3.1.5 空间向量的数量积第二课时教学设计

《3.1.5空间向量的数量积(1)》教学设计

泗阳致远中学

魏祥师

一、

教学内容解析

向量是一种重要的数学工具，是沟通代数（数）和几何（形）的桥梁.空间向量为处理立体几何问题提供了一个新的视角，是解决空间中图形位置关系与度量问题的有效手段. 对实数的研究经验告诉我们：只要引进一种新的数，就要研究关于它的运算；引进一种新的运算，就要研究相应的运算律.空间向量的数量积运算，是人教社A版数学《选修2-1》中继空间向量的加减法、数乘运算之后的又一种运算，是又一个从平面到空间推广的实例.学生在学习过程中，充分体验类比、归纳的数学学习方式，深刻理解空间向量的数量积运算本质，逐步体会数量积运算在解决垂直等问题中的应用价值，为后续学习坐标表示下的向量方法解决空间角、长度、垂直等问题奠定重要基础. 高中数学中的多个核心素养贯穿本节课始终，数学运算素养、逻辑推理素养尤为凸显，因此本节课的教学过程是核心素养落地生根的过程，是一次知识、方法、思想、素养的融会贯通之旅。

二、教学目标设置

根据《数学课程标准》总体设计思路，结合本章内容的教学构思和学情，制定教学目标如下：

1.通过小组合作、自主探究、交流分享，在类比中归纳得出：空间任意两个向量都是共面的，空间任意两个向量的数量积就是平面向量的数量积；学生能进一步理解和掌握空间向量数量积的相关概念及运算. 2.经历小练和例题的分析、求解过程，学生能初步体验空间向量在解决立体几何有关问题中的重要价值，能基本掌握用数量积处理空间长度和角度问题. 3.在解决具体问题的过程中，学生能强化数学应用意识，感悟数学思想（数形结合、化归转化等）的魅力. 三、学生学情分析

学生在经历空间向量的概念及线性运算之后，已初步感受到空间向量与平面向量之间的内在联系，能体会并运用类比的方法学习空间向量及其运算，明白了1

“空间任意两个向量都是共面的”；在平面向量的学习中，已经认识到平面向量的数量积在判定位置关系（垂直）、角与距离的计算中的应用价值，这为研究空间位置关系及相关度量提供了类比前提.即在平面向量的夹角和向量长度概念的基础上，类比引入空间向量的夹角、长度的概念和表示方法，类比平面向量的数量积的运算得到空间两个向量的数量积运算、运算律及其应用价值. 基于教学内容和学情分析，本节课的重点和难点确定如下：

重点：通过类比归纳得出空间向量数量积运算的概念及运算律，在运用数量积运算解决空间长度和角度问题的过程中感悟数量积运算及运算律的重要价值. 难点：理解空间向量的数量积；用空间向量建立几何与向量的联系，将立体几何问题转化为向量计算问题. 四、教学策略分析

启发式教学，在教学过程中，充分发挥学生主体作用，践行“学生先行，交流呈现，教师断后”的教学理念，突显“以学生为主体的教，在教师引导下的学”的授课模式. 通过问题引入、理解、思考、交流等途径，让学生“动起来”，让课堂“活起来”.在概念、运算律的建构中，始终坚持让学生主动进行类比与归纳；设置问题串适时突破难点，注重渗透数形结合、化归转化的数学思想.通过课堂小结与感悟，让学生能对课堂所学有持续的思考，激发学习的热情，进一步增强教师引领的辐射作用. 五、教学过程

1．教学主线

为了实现教学目标，本节课设置了一明一暗两条教学主线：按教学环节推进设置了“问题引入，提出概念；合作探究，辨析概念；应用概念，感悟“运算”

；归纳总结，作业巩固”四个板块，按知识能力方法的获得进程设置了“做类比、抓本质、悟方法、会应用”四个层次. 2.教学过程

2

2.1 问题引入，提出概念

问题1:

在《必修4》中已经学***面向量，并深刻地体会到平面向量在解决垂直、长度、角度等问题中的应用。我们还学习了空间向量的加减法、数乘运算，那么空间向量中，怎么样的运算能支持判断垂直问题，长度、角度计算问题？

追问：空间向量有数量积这种运算吗？为什么？是怎么样的？

【设计意图】空间向量的数量积运算不是凭空产生的，引导学生在与平面向量的类比中，体验空间向量数量积运算存在的必然性，从而自然地引出学习内容.同时，激活学生已有学习经历和知识储备，在例证中发现本质：任意两个空间向量都是共面的，所以任意两个空间向量的数量积，本质上就是平面向量的数量积.

2.2 合作探究，辨析概念

2.2.1小组合作，自主探究

问题2：请同学们以小组为单位讨论交流，借助小组的力量一起探究：空间向量的数量积到底是怎么样的？

【设计意图】

类比平面向量的数量积，暗示学生从定义、几何意义、运算律等方面学习空间向量的数量积，为学生自主探究空间向量的数量积运算提供方向选择. 2.2.2 交流分享，辨析概念

倾听不同小组代表的回答，在与平面向量数量积类比过程中，逐步归纳出空间向量的数量积定义、角度的注意点总结以及运算律，并猜想：两者完全一样！

空间向量数量积运算的分配律

问题3：在理清了空间向量数量积的运算律之后，请同学辨析一下下面的三个问题.

1（ab)c与a(bc)是否相等？(2) abacbc吗？

(3)ab0a0或b0?

【设计意图】通过回答表格的问题，学生进一步理解了空间向量数量积的概念及相关运算律，有效地完善了空间向量数量积运算的知识建构，为后续使用空间向量工具解决立体几何问题提供了运算支持. 3

3. 应用概念，感悟“运算”

学习一个新的量，就要研究它的运算；研究完运算，就要研究相应的运算律；整个体系完善后，我们就要研究它的实际应用。

乘热打铁先给出课堂练习：

2,ab2, 2则a与b的夹角大小为_____. 1.已知a22,b变：若ab2呢？2.pq(pq)2吗？22

3.如图：已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E、F分别是AB、AD的中点。

计算：（）1EFBA

(2)EFBD

(3)EFDC【设计意图】

前两小题主要是为了巩固基础，引导学生应用数量积来解决角度的问题。第3题将几何问题转化为向量问题是一个难点，解决问题的核心是数量积运算.因此设置如下步骤来突破难点：

第一步，熟读题目，引导学生将问题转化为向量问题；

第二步，选择合适的向量表示，利用数量积运算计算；

第四步，体验数量积运算的价值：数量积运算可以刻画空间线线的关系

4.如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AD＝3，AA1＝5，∠BAA1＝∠DAA1＝60°，求AC1的长．

【设计意图】

本题呈现了数量积运算求解长度的应用.通过设置问题串，引导学生思考求解策略；类比例1，促使学生深刻体会数量积运算4

在刻画空间直线相互关系中的应用价值.为此设置问题串来突破难点，并结合书本展示和课堂解析，带领同学们在课上将详细的推理过程完成.

4.归纳总结，作业巩固

课后作业：

P9495练习1，2，5,10

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