3.4 生活中的优化问题举例优质课教案

4．1生活中的优化问题举例(1)

【学情分析】：

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

【教学目标】：

1.掌握利用导数求函数最值的基本方法。

2.提高将实际问题转化为数学问题的能力.

提高学生综合、灵活运用导数的知识解决生活中问题的能力

3．体会导数在解决实际问题中的作用.

【教学重点】：

利用导数解决生活中的一些优化问题．

【教学难点】：

将生活中的问题转化为用函数表示的数学问题，再用导数解决数学问题，从而得出问题的最优化选择。

【教学突破点】：

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题

用函数表示的数学问题

解决数学模型

优化问题的答案

作答

用导数解决数学问题

【教法、学法设计】：

【教学过程设计】：

教学环节

(1)复习引入：提问用导数法求函数最值的基本步骤

教学活动

设计意图

为课题作铺垫. 选择一个学生感觉不是很难的题目作为例题，

学生回答：导数法求函数最值的基本步骤

(2)典型例题讲解

例1、

把边长为acm的正方形纸板的四个角剪去四个相等的小正方形(如图示)，折成一个无盖的盒子，问怎样做才能使盒子的容积最大？

解

设剪去的小方形的边长为x，则盒子的为

aVx(a2x)2

(0x)，

2求导数，得

V(a2x)24x(a2x)(2xa)(6xa)，

aaa或x，其中x不合题意，故在区间622aa(0,

)内只有一个根：x，

62aaa,,显然，0x时v(x)0 x时v(x)0

662a因此，当四角剪去边长为cm的小正方形时，做成的纸盒的容积6令V0得x最大．

让学生自己体验一下应用题中最优化化问题的解法。

使学生对该问题的解题思路清析化。

(3) 利用导数解决优化问题的基本思路：

1、

生活中的优化问题转化为数学问题

2、

立数学模型（勿忘确定函数定义域）

3、

利用导数法讨论函数最值问题

例2、铁路AB段长100千米，工厂C到铁路的距离AC为20千米，现要在AB上找一点D修一条公路CD，已知铁路与公路每吨千米的运费之比为3:5，问D选在何处原料从B运到C的运费最省? 解：

设AD的长度为x千米，建立运费y与AD的长度x之间的函数关系式，则

CD＝202x2，BD＝100-x，公路运费5k元／Tkm，铁路运费3k元／Tkm (4)加强巩固1

y＝5k400x23k(100x)，(x0,100)

求出f'(x)＝使学生能熟练步骤. 5kx400x23k，

22令f’(x)＝0，得

3600＋9x＝25x

解得x1＝15，x2＝-15(舍去)，

∵y(15)＝330k

y(0)＝400k，y(100)≈510k

∴原料中转站D距A点15千米时总运费最省。

例3、某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是0.8r分，其中

r

是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm 问题：（１）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？

（２）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

2r32432yfr0.2r0.8r0.8r,0r6

33提高提高当r0,2时，fr0；当r2,6时，fr0．

问题的综当半径r2时，fr0它表示fr单调递增，即半径越大，合利润越高；

性，锻炼当半径r2时，fr0

它表示fr单调递减，即半径越大，学生利润越低．

能力。

（1）

半径为2cm 时，利润最小，这时f20，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）

半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？

有图像知：当r3时，f30，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r3时，利润才为正值．

当r0,2时，fr0，fr为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．

令fr0.8(r22r)0 解得 r2（r0舍去）

(5) 加强巩固2 (6)课堂小结

1、

建立数学模型（确立目标函数）是解决应用性性问题的关键

2、

要注意不能漏掉函数的定义域

3、

注意解题步骤的规范性

(7)作业布置:教科书P104 A组1,2,3。

(8备用题目：

1、要做一个圆锥形漏斗，其母线长为20cm，要使其体积最大，则其高为

（ A ）

A 20203cm B 100cm C 20cm D cm

332、设正四棱柱体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为 （ A ）

A 3V B 32V C 34V D 23V 3、设8分成两个数，使其平方和最小，则这两个数为 4 。

4、用长度为的铁丝围成长方形，则围成的最大面积是 4 。

5、某厂生产产品固定成本为500元，每生产一单位产品增加成本10元。已知需求函数为：

q2004p，问：产量为多少时，利润最大？最大利润是多少？

解：先求出利润函数的表达式：

L(q)R(q)C(q)pq(50010q)1L(q)q402再求导函数：

200q1q50010qq240q50044

求得极值点：q ＝

80。只有一个极值点，就是最值点。

故得：q ＝

80 时，利润最大。最大利润是：

1L(80)802408050011004

注意：还可以计算出此时的价格：p ＝

30 元。

6、用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器.先在四角分别截去一个小正方形.然后把四边翻转90度角，再焊接而成（如图）.问容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

x482x48482x902xx

解：设容器高为xcm，容器的体积为V(x)，则

V(x)x(902x)(482x)4x3276x24320x

482x0,902x0,x0

0x24

求V(x)导数得V(x)12x2552x432012(x10)(x36)

令V(x)0解得x110,x236(舍)

当x(0,10)时,V'(x)0,那么V(x)为增函数

当x(10,24)时,V'(x)0,那么V(x)为减函数

因此,在定义域(0,24)内函数,V(x)只有当x10时取得最大值

其最大值为V(10)10(9020)(4820)19600(cm3)

答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积为19600(cm3)

令V(x)0解得x110,x236(舍)

当x(0,10)时,V'(x)0,那么V(x)为增函数

当x(10,24)时,V'(x)0,那么V(x)为减函数

因此,在定义域(0,24)内函数,V(x)只有当x10时取得最大值

其最大值为V(10)10(9020)(4820)19600(cm3)

答:当容器的高为10cm时,容器的容积最大,最大容积为19600(cm3)