3.3.4 两条平行直线间的距离教案公开课一等奖

3.3.3 --3.3.4点到直线的距离、两条平行直线间的距离（教学设计）

教学目标：

1.知识与技能：

1）理解点到直线距离公式的推导，

2）熟练掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间距离；2.过程与方法

经历两点间距离公式的推导过程，会用点到直线距离公式求解两平行线距离

王新敞3.情感、态度与价值观：

认识事物之间在一定条件下的转化，用联系的观点看问题

王新敞教学重点、难点

重点：点到直线的距离公式.

王新敞难点：点到直线距离公式的理解与应用. 教学过程

一）创设情境，导入新课

前面几节课，我们一起研究学习了两直线的平行或垂直的充要条件，两直线的交点问题，两点间的距离公式。逐步熟悉了利用代数方法研究几何问题的思想方法.这一节，我们将研究怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离。

用POWERPOINT打出平面直角坐标系中两直线，进行移动，使学生回顾两直线的位置关系，且在直线上取两点，让学生指出两点间的距离公式，复习前面所学。要求学生思考一点到直线的距离计算？能否用两点间距离公式进行推导？ （二）

师生互动，探究新知

1．点到直线距离公式及其推导：

点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：d

（1）提出问题

在平面直角坐标系中，如果已知某点P的坐标为(x0,y0)，直线方程中A＝0或B＝0时，，怎样用点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢? 学生可自由讨论。

（2）数行结合，分析问题，提出解决方案

学生已有了点到直线的距离的概念，即由点P到直线l的距离d是点P到直线l的垂线段的长. 这里体现了“画归”思想方法，把一个新问题转化为

一个曾经解决过的问题，一个自己熟悉的问题。

画出图形，分析任务，理清思路，解决问题。

方案一：

Ax0By0C王新敞AB22

设点P到直线l的垂线段为PQ，垂足为Q，由PQ⊥l可知，直线PQ的斜率为B（A≠0），根据点斜式写出直线PQA的方程，并由l与PQ的方程求出点Q的坐标；由此根据两点距离公式求出｜PQ｜，得到点P到直线l的距离为d 王新敞此方法虽思路自然，但运算较繁.下面我们探讨别一种方法

王新敞方案二：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R(x1,y0)；作y轴的平行线，交l于点S(x0,y2)，

由A1x1By0C0By0CAx,yAx0C20By得x1. 2C0ABy所以，｜PＲ｜＝｜xAxByRdP(x0,y0)00C0x1｜＝A

QoS｜PS｜＝｜yAx0By0Clx0y2｜＝B

｜ＲS｜＝PR2PS2A2B2AB×｜Ax0By0C｜

由三角形面积公式可知：d·｜ＲS｜＝｜PＲ｜·｜PS｜王新敞

所以dAx0By0CA2B2

可证明，当A=0时仍适用王新敞

（三）公式识别，巩固提高. 例1（课本P107例5）

求点P=（-1，2）到直线 3x=2的距离。

解：d=312320253

变式训练1（课本P108练习NO：1；2）

例2（课本P107例6）

已知点A（1，3），B（3，1），C（-1，0），求三角形ABC的面积。

解：设AB边上的高为h，则

SABC=12ABh

y A AB31213222，

AB边上的高h就是点C到AB的距离. h B C O

x 2

AB边所在直线方程为y3X1即x+y-4=0。

1331

点C到X+Y-4=0的距离为h=1041125，

2因此，S=15225

22通过这两道简单的例题，使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用，能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性。

例3 求两平行线l1：2x3y80，l2：2x3y100的距离. 解法1：在直线l1上取一点P(４，0)，

因为l1∥l2，所以点P到l2的距离等于l1与l2的距离.于是

d2430102232213213

13新问题：平行直线间距离如何求？。

已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，

l2：AxByC20，则l1与l2的距离为dC1C2王新敞AB22

证明：设P0(x0,y0)是直线AxByC20上任一点，则点P0到直线AxByC10的距离为dAx0By0C1王新敞AB22

又

Ax0By0C20

即Ax0By0C2，∴d＝C1C2AB22

王新敞上述例3的解法2：l1∥l2又C18,C210. 由两平行线间的距离公式得d8(10)232223

13王新敞变式训练3：（1）（课本P108例7）已知直线l1:2x7y80,l2:6x21y10，l1与l2是否平行？若平行，求l1与l2间的距离。

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分析：两直线是否平行就看其斜率是否相等。若平行，l1与l2间的距离可利用上例的方法求得。

生：（讨论后解答）解：l1的斜率k1267，l2的斜率k22127，即：k1k2

所以l1∥l2。在直线l1上任取一点A（4，0），

点A（4，0）到直线l2的距离为：

d64210123622123532315953。

所以l1与l2间的距离为2315953。

（2）（课本P109练习NO：1）

例4：(tb)两条直线L1：ax-by+4=0和L2：(a-1)x+y+b=0，求满足下列条件的a,b的值：

(1)

直线L1L2且L1过点(-3,-1)；

(2)

直线L1//L2且坐标的原到这两条直线的距离相等。

（答：（1）a=2,b=2；（2）a=2,b=2或a=23,b=2）

变式训练4：(tb)直线L的方程是y=3x-4，试求直线L1的方程，使L与L1：

（1）关于x轴对称；（2）关于y轴对称；（3）关于原点对称；（4）关于直线y=x对称。

（答：（1）y= -3x+4；（2）y= -3x-4 ；(3) y=3x+4；(4) x=3y-4）

（四）课堂小结，巩固反思：

点到直线距离公式的推导过程，点到直线的距离公式，能把求两平行线的距离转化为点到直线的距离公式王新敞

（五）课时必记：

1、点P(x0,y0)到直线l:AxByC0的距离为：dAx0By0C王新敞A2B2

2、已知两条平行线直线l1和l2的一般式方程为l1：AxByC10，l2：AxByC20，

则l1与l2的距离为dC1C2王新敞A2B2

特别注意：x与y的系数应化为相等。

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（六）布置作业

A组：

1、（课本P109习题3.3 A组：NO：9）

2、（课本P109习题3.3 A组：NO：10）

3、（课本P114复习参考题

A组：NO：10）

4、（课本P114复习参考题

A组：NO：11）

B组：

1、（课本P109习题3.3 A组：NO：2）

2、（课本P109习题3.3 A组：NO：4）

3、（课本P109习题3.3 A组：NO：9）

4、（课本P114复习参考题

B组：NO：4）

5、（课本P114复习参考题

B组：NO：10）

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