复习参考题教学设计及说课稿

海珠外国语实验中学高三理数一轮复习

圆锥曲线的定值问题（教学设计）

海珠外国语实验中学

数学科

姜云异

纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等。

本节课的主要目标是利用代数方法求解定值问题。

所谓定值问题，是指虽然圆锥曲线中的某些要素（通常可通过变量进行体现）有所变化，但在变化过程中，某个量的值保持不变即为定值。

1、常见定值问题的处理方法：

（1）确定一个（或两个）变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示。

（2）将所求表达式用核心变量进行表示（有的甚至就是核心变量），然后进行化简，看能否得到一个常数。

2、定值问题的处理技巧：

（1）对于较为复杂的问题，可先采用特殊位置（例如斜率不存在的直线等）求出定值，进而给后面一般情况的处理提供一个方向。

（2）在运算过程中，尽量减少所求表达式中变量的个数，以便于向定值靠拢。

（3）巧妙利用变量间的关系，例如点的坐标符合曲线方程等，尽量做到整体代入，简化运。

例1．

已知椭圆C：|F1F2|=2（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，若PF1⊥PF2，，△PF1F2的面积为1．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若A，B分别为椭圆上的两点，且OA⊥OB，求证：为定值，并求出该定值．

解：（Ⅰ）∵椭圆C：PF1⊥PF2，|F1F2|=2∴（a＞b＞0）的左右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆C上一点，

，△PF1F2的面积为1．

，

解得a=2，c=，b=a2﹣b2=1，

1

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∴椭圆C的方程为：（Ⅱ）法一

=1．…………………（5分）

（i）当直线OA的斜率不存在时，+=，…………………（6分）

，

（ii）当直线OA的斜率存在时，设lOA：y=kx，则lOB：y=﹣由，得，|OA|2=，同理，|OB|2=，

=综上，（Ⅱ）法二

+为定值==．

．…………………（12分）

设

、

，则

+

=1，

则

+

=1，

+=

设计意图：总结求定值类问题的方法，找到变量

①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关．

②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．

③直线过原点的问题也可以选择用极坐标来解决问题，计算更简便。

变式训练1．

已知动圆C过点F（1，0），并与直线x=﹣1相切．

（1）求动圆圆心C的轨迹方程E；

（2）已知点P（4，﹣4），Q（8，4），过点Q的直线l交曲线E于点A，B，设直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，求证：k1k2为定值，并求出此定值．

解：（1）设C（x，y），∵动圆C过点F（1，0），并与直线x=﹣1相切，

∴=|x+1|，化简，得动圆圆心C轨迹方程为y2=4x．

（2）当AB斜率为不存在时，

,

当AB斜率存在时，设AB方程为：y﹣4=k（x﹣8），

2

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设A（x1，y1），B（x2，y2），由

得，

﹣

（

﹣

）

∴y1+y2=，y1y2=

，

则k1k2===

==

=﹣1，

综上k1k2为定值﹣1．

设计意图：巩固例1的解题思路，点拨抛物线问题的消元技巧。

例2．已知椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点．

（1）求椭圆C的方程及离心率；

（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值．

（1）解：∵椭圆C：+=1过点A（2，0），B（0，1）两点，

∴a=2，b=1，则，∴椭圆C的方程为，离心率为e=；

（2）设P（x0，y0），则，PA所在直线方程为y=，

取x=0，得；，PB所在直线方程为，

取y=0，得．∴|AN|=，|BM|=1﹣．

∴=

==

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=∴四边形ABNM的面积为定值2．

=．

出题意图：与例1对比，总结出不一定要化到只有一个变量，可以用两个变量之间的关系进行消变量，得定值。

变式训练2．如图，F1，F2分别是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，且焦距为2，动弦AB平行于x轴，且|F1A|+|F1B|=4．

（1）求椭圆C的方程；

（2）若点P是椭圆C上异于点A，B的任意一点，且直线PA、PB分别与y 轴交于点M、N，若MF2、NF2的斜率分别为k1、k2，求证：k1•k2是定值．

解：（1）∵焦距，∴2c=2，得c=，

由椭圆的对称性及已知得|F1A|=|F2B|，又∵|F1A|+|F1B|=4，|F1B|+|F2B|=4，

因此2a=4，a=2，于是b=，因此椭圆方程为；

（2）设B（x0，y0），P（x1，y1），则A（﹣x0，y0），

直线PA的方程为，令x=0，得，故M（0，）；

直线PB的方程为，令x=0，得，故N（0，）；

∴，，

因此．

∵A，B在椭圆C上，∴，

∴．

设计意图：在例2的基础上进一步延伸为变量为多个点的问题，进一步巩固定值类问题的解决思路。

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