1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学目标

§1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积

与体积（1）

教学目标

1.

理解和掌握柱、锥、台的表面积计算公式；

2.

能运用柱、锥、台的表面积公式进行计算和解决有关实际问题. 一、课前准备

（预习教材

P23~ P25，找出疑惑之处）

复习：斜二测画法画的直观图中，x

轴与

y

轴的夹角为____，在原图中平行于

x

轴或

y 轴的线段画成与___和___保持平行；其中平行于

x

轴的线段长度

保持_____，平行于

y 轴的线段长度

引入：研究空间几何体，除了研究结构特征和视图以外，还得研究它的表面积和体积.表面积是几何体表面的面积，表示几何体表面的大小；体积是几何体所占空间的大小.那么如何求柱、锥、台、球的表面积和体积呢？

[来源学科网]

新知

2：（1）设圆柱的底面半径为

r ，母线长为

l 则它的表面积等于圆柱的侧面积（矩形）加上底面积（两个圆），即

S 2 r 2  2

rl 2 r(r

l)

（2）设圆锥的底面半径为

r ，母线长为

l ，则它的表面积等于圆锥的侧面积（扇形）加上底面积（圆形），即

S r 2  rl r (r

l)

.试一试

2：圆台的侧面展开图叫扇环，扇环是怎么得到的呢？（能否看作是个大扇形减去个小扇形呢）你能试着求出扇环的面积吗？从而圆台的表面积呢？

新知

3：设圆台的上、下底面半径分别为

r

，

r 母线长为

l ，则它的表面积等上、下底面的面积（大、小圆）加上侧面的面积（扇环），即

S r2 r 2 (rl rl ) (r2 r 2 

rl

rl ) 反思：想想圆柱、圆锥、圆台的结构，你觉得它们的侧面积之间有什么关系吗？

[来源学&科&网]二、新课导学

※

探索新知

探究

1：棱柱、棱锥、棱台的表面积

问题：我们学习过正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（下图），你觉的它们展开图与其表面积有什么关系吗？

结论：

正方体、长方体是由多个平面围成的多面体，其表面积就是各个面的面积的和，也就是展开图的面积. 新知

1：棱柱、棱锥、棱台都是多面体，它们的表面积就是其侧面展开图的面积加上底面的面积.

试试

1：想想下面多面体的侧面展开图都是什么样子，它们的表面积如何计算？

※

典型例题

例

1

已知棱长为

a

，各面均为等边三角形的四面体

S ABC

，求它的表面积.

探究

2：圆柱、圆锥、圆台的表面积

问题：根据圆柱、圆锥的几何特征，它们的侧面展开图是什么图形？它们的表面积等于什么？你能推导它们表面积的计算公式吗？

例

2如图,一个圆台形花盆盆口直径为

20 cm ,盆底直径15 cm ,底部渗水圆孔直径为

1.5cm ,盆壁长15

cm .为了美化花盆的外观,需要涂油漆.已知每平方米用

100 毫升油漆,涂

100 个这样的花盆需要多少油漆(

取

3.14,结果精确到

1 毫升)?

3.

一个正四棱台的两底面边长分别为

m

,

n

(m

n)

,侧面积等于两个底面积之和,则这个棱台的高为

(

) A mnmnmnmn

BC

D

mnmnmnmn

4.

如果圆锥的轴截面是正三角形,则该圆锥的侧面积与表面积的比是_________ 5.

已知圆台的上、下底面半径和高的比为

1︰4︰4,母线长为

10,则圆台的侧面积为_________ 6如图，在长方体中，AB3

，BC4

，CC1



5

，求沿着长方体表面

A

到

C 1

的最短路线长

.

※

动手试试

练

1.

一个正三棱锥的侧面都是直角三角形，底面边长为

a

，求它的表面积.

练

2.

粉碎机的上料斗是正四棱台形状，它的上下底面边长分别为

80 mm

、440 mm

，高(上下底面的距离)是

200

mm

,

计算制造这样一个下料斗所需铁板的面积.

D1 A1 B1 C1

C D

A B

※基础达标

1．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为（

）. A. 8

B.

842

C.

D.

三、总结提升

※

学习小结

1.

棱柱、棱锥、棱台及圆柱、圆锥、圆台的表面积计算公式；

2.

将空间图形问题转化为平面图形问题，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法

2．圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84，则圆台较小底面的半径为（

）.

A. 7

B. 6

C. 5

D. 3 3．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的全面积与侧面积的比是（

）. A. 12141214B. C. D.

242※

知识拓展

当柱体、锥体、台体是一些特殊的几何体,比如直棱柱、正棱锥、正棱台时，它们的展开图是一些规则的平面图形，表面积比较好求；当它们不是特殊的几何体，比如斜棱柱、不规则的四面体时，要注意分析各个面的形状、特点，看清楚题目所给的条件，想办法求出各个面的面积，最后相加

※

当堂检测（时量：5 分钟

满分：10 分）

1.

正方体的表面积是

64,则它对角线的长为

2.

一个圆柱的侧面展开图是一个正方形,这个圆柱的表面积与侧面积的比是（

）

4．一个直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）面是菱形，棱柱的对角线长分别是9cm和15cm，高是5cm，则这个直棱柱的侧面积是（

）cm2. A. 160 B.320 C.4089 D. 8089

5．四面体ABCD四个面的重心分别为E、F、G、H，则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是（

）. A．11

B．

1627C．1

9D．1

8A12141214

B

C

D

242

6．如图，已知圆柱体底面圆的半径为线，又

PA 2

，PB 3, PC 4

，三棱锥

P

AB，CD分别是两底面的直ABC

的体积V

径，AD，BC是母线．若一

只小虫从A点出发，从侧面A

B

爬行到C点，则小虫爬行的最

短路线的长度是

（结果保留根式）．

7．已知两个母线长相等的圆锥的侧面展开图

恰能拼成一个圆，且它们的侧面积之比为1：

2，则它们的高之比为

.

变式：如图(2)，在边长为

4 的立方体中，求8．六棱台的上、下底面均是正六边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯三棱锥

B ABC

的体积

形，侧棱长为13 cm，求它的表面积.

§1.3.1

柱体、锥体、台体

的表面积与体积（2）

教学目标：

1.

了解柱、锥、台的体积计算公式；

小结：求解锥体体积时,要注意观察其结构特2.

能运用柱、锥、台的体积公式进行计算和征，尤其是三棱锥(四面体)，它的每一个面都可以当作底面来处理.这一方法又叫做等体积解决有关实际问题

法，通常运用此法可以求点到平面的距离(后一、课前准备

面将会学习)，它会给我们的计算带来方便.

（预习教材

P25~ P26，找出疑惑之处）

例

2

高

12 cm

的圆台，它的中截面(过高的复习

1：多面体的表面积就是______________ 中点且平行于底面的平面与圆台的截面)面积加上__________

为

225  cm2

,体积为

2800cm 3 ，求截得它的复习

2：圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分圆锥的体积. 别是

_____、______、_______；若圆柱、圆

锥底面和圆台上底面的半径都是

r ，圆台下

底面的半径是

r，母线长都为

l ,则

变式：已知正六棱台的上、下底面边长分别为

S圆柱

 ___________ S圆锥

 ___________，

2 和

4，高为

2，求截得它的的正六棱锥的体

S圆台

 ____________ 积. 引入：初中我们学习了正方体、长方体、圆柱

的体积公式V Sh（

S 为底面面积，h

为高），

是否柱体的体积都是这样求呢？锥体、台体的小结：对于台体和其对应锥体之间的关系，可体积呢？

通过轴截面中对应边的关系，用相似三角形的二、新课导学

知识来解.

※

探索新知

例3．有一堆规格相同的铁制(铁的密度是

新知：经过证明(有兴趣的同学可以查阅祖暅[来源学科网]2，高为2，D

C

PB, PC

分

别

是

面PBC, PAC, PAB 的垂PB, PC 是

它

的

三

条

侧

棱

, 且

PA, 原理)柱体体积公式为：V Sh

，（

S 为底面积，

h

为高）

1锥体体积公式为：V



Sh

，

S 为底7.8g / cm

3

) 六角螺帽共重5.8g

，已知底面是正六边形，边长为

12 mm

，内孔直径为

10

mm

，高为

10 mm

，问这堆螺帽大约有多少个(

取

3.14).

3面积，h

为高）

1台体体积公式为：

v(ssss)h3

（

S

，

S 分别为上、下底面面积，

h

为高）

1v(ssss)h补充：柱体的高是指两3底面之间的距离；锥体的高是指顶点到底面的距离；台体的高是指上、下底面之间的距离.

[来源:Z#xx#k.Com]

※动手试试

在VABC中，AB=BC=2，ABC120。.o※

典型例题

例

1

如图(1)所示，三棱锥的顶点为

P ，PA,

若将VABC绕BC旋转一周，求所形成的旋转体的体积

倒入轴截面是正三角形的倒圆锥形器皿中，则水面的高度是（

）. A. 63cm

B. 6cm

C. 2318cm

D. 3312cm

4．矩形两邻边的长为a、b，当它分别绕边a、b旋转一周时, 所形成的几何体的体积之比为（

A. 三、总结提升

※

学习小结

1.

柱体、锥体、台体体积公式及应用，公式不要死记，要在理解的基础上掌握；

2.

求体积要注意顶点、底面、高的合理选择.

※

知识拓展

祖暅及祖暅原理

祖暅，祖冲之（求圆周率的人）之子，河北人，

南北朝时代的伟大科学家.

柱体、锥体,包括球的体积都可以用祖暅原理推导出来

祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体, 被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等. ※

当堂检测（时量：5 分钟

满分：10 分）

1.

圆柱的高增大为原来的

3 倍，底面直径增大为原来的

2 倍，则圆柱的体积增大为原来的（

）

A.6 倍B.9 倍C.12 倍D.16 倍

2.

已

知

直

四

棱

柱

相

邻

的

三

个

面

的

面

积

分

别

为则它的体积为（

）

baba

B.

C. ()3

D. ()3

abab5．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（

）. 2,3,6

A 23

B

32

C 6

D 4 3.

各棱长均为

a

的三棱锥中，任意一个顶点到其对应面的距离为（

）

33A

6

B

aC

a

a266

2D

a2

4.

一个斜棱柱的的体积是

30 cm 3

，和它等底等高的棱锥的体积为________

5.

已知圆台两底面的半径分别为

a,

b

(a

b)

,则圆台和截得它的圆锥的体积比为__________

※基础达标

1．已知圆柱与圆锥的底面积相等，高也相等，它们的体积分别为V1和V2，则V1:V2（

）. A. 1:3

B. 1:1

C. 2:1

D. 3:1

2．三棱锥V—ABC的底面ABC的面积为12，顶点V到底面ABC的距离为3，侧面VAB的面积为9，则点C到侧面VAB的距离为（

）. A. 3

B.

4

C. 5

D. 6 3．若干毫升水倒入底面半径为2cm的圆柱形器皿中，量得水面的高度为6cm，若将这些水4243

B .

左视图

主视图

3338

C.

D .

63

俯视图

6．已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且长度分别为1cm，2cm，3cm，则此棱锥的体积_____.

A．§1.3.2球的体积和表面积

教学目标

1.

了解球的表面积和体积计算公式；

2.

能运用柱锥台球的表面积公式及体积公式进行计算和解决有关实际问题. 一、课前准备

（预习教材

P27~ P28，找出疑惑之处）

复习：柱体包括

_____和

_____,它的体积公式为__________；锥体包括_______和_______,它的体积公式为_____________；台体包括_____和______它可以看作是大锥体上截去了一个小锥体,所以它的体积公式为___________________________

二、新课导学

※

探索新知

新知：球的体积和表面积

球没有底面,也不能像柱体、锥体、台体那样展成平面图形，它的体积和表面积的求法涉及极限思想

(一种很重要的数学方法).经过推导证明：球的体积公式

43Vr

3

Rr

球的表面积公式s4r

其中，r表示半径.显然，球的体积和表面积的大小只与半径

R 有关

2

※

知识拓展

极限的思想推导球的表面积公式过程：

如图,将球的表面分成

n

个小球面，每个小球面的顶点与球心

O

连接起来，近似的看作是一个棱锥，其高近似的看作是球的半径.则球的体积约为这

n

个小棱锥的体积和，表面积是这

n

个小球面的面积和. 当

n

越大时，分割得越细密，每个小棱锥的高就越接近球的半径，于是当

n

趋近于无穷大时(即分割无限加细)，小棱锥的高就变成了球的半径(这就是极

限的思想).所有小棱锥的体积和就是球的体积.最后根据球的体积公式就可以推导出球的表面积公式

※

当堂检测（时量：5 分钟

满分：10 分）

1.

如果球的半径扩大

2 倍，则球的表面积扩大

2.

有相等表面积的球及正方体，它们的体积记为V1

,

V 2 ，球直径为

d ，正方体的棱长为

a ，则（

）

A. d a, V1

V2

d a, V1

V2

C. d a, V1

V2

d a, V1

V2

3.

记与正方体各个面相切的球为

O 1

，与各条棱相切的球为

O 2

，过正方体各顶点的球为

O 3

则这

3

个球的体积之比为（

）

A.1:2:3

B. ※

典型例题

例

1

木星的表面积约是地球的

120 倍，则体积约是地球的多少倍?

变式：若三个球的表面积之比为1﹕

2 ﹕

3 ，则它们的体积之比为多少?

例

2 一种空心钢球的质量是

142 g

，外径是

5.0 cm

求它的内径.

（钢密度

7.9 g / cm 3 ）

例

3

如图，圆柱的底面直径与高都等于球的直径

(即圆柱内有一内切球)，求证

（1）球的体积等于圆柱体积的

2

变式：半径为

R 的球内有一内接正方体，设正方体的内切球半径为

r ，则

为多少?

小结：两个几何体相接是指一个几何体的所有顶点都在另一个几何体的表面上；两个几何体相切是指一个几何体的各面与另一个几何体的各面相切.解决几何体相切或相接问题，要利用截面来展现这两个几何体之间的相互关系，从而把空间问题转化为平面问题来解决

3（2）球的表面积等于圆柱的侧面积. 1:2:3C1:22:33

D1:4:9 4.

已知球的一个截面的面积为

9π，且此截面到球心的距离为

4，则球的表面积为_________

5球内有一内接正方体，则这个半球的表面积与正方体表面积之比是多少?

※基础达标

1．正方体的内切球和外接球的半径之比为（

）.

※

动手试试

练

1.长方体的一个顶点上的三条棱长为

3、

4 、

5 ，若它的八个顶点都在同一个球面上，求出此球的表面积和体积. 3:1

B. 3:2

C. 2:3

D. 3:3

2．设正方体的全面积为24cm2，一个球内切于该正方体，那么这个球的体积是（

）. 32A. 6cm3

B. cm3

384

C. cm3

D. cm3

33

A.

三、总结提升

※

学习小结

1.

球的表面积及体积公式的应用；

2.

空间问题转化为平面问题的思想

3．已知，棱长都相等的正三棱锥内接于一个球，某学生画出四个过球心的平面截球与正三棱锥所得的图形，如下图所示，则（

）.

(1)(2)

(3)(4)A. 以上四个图形都是正确的B. 只有(2)(4)是正确的C. 只有(4)是错误的

D. 只有(1)(2)是正确的

4．长方体的一个顶点上三条棱长分别是3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（

）.

A. 25

B. 50

C.

125

D. 都不对

5．一个圆锥与一个球的体积相等，圆锥的底面半径是球的半径的3倍，圆锥的高与底面半径之比为（

）. [来源:Zxxk.Com]求出来的？它们的体积公式有何联系？球的表面积和体积只和什么变量有关？

复习

2：简单组合体的表面积和体积怎么求？

例题

1.

在棱长为1的正方体上，分别用过顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去

8 个三棱锥后，剩下多面体的体积为（

）

2457A

B

C

D

56632.

已知球面上过

A, B, C 三点的截面和球心的距离是球半径的一半，且

AB

BC

CA

2

，则球的表面积为（

）

A4

B 16864

C

D

3993.

正方体的

8 个顶点中有

4 个恰为正四面体的顶点,则正方体的全面积与正四面体的全面积之比为

(

)

A

2

B

3

C 49427

B.

C.

D.

942746．若三个球的表面积之比是1:2:3，则它们

A.

的体积之比是

. 7．

一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则这个球的表面积为

，体积为

.

※能力提高

8．已知过球面上A,B,C三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且ABBCCA2，求球的表面积. 623

D

234.

正四棱锥底面积为

S ，过两对侧棱的截面面积为Q

，则棱锥的体积为___________.

※基础达标

1．已知正方体外接球的体积是方体的棱长等于（

）. 32，那么正3

CAOO'

B

§1.3 空间几何体的表面积与体积

（练习）

教学目标

1.

会求空间几何体、简单组合体的面积和体积；

2.

能解决与空间几何体表面积、体积有关的综合问题；

3.

进一步体会把空间问题转化为平面问题的思想. 一、课前准备

（复习教材

P23~ P28，找出疑惑之处）

复习

1：柱体、锥体、台体的表面积是如何[来源学科网ZXXK]234243

C.

D. . 3332．过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截面的面积与球的表面积的比为（

）. 3939A.

B.

C.

D.

16168323．有一个几何体的三视图及其尺寸如下（单位：cm），则该几何体的表面积及体积为（

）. 232A. 24πcm，12πcm

B. 15πcm，12πcm3 C. 24πcm2，36πcm3

D. 以上都不正确

4.在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体,则截去8个三棱锥后

,剩下的凸多面体的体积是（

）.A. 22

B. [来源学科网][来源学科网ZXXK][来源学。科。网Z。X。X。K]A. 2745

B.

C.

D.

36565．向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果

注水量V与水深h的函数关系的图象如右图所示，那么水瓶的形状是（

）.

6．

一个边长为2cm的正三角形绕它的边旋转一周，所得旋转体的表面积为

，体积为

.

7．关于“斜二测”直观图的画法，有如下说法：①

原图形中平行于y轴的线段，其对应型, 另一块剪拼成正三棱柱模型，使它们的全面积都与原三角形的面积相等. 请设计一个剪拼方法, 分别用虚线标示在图1、图2中, 并作简要说明；

（2）试比较你剪拼的正三棱锥与正三棱柱的体积的大小；

（3）

如果给出的是一块任意三角形的纸片（如图3）, 要求剪拼成一个直三棱柱模型, 使它的全面积与给出的三角形的面积相等, 请设计一个剪拼方法, 用虚线标示在图3中, 并作简要说明.

1线段平行于y’轴，长度变为原来的；②

画2与直角坐标系xoy对应的x’o’y’时，∠x’o’y’必须是45°；③

在画直观图时，由于选轴的不同，所得的直观图可能不同；④

等腰三角形的直观图仍为等腰三角形；⑤

梯形的直观图仍然是梯形；⑥

正三角形的直观图一定为等腰三角形. 其中说法正确的序号依次是

.

※能力提高

8．设计一个正四棱锥形冷水塔塔顶，高是0.85m，底面的边长是1.5m，制造这种塔顶需要多少平方米铁板？（保留两位有效数字）

9．已知一个几何体的三视图如右，试求它的表面积和体积.（单位：cm）

※探究创新

10．（1）给出两块相同的正三角形纸片（如图1、图2），要求用其中一块剪拼成正三棱锥模