习题2.3特级教师教学实录

空间中的垂直关系

教知识与技能:

学目过程与方法:

标

情感态度

与价值观:

教学重点

教学难点

课前准备

教学环节及时间

课前导入

（创境）

1分

1、知道证明线线垂直、线面垂直、面面垂直的基本方法。

2、能应用定理和已获得结论证明一些空间垂直关系的简单命题。

1、经历知识梳理过程，进一步认识垂直关系的转化。

2、参与对动点的探究过程，领悟转化与化归的思想方法。

1、通过例题的探究，学生提高空间想象能力。

2、合作交流活动中，体会成功的乐趣。

线线、线面及面面垂直的论证

寻找垂直关系

1、安排学生提前做完课前预习部分。

2、多媒体课件辅助教学。

教师活动

做物理实验，如何调整镜面能使光平行射出？同学们根据物理知识很快能回答出垂直，那么如何让面面垂直，转化成数学问题，观察镜面，只需要线线垂直，今天我们来研究空间中的垂直关系

板书：空间中的垂直关系

垂直关系可以利用定理和性质或用向量方法证明，本节课从利用定理和性质的证明进行讲解。

观察、思考、

回答、倾听

学生活动

设计意图

通过实验，激发学生的学习兴趣，将物理问题转换为数学问题，体现数学在生活中的应用，点明本节课主题，学生明确本节课学习内容。

课前已经给大家发导学案，同学们课前已将垂直有关知识提前整理，

请同学们回答学案中预习部分的

第一部分内容。

板书：线线垂直、线面垂直、

面面垂直的证明方法及三者之间

知识梳理

的转化

（准备）

通过复习三种垂直关系，可以

5分

看出线面垂直的性质可以证明线

线垂直，也可实现面面垂直的证

明，因此线面垂直是线线垂直，面

面垂直关系中的枢纽。

在三种垂直关系中，线面垂直

是核心，线线垂直是关键，最终把

证明垂直问题归结为证明线线垂

直。同时也是建立空间直角坐标系

的依据。

回答、整理，对照自己在学案的结论，找出差异，弥补不足

通过回答线线垂直、线面垂直、面面垂直的证明方法及三者之间的转化关系，建构知识网络，对垂直之间的转化有整体的把握。

对课前作业进行核对，补充。利用问题的设定再次

对垂直关系整合

问题探究

（发散）

5分

知识提升

（收敛）

3分

例题剖析

（综合）

5分

思考，书写证明过程

问题1：如何证明面面垂直

回到课前问题，总结面面垂直的转回答基本方法

化方法

探究：若在例题中添加条件：E、F

分别为点A在PC、PB上正投影，

写出所有满足线面垂直的关系？

讨论，交流，

学生代表回答

学生回答找到的线面垂直关系，并相互补充

简单的加以论证

问题2：你找到这些垂直关系的根

据是什么？

给予学生充分的时间讨论，找出所分析、回答

有线面垂直的关系，学生回答证明

思路，线线到线面的转化，教师进

行点评。

变式训练一（定点问题）

如图，在三棱锥P-ABC

中,AC⊥BC,PA⊥面ABC,且PA=AC=BC 思考、回答证明1、若E为PC中点,F为PB上一

过程，并阐述证点，求证：面PBC⊥面AEF 明的思路

线线面面

2、若面AEF⊥面PAC，EF⊥AE,

求证：EF⊥AC

面面线线

例题：AB是圆O直径，PA垂直于圆O所在平面，C是圆周上不同于A、B的任意一点，

求证：面PAC⊥面PBC

从教材例题入手，通过的例题证明的书写，加强书写的规范性

利用例题的研究，体会垂直关系的相互转化

学生充分挖掘图形中隐含的垂直关系，运用定理和性质证明

加深对垂直关系转化的认识，进而达到收敛的目的。

例题的基本变式，引发学生思考，运用定理和性质解决垂直关系的证明问题

四、变式训练

（创造）

15分

引控方向：

问题3：综合以上问题，如何进行

线线垂直与面面垂直关系的转化

通过学生思考总结出：

回顾证明过程，

由已知想性质，由条件想判定

思考回答

思考:以上为定点问题，利用判定

定理和性质可以证明，若改为动点

是否还能利用相应的垂直关系呢?

请探究以下问题:

得出证明方法

变式训练二（动点问题）

题型（一）两点运动

如图，在三棱锥P-ABC

中,AC⊥BC,PA⊥面ABC,且PA=AC=BC

1、E,F为PC,PB线上的动点，PEPF

若 t（0

ECFB

t取何值，总有面AEF⊥面PAC

小组讨论，交流合作，挖掘题中

2、求点E，使面AEF⊥面PBC 隐含的垂直条件，汇报结果

通过定点问题的证明过程，学生通过运用判定定理和性质，明确三种垂直之间的转化

利用课件演示，更直观的展现点运动过程，再次发散，讨论证明及求点的方法，寻找解决问题的根源。在合作交流活动中，培养学生的合作意识和团队精神。小组讨论和多媒体的使用有助突破难点。

题型（二）一点运动

如图，在三棱锥P-ABC中,AC⊥BC,PA⊥面ABC,且PA=AC=BC 1、

若E为PC中点，求点F，使面AEF⊥面PAB

2、

若BF=2PF，求点E，使面AEF⊥面PAB

问题4：以上过程你都用到了哪些定理和性质？动点、面的垂直问题如何转化？

结论：由动到静的转化，立体到平面的转化

思考：若底边改为正方形或直角梯形，四棱锥的组成与三棱锥有怎样的关系？E,F点垂直关系是否有变化？

通过探究过程可得出四棱锥是由三棱锥组成，对三棱锥垂直关系的研究是锥体中垂直的重要出发点。

小组选代表汇报讨论的结果

思考、讨论

得出模型的组成特点

学生展示自己探究结果，体验成功的的乐趣，增强学习数学的兴趣，在动的过程中提高学生空间想象能力

学生通过观察模型的改变过程，得出基本模型垂直关系

高考链接

（升华）

5分

（2009北京）如图，在三棱锥

P-ABC中，PA⊥面ABC,PA=AB,

∠ABC=60°,∠BCA=90°,点D、

E分别在棱PB,PC上，且DE∥BC

1、求证：BC⊥平面PAC

2、当D为PB的中点时，

求AD

与平面PAC所成角的正弦值

3、是否存在点E，使得二面角

观察图形，对比A-DE-P为直二面角？并说明理由

例题，自主表达，思维碰撞，完善证明过程

学生独立思考，运用本节课的思想方法，提升到一定高度，最终达到知识升华的过程。

课堂小结

（反思）

1分

课后作业

（深化）

板

书

设

计

小结：

数学知识：

数学方法：

学案中课后复习中1、2题

反思总结、相互补充

高考题很有针对性，并有一定的提升,对知识强化，起导向作用的，通过与例题的比较过程，培养学生类比，归纳的能力

整理，形成知识框架

课后演练

提炼高考题中知识点

教

学

反

思

1．对教学目标设计的反思：

通过本节课的学习，学生能利用公理、定理和已获得结论证明一些空间平行关系的简单命题，通过对教材例题及变式的研究，对题中隐含的垂直条件充分挖掘，在静或动的过程中寻找垂直关系的能力有所提高。同时规范了解答题的书写格式。通过小组讨论，培养团队精神，利用展示过程，体验成功的乐趣。对高考题的解答，利用所学知识，独立自主地完成任务。

2．对教学模式选用的反思：

《空间中的垂直关系》作为一节高三专题课，对已学知识的整合，构建知识框架。利用“双互动四统一“的教学模式的思路来设计课堂教学，采用师生互动，生生互动，师生与教材的互动和人机互动等方式，充分发挥学生“学”的主体以及教师“教”的主体。

3．对教学重、难点的反思：

本节课的教学重点是线线、线面、面面垂直关系的论证，难点是寻找垂直关系。通过挖掘教材例题的价值，引导学生寻找题中隐含的垂直关系，进而体现本节课的重点。利用具体环节的设置，环环相扣，层层深入从而突破难点，顺利完成教学任务。

4．对教学媒体选择的反思：

课前进行物理小实验，激发学生兴趣，能够积极参与课堂。运用多媒体教学手段，更直观的展现几何体的特征，并能够演示动态过程。运用几何画板与3D玲珑软件加大了课堂容量，利用图形的变化过程，调动学生的积极性。虽然展现的内容有所增加，同是也增加了题量，少部分同学会出现难以消化的现象。对于教师而言，难以实现板书与多媒体课件的统一。因此，在以后的教学过程中，继续探究如何调节二者之间的关系。

5．对教师活动和学生活动的反思：

教师作为“教”的主体，引导学生发现问题、分析问题，在探究过程中，启迪学生思维，引控方向，帮助学生更准确的解决问题。在课堂上，充分体现学生的主体地位，真正的达到培养和锻炼学生的目的。通过师生互动、生生互动等方式，更深入地理解垂直关系的转化，从而把握整个知识结构。

6．对学生完成知识与能力培养情况的反思：

教学过程中，学生通过自己梳理知识，探究问题，将原有的知识结合在一起，更容易归纳整理。学生之间的交流使学生的思维进行碰撞，学生的主体性得到深层次的发挥，不仅能够掌握所学知识，更能在能力方面有所提升。