，引导学生从有限中认识无限，体会量变和质变的辩证关系，感受数学思想方法的魅力。

二、教学重难点

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义。

三、教学过程

（一）复习引入

1、平均变化率及其几何意义：yf(x2)f(x1)

，表示割线AB的斜率，其中xx2x1A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))。

2、导数的本质：函数f(x)在xx0处的导数即函数在该处的瞬时变化率，即f/x0limx0fx0xf(x0)。

x3、既然知道了平均变化率的几何意义，那么瞬时变化率的几何意义又是什么呢？今天，我们就来研究导数的几何意义。

（二）探究新知

如右图，当Pn(xn,f(nx))n(沿着曲线f(x)趋近于点1,2P(x0,f(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

图1

x0时,割线PPn趋近于确定的位置，我们发现,当点P这n沿着曲线无限接近点P即个确定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线。

k问题：⑴割线PPn的斜率kn与切线PT的斜率有什么关系？

⑵切线PT的斜率k为多少？

容易知道，割线PPn的斜率是knf(xn)f(x0),当点Pn沿着曲线无限接近点P时，xnx0fx0xf(x0)f/x0。所以，函数xkn无限趋近于切线PT的斜率k，即klimx0f(x)在xx0处的导数f/x0几何意义就是函数f(x)的图像在xx0处的切线的斜率。

明确：（1）某点处的割线斜率及切线斜率与某点附近的平均变化率和瞬时变化率的关联：

瞬时变化率

数 平均变化率切线的斜率

形 割线的斜率x0x0

（2）切线定义与初中学过的切线定义的区别：

初中平面几何中，圆的切线的定义：直线和圆有y唯一公共点时，叫做直线和圆相切。这时，直线叫做l1圆的切线，唯一的公共点叫做切点。

圆是一种特殊的曲线。这种定义并不适用于一般A曲线的切线。例如左图中，直线l1虽然与曲线有唯一l2B的公共点，但我们不能认为它与曲线相切；而另一条xC直线l1虽然与曲线有不只一个公共点，我们还是认为它是曲线的切线。因此，以上圆的切线定义并不适用于一般的曲线。

通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线（交点可能不唯一），适用于各种曲线。所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质。

（3）了解“以直代曲”的思想：

继续观察上图1，发现在点P附近，PP1更贴近曲线f(x)，PP2比PP3比PP2更贴近曲线f(x)……，点P附近的函数图像放大，如下图，易知在某点附近一个很小的研究

区域内，曲线和切线的变化趋势一致，故可用曲线上某一点的切线近似代替该点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。

PP

P

（三）例题分析

例1、已知曲线C:f(x)x，（1）求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程。（2）第（1）小题中的切线与曲线C是否有其他公共点？

解：（1）将x1代入曲线C的方程得y1，所以切点为(1,1)，

3f1xf(1)3x3(x)2(x)3kf1limlimlim33x(x)23x0x0x0xx/

所以过该点的切线方程为y13(x1)，即y3x2。

（2）将y3x2代入yx，得到方程(x1)(xx2)0，解得x1或x2，

所以公共点为(1,1)，(2,8)，说明切线和曲线除切点外，还有其他公共点。

例2、如下图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h(x)4.9x6.5x10，根据图像，请描述、比较曲线h(t)在t0、t1、t2附近的变化情况．

解：我们用曲线h(t)在t0、t1、t2处的切线，刻画曲线h(t)在上述三个时刻附近的变化情况．

（1）

当tt0时，曲线h(t)在t0处的切线l0平行于x轴，所以，在tt0附近曲线比较平坦，几乎没有升降。

（2）

当tt1时，曲线h(t)在t1处的切线l1的斜率2所以，在tt1附近曲线下降，即函数h(x)4.9x6.5x10在tt1h/t10，232附近单调递减。

（3）

当tt2时，曲线h(t)在t2处的切线l2的斜率ht20，所以，在tt2附近曲线/下降，即函数h(x)4.9x6.5x10在tt2附近单调递减。

从图中可看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢。

(四)巩固练习

1、曲线yx在x0处的（D）

A．切线斜率为1. B．切线方程为y2x. C．没有切线. D．切线方程为y0. 2、已知曲线y2x上的一点A(2,8)，则点A处的切线斜率为（C）

A．4. B．16. C．8. D．2. 3、曲线yxx2在A点处的切线平行于直线y4x1，则此切线方程为（D）

A．y4x. B．y4x4. C．y4x8. D．y4x或y4x4. 32224、设f(x)为可导函数，且满足条件limx0f1f(1x)1，则曲线yf(x)在点2x(1,f(1))处的切线斜率为（B）

A．2. B．2. C．1. D．1. 2(五)归纳总结

1、切线的定义。

2、导数的几何意义。

3、数学思想方法：数形结合，逼近，以直代曲。

（六）布置作业