小结课堂实录【2】

空间向量与立体几何小结（第3课时）教学设计

云南民族大学附属中学

高中数学

刘益刚

知识与能力目标

1.进一步复习巩固空间向量解立体几何的各种算法；

2.熟练掌握直角坐标系中点的坐标计算的各种类型及方法。

过程与方法目标

通过小组合作学习、动手操作、主动探究等活动，发展学生迁移、类比、推理的能力，渗透数形结合思想。

情感态度与价值观

在解决问题的过程中，通过对一题多解的探索，对结节的梳理，培养学生自主学习的意识，创新精神及思维的严密性。

教学重点

求解空间直角坐标系下各种类型的点的坐标。

教学难点

根据实际问题选择对应的解题方法。

教学过程

一、预习题讲评

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA11,ADAB2，E为CD的中点．

(1)求AB1与AE所成角的余弦值；

(2)求平面AB1E的一个法向量；

(3)求点A1到平面AB1E的距离；

(4)求AD1与平面AB1E所成角的正弦值；

(5)求平面AB1E与平面ADA1所成锐二面角的余弦值.

解答：(1)

2

(2)

n2,1,4

（答案并不唯一）

54212105221

(4)

(5)

213521(3)

反思小结：本题的设计意图是复习巩固空间向量解立体几何时各种类型问题的解法，进一步区分及熟练掌握对应的公式。

线线角的余弦值：cosAB1,AEAB1AEAB1AE

点到面的距离：dAA1nn

线面角的正弦值：sinAD1nAD1n

二面角的余弦值：cosn1,n2n1n2n1n2

每一类问题都要求学生解答完后下结论，下结论的时候考虑最终取值的正负情况。

二、例题讲评

M是AB的中点.若MBC是正三角形，如图三棱柱ABCA1B1C1中，且ABBC1，求直线AB与平面MCA1所成角的正弦值.

解答：15

5反思小结：本题的设计意图是强调建系的准确性，这是用向量解立体几何问题最关键基础的一步。建坐标系一定要确定三条直线两两垂直。

三、练习题讲评

D练习1：如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面ABB1A1为矩形，AB1，AA12，OCOA，求直线C1D平为棱AA1的中点，BD与AB1交于点O，CO侧面ABB1A1.若面ABC所成角的正弦值.

解答：355

55反思小结：本题的设计意图一是当我们要重点研究立体图像中的某一部分时，可以把它分离出来，画出较标准的平面图形，从而把问题简化；二是通过一题多解引导学生的发散、创新

思维。本题难点在于利用BCB1C1从而求出点C1的坐标。

练习2：如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

(1)求证：B1E⊥AD1；

(2)在棱AA1上是否存在一点P，使得DP∥平面B1AE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．

解答：(1)

B1EAD10

(2) 1

2反思小结：本题的设计意思是当部分长度不明确时，不影响向量法解题。

练习3：如图所示的空间几何体中,底面四边形ABCD为正方形,

AFAB,

AF//BE,平面ABEF平面ABCD，DF5,CE22,BC2

（1）在线段DE上求点M，使得二面角MBCA为600；

（2）若在平面DEF上存在点P,使得BP平面DEF,试通过计算说明点P的位置.

解答：(1)略

(2) P是线段DE上靠近E的三等分点

反思小结：本题的设计意图是体现两种类型的点的坐标的设法。一种是棱上的点通过向量共线设，一种是面上的点通过基底的原理设。

四、作业

把练习题算完整，得出最终的答案。

五、小结

空间向量中关于点的坐标的确定

(1)具体而明确的点

(2)具体而抽象的点

(3)特殊位置的未知点

(4)棱上不确定的未知点

(5)面上不确定的未知点