1.1.2 简单组合体的结构特征教学设计第一课时

简单组合体的结构特征

自学导引

1．空间几何体

(1)多面体：由若干个____________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个________叫做多面体的面；相邻两个面的________叫做多面体的棱；棱与棱的________叫做多面体的顶点．

(2)旋转体：由一个平面图形绕它所在平面内的一条________旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体，这条________叫做旋转体的轴．

2．多面体

多面结构特征

图形

表示法

体

有两个面互相________，其余各面都是________，并且每相邻两个四边形的公共边都互相________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．棱柱中，如上、下底面分别是四边形棱柱

____________的面叫做棱柱的A′B′C′D′、四边形ABCD的四棱底面，简称底；________叫做柱，可记为棱柱ABCD－A′B′C′D′

棱柱的侧面；相邻的侧面的________叫做棱柱的侧棱；侧

面与底面的__________叫做棱柱的顶点

有一个面是______，其余各面都是有一个公共顶点的______，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．这个__________叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个_________叫做棱锥的侧面；各侧面的_________叫做棱锥的顶点；相邻侧面的______叫做棱锥的侧棱

棱锥

如图所示，该棱锥可表示为棱锥

S－ABCD

棱台

用一个_____________ 的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台．原棱锥的________和________分别叫做棱台的下底面和上底面

如上、下底面分别是四边形A′B′C′

D′、四边形ABCD的四棱台，可记为棱台

ABCD－A′B′C′D′

3.旋转体

旋转体

圆柱

结构特征

以______________所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的________叫做圆柱，______叫做圆柱的轴；_________的边旋转而成的______叫做圆柱的底面；________的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置____________的边都叫做圆柱侧面的母线

图形

表示法

圆柱用_____________表示，左图中圆柱表示为圆柱OO′

圆锥

以直角三角形的____________所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥

圆锥用____________表示，左图中圆锥表示为圆锥SO

圆台

用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与________之间的部分叫做______．与圆柱和圆锥一样，圆台也有____、______、______、______

圆台用____________表示，左图中圆台表示为圆台OO′

球

以半圆的________所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球．____________叫做球的球心，____________叫做球的半径，__________叫做球的直径

球常用表示球心的字母表示，左图中的球表示为球O

4．简单组合体的结构特征

(1)定义：由____________组合而成的几何体叫做简单组合体．

(2)简单组合体的两种基本形式：

一种是由简单几何体________而成；

一种是由简单几何体____________一部分而成．

自主探究

探究1：多面体与旋转体的主要区别是什么？

探究2：如图所示，是由两个相同形状的三棱柱叠放在一起形成的几何体，请问这个几何体是棱柱吗？

预习测评

1．下列几何体是棱柱的有(

)

A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

2．以钝角三角形的较小边所在直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体是(

) A．两个圆锥拼接而成的组合体

B．一个圆台

C．一个圆锥

D．一个圆锥挖去一个同底的小圆锥

3．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm. 4．观察常见的六角螺母，可以近似地将它看成是由一个正六棱柱挖去一个________后组成的简单组合体．

讲授新课

要点阐释

1．各种四棱柱的关系

在棱柱中，当侧棱不垂直于底面时，称为斜棱柱；当侧棱垂直于底面时，称为直棱柱；如果直棱柱的底面是正多边形，则称为正棱柱；在四棱柱中，如果底面是平行四边形，则称为平行六面体；当平行六面体的侧棱与底面不垂直时，称为斜平行六面体；当平行六面体的侧棱与底面垂直时，称为直平行六面体；如果直平行六面体的底面是矩形，则称为长方体；当长方体的棱长都相等时，称为正方体．

在四棱柱中，可以用下面的图示帮助把握它们之间的关系：

2．正棱锥中的有关概念

(1)正棱锥是指底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥，正棱锥的各个侧面

都是等腰三角形，如图所示，为正四棱锥V－ABCD. (2)正棱锥侧面等腰三角形底边上的高，叫做正棱锥的斜高，如图中的VE. 3．圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面特征

过圆柱、圆锥、圆台和球的轴的截面叫做以上各几何体的轴截面．其中圆柱的轴截面是矩形，如图(1)中矩形ABCD；圆锥的轴截面为等腰三角形，如图(2)中△ABC；圆台的轴截面为等腰梯形，如图(3)中梯形ABCD；球的轴截面为圆，如图(4)中⊙O. 4．柱体、锥体、台体的联系

柱体、锥体、台体的形状虽然不同，但它们可以互相转化：当台体的上、下底全等时，台体转化为柱体，当台体的上底面收缩为一点时，台体转化为锥体，即：

因此，柱体与锥体都是台体的特例．在学习时，要注意柱体、锥体、台体这三类几何体之间的联系．

典例剖析

题型一

空间几何体有关概念的理解

【例1】

判断下列说法是否正确．

(1)棱柱的各个侧面都是平行四边形；

(2)一个n(n≥3)棱柱共有2n个顶点；

(3)棱柱的两个底面是全等的多边形；

(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，则

其余各侧面也都是矩形．

【解析】

(1)由棱柱的定义可知，棱柱的各侧棱互相平行，同一个侧面内两条底边也互相平行，所以各侧面都是平行四边形．

(2)一个n棱柱的底面是一个n边形，因此每个底面都有n个顶点，两个底面的顶点数之和即为棱柱的顶点数，即2n个．

(3)因为棱柱同一个侧面内的两条底边平行且相等，所以棱柱的两个底面的对应边平行且相等，故棱柱

的两个底面全等．

(4)如果棱柱有一个侧面是矩形，只能保证侧棱垂直于该侧面的底边，但其余侧面的侧棱与相应底边不一定垂直，因此其余侧面不一定是矩形．

故(1)(2)(3)正确，(4)不正确．

变式训练1．给出下列命题：

①以直角三角形的一条边为轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；

②以等腰三角形底边上的中线为轴，将三角形旋转形成的曲面围成的几何体是圆锥；

③经过圆锥任意两条母线的截面是等腰三角形；

④圆锥侧面的母线长一定大于圆锥底面圆直径．

其中正确命题的序号是________．

题型二

简单几何体的组合体

【例2】

已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的一腰，如图．分别以AB，BC，CD，DA为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征．

【解析】

(1)以AB边为轴旋转所得旋转体是圆台．如图①所示．

(2)以BC边为轴旋转所得旋转体是一个组合体：下部为圆柱，上部为圆锥．如图②所示．

(3)以CD边为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥．如图③所示．

(4)以AD边为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥．如图④所示．

2．如图，已知三棱台ABC－A′B′C′. (1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；

(2)把它分成三个三棱锥并用字母表示．

【解析】

(1)如下图①所示，三棱柱是棱柱A′B′C′－AB″C″，多面体是B′C′CBB″C″. (2)如图②所示，三个三棱锥分别是A′－ABC，B′－A′BC，C′－A′B′C.

题型三

空间几何体的简单计算

【例3】

一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：

(1)圆台的高；

(2)截得此圆台的圆锥的母线长．

【解析】

(1)如图所示，圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，由已知可得上底半径O1A＝2 cm，下底半径OB＝5 cm，又腰长为12 cm，所以高为AM＝122－5－22＝315(cm)．

(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm，

l－122则由△SAO1∽△SBO可得＝.∴l＝20(cm)．

l5即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm. 3．圆台侧面的母线长为2a，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．

误区解密

因判断依据不充分而出错

【例4】

如图，甲、乙、丙、丁是不是棱锥、棱台、圆柱、圆锥等几何体？

错解：图甲，因为一面ABCD是四边形，其余各面都是三角形，所以甲图是棱锥；图乙是棱台；图丙是圆柱，图丁是圆锥．

课堂总结

1．根据几何体的结构特点判定几何体的类型，首先要熟练掌握各几何体的概念，把握好各类几何体的性质，其次要有一定的空间想象能力．

2．圆柱、圆锥和圆台可以看作是以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体，球可以看作是以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体，其轴截面分别为矩形、等腰三角形、等腰梯形和圆面，这些轴截面集中反映了旋转体的各主要元素，处理旋转体的有关问题一般要作出轴截面．

3．要正确区分斜棱柱、直棱柱和正棱柱、长方体与正方体的关系，正确区分正三棱锥与正四面体的关系．