习题3.1教案推荐

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3.1.1 倾斜角与斜率

三维目标

1．知识与技能

(1)理解直线的倾斜角和斜率概念．

(2)经历用代数方法刻画直线斜率的过程，掌握过两点的直线的斜率公式．

2．过程与方法

(1)探索确定直线位置的几何要素，感受倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程．

(2)通过教学，使学生从生活中坡度的概念自然迁移到数学中直线的斜率，感受数学概念来源于生活实际，数学概念的形成是自然的，从而渗透辩证唯物主义思想．

(3)充分利用倾斜角和斜率是从数与形两方面刻画直线相对于x轴倾斜程度的两个量这一事实，渗透数形结合思想．

3．情感、态度与价值观

(1)通过对直线倾斜角的概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．

(2)通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合的思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．

重点难点

重点：直线的倾斜角、斜率的概念和公式．

难点：倾斜角与斜率的关系及斜率公式的导出过程．

重难点突破：以确定直线位置的几何要素为切入点，通过让学生“实验——猜想——操作——定义”四个环节，给出直线倾斜角的概念，重点之一得以解决；然后从学生熟知的概念“坡角”入手，充分利用学生已有的知识，引导学生把这个同样用来刻画倾斜程度的量与倾斜角联系起来，并通过坡度的计算方法，引入斜率的概念，难点之一得以解决；对于斜率公式的导出过程，教学时可采用数形结合及分类讨论思想，化几何问题为代数运算，从而化难为易，突破难点．

教学建议

鉴于本节知识概念抽象、疑难点较多的特点，教学时，可采用观察发现、启发引导、探索实验相结合的教学方法，把概念化抽象为直观，突出概念的形成过程，另在直线斜率公式教学的导出过程中，应渗透几何问题代数化的解析几何研究思想．引导学生将直线的位置问题(几何问题)转化为倾斜角问题，进而转化为倾斜角的正切即斜率问题(代数问题)进行解决，使学生进一步体会“数形结合”的思想方法．

教学流程

创设问题情境，引出问题：确定直线位置的几何要素是什么？

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引导学生通过实验、观察、思考形成倾斜角的概念教学，进而得出确定直线位置的几何要素.⇒通过引导学生回答所提问题理解斜率的概念及斜率与倾斜角的关系，导出斜率公式.

⇒通过例1及其变式训练，使学生理解直线的倾斜角的概念.

⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握直线的斜率公式.

⇒借助直线的斜率公式及倾斜角的内在联系，完成例3及其变式训练，使学生的知识进一步深化.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.

⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正.

1.理解直线的倾斜角与斜率的概念．(重点) 课标解读

2.掌握倾斜角与斜率的对应关系．(难点、易错点) 3.掌握过两点的直线的斜率公式．(重点)

知识1

【问题导思】

1．在平面直角坐标系中，只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？

【提示】

不能．

2．在平面直角坐标系中，过定点P(2,2)的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同？

直线的倾斜角

【提示】

不同．

1．倾斜角的定义

(1)当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．

(2)当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°. 2．倾斜角的范围

直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°. 3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点及它的倾斜角．

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知识2

【问题导思】

直线的斜率与倾斜角的关系

如图(1)(2)，在日常生活中，我们常用“升高量与前进量的比”表示“坡度”．

1．上图(1)(2)中的坡度相同吗？

32【提示】

不同，因为≠. 222．上图中的“坡度”与角α，β存在等量关系吗？

【提示】

存在，图(1)中，坡度＝tan α，图(2)中坡度＝tan β. 1．直线的斜率

把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率．斜率常用小写字母k表示，即k＝tan α. 2．斜率与倾斜角的对应关系

图示

倾斜角

(范围)

斜率

(范围)

知识3

过两点的直线的斜率公式

α＝0°

0°<α<90°

α＝90°

90°<α<180°

0

k>0

不存在

k<0 y2－y1直线过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，其斜率k＝(x≠x).

x2－x112类型1

直线的倾斜角的理解

例1

设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(

) A．α＋45°

B．α－135°

C．135°－α

D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾角为α－135°

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【思路探究】

画出图象辅助理解，由于条件中未指明α的范围，所以需综合考虑α的可能取值，以使旋转后的直线的倾斜角在大于或等于0°而小于180°的范围内．

【解析】

根据题意，画出图形，如图所示：

因为0°≤α＜180°，显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图(如图所示)可知：

当0°≤α＜135°，l1的倾斜角为α＋45°；

当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°.故选D. 【答案】

D 规律方法

1．解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．

2．求直线的倾斜角主要根据定义来求，其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．

变式训练

一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(

) A．α

B．180°－α

C．180°－α或90°－α

D．90°＋α或90°－α

【解析】

如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.

【答案】

D 类型2

求直线的斜率

例2

求经过下列两点直线的斜率，并根据斜率指出其倾斜角．

(1)(－3,0)，(－2，3)；(2)(1，－2)，(5，－2)；

(3)(3,4)，(－2,9)；(4)(3,0)；(3，3)．

【思路探究】

依据直线的斜率公式求解，注意公式使用的条件．

【解】

(1)直线的斜率k＝3－0＝3＝tan 60°，

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此直线的斜率为3，倾斜角为60°. －2＋2(2)直线的斜率k＝＝0，此直线的斜率为0，故倾斜角为0°. 5－19－4(3)直线的斜率k＝＝－1＝tan 135°，此直线的斜率为－1，倾斜角为135°. －2－3(4)因为两点的横坐标都为3，故直线斜率不存在，倾斜角为90°. 规律方法

已知A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，求直线AB斜率和倾斜角的步骤：

(1)当x1＝x2时，直线斜率不存在，其倾斜角为90°；

y2－y1(2)当x1≠x2时，直线的斜率k＝，倾斜角α利用k＝tan α求得．

x2－x1变式训练

已知直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，若直线l的倾斜角为45°，求实数m的值．

【解】

由直线l的倾斜角为45°，可知直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

又直线l经过两点M(－2，m)，N(m,4)，

4－m故k＝. m＋2由4－m＝1得m＝1. m＋2类型3

斜率与倾斜角的应用

例3

已知某直线l的倾斜角α＝45°，又P1(2，y1)，P2(x2,5)，P3(3,1)是此直线上的三点，求x2，y1的值．

【思路探究】

直线l的倾斜角已知可以求出其斜率且P1、P2、P3均在直线l上，故任两点的斜率均等于直线l的斜率，从而可以解出x2，y1的值．

【解】

∵α＝45°，

∴直线l的斜率k＝tan 45°＝1，

∵P1，P2，P3都在直线l上，

∴kP1P2＝kP2P3＝k. ∴5－y11－5＝＝1，

x2－23－x2解之得：x2＝7，y1＝0. 规律方法

用斜率公式可解决三点共线问题：

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变式训练

如果三点A(2,1)，B(－2，m)，C(6,8)在同一条直线上，求m的值．

【解】

kAB＝m－11－m8－17＝，kAC＝＝. 4－2－26－241－m7＝，

44∵A、B、C三点共线，∴kAB＝kAC.即∴m＝－6.

易错易误辨析

因忽略直线斜率不存在的情况致误

典例

求经过A(m,3)，B(1,2)两点的直线的斜率，并指出倾斜角α的取值范围．

3－21【错解】

由斜率公式可得k＝＝. m－1m－11①当m>1时，k＝>0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. 1②当m<1时，k＝<0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°. 【错因分析】

在上述解题过程中遗漏了m＝1的情况，当m＝1时，斜率不存在．

【防范措施】

斜率公式k＝y2－y1的适用前提条件为x1≠x2，因此在含字母的点的坐标x2－x1中，需计算直线的斜率时，要保证斜率公式有意义．

【正解】

当m＝1时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角α＝90°. 3－21当m≠1时，由斜率公式可得k＝＝. m－1m－11①当m>1时，k＝>0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是0°<α<90°. 1②当m<1时，k＝<0，

m－1所以直线的倾斜角α的取值范围是90°<α<180°.

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课堂小结

1．倾斜角是一个几何概念，它直观地描述并表现了直线对于x轴正方向的倾斜程度．

2．直线的斜率是直线倾斜角的正切值，但两者并不是一一对应关系．学会用数形结合的思想分析和理解直线的斜率同其倾斜角的关系．

y2－y13．运用两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)求直线斜率k＝应注意的问题：

x2－x1(1)斜率公式与P1，P2两点的位置无关，而与两点横、纵坐标之差的顺序有关(即x2－x1，y2－y1中x2与y2对应，x1与y1对应)．

(2)运用斜率公式的前提条件是“x1≠x2”，也就是直线不与x轴垂直，而当直线与x轴垂直时，直线的倾斜角为90°，斜率不存在. 当堂检测

1．下图中α能表示直线l的倾斜角的是(

)

图3－1－1 A．①

B．①②

C．①③

D．②④

【解析】

结合直线l的倾斜角的概念可知①③可以，选C. 【答案】

C 2．已知直线l的倾斜角为30°，则直线l的斜率为(

) A.32

B.3

C．1

D.

323. 3【解析】

由题意可知，k＝tan 30°＝【答案】

A 3．已知A(2,3)、B(－1,4)，则直线AB的斜率是________．

4－31【解析】

直线AB的斜率k＝＝－. 3－1－21【答案】

－

34．已知三点A(a,2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一条直线上，求实数a的值．

【解】

∵A、B、C三点共线，且3≠－2，

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∴BC的斜率存在，∴AB的斜率存在，且kAB＝kBC，

7－2－9a－79a＋75∵kAB＝＝，kBC＝＝，

53－a3－a－2－3∴9a＋75＝，

53－a∴25＝27a＋21－9a2－7a，

即9a2－20a＋4＝0，

2解得a＝2或a＝. 9

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