2.1.4 平面与平面之间的位置关系教学设计思路

2.2.2 平面与平面平行的判定

1.经过平面外两点与这个平面平行的平面( C ) (A)只有一个 (B)至少有一个

(C)可能没有 (D)有无数个

解析:当这两点的连线与平面相交时,则没有平面与这个平面平行;当这两点的连线与平面平行时,有且只有一个平面与这个平面平行,所以选C. 2.设直线l,m,平面α,β,下列条件能得出α∥β的有( D ) ①l⊂α,m⊂α,且l∥β,m∥β

②l⊂α,m⊂β,且l∥m ③l∥α,m∥β,且l∥m (A)1个

(B)2个

(C)3个

(D)0个

解析:由两平面平行的判定定理可知,得出α∥β的个数为零. 3.已知a,b,c为三条不重合的直线,α,β,γ为三个不重合的平面,则下列五个命题中正确的命题有( A ) ①a∥c,b∥c⇒a∥b;②a∥γ,b∥γ⇒a∥b;③c∥α,c∥β⇒α∥β;④c∥α,a∥c⇒a∥α;⑤a∥γ,α∥γ⇒a∥α. (A)1个

(B)2个

(C)3个

(D)5个

解析:由公理4知①正确;②错误,a与b还可能相交或异面;③错误,α和β可能相交;④错误,可能有a⊂α;⑤错误,可能有a⊂α.故 选A. 4.已知两个不重合的平面α,β,给定以下条件: ①α内不共线的三点到β的距离相等; ②l,m是α内的两条直线,且l∥β,m∥β; ③l,m是两条异面直线,且l∥α,l∥β,m∥α,m∥β. 其中可以判定α∥β的是( D ) (A)①

(B)② (C)①③

(D)③

解析:①中,若三点在平面β的两侧,则α与β相交,故不正确.②

中,α与β也可能相交.③中,若把两异面直线l,m平移到一个平面内,即为两相交直线,由判定定理知正确. 5.下列命题中,不正确的是( A ) (A)一条直线和两个平面α,β所成的角相等,那么α∥β

(B)平面α∥平面β,则α内的任意一条直线都平行于平面β

(C)一个三角形有两条边所在的直线平行于一个平面,那么三角形所在的平面与这个平面平行

(D)分别在两个平行平面内的两条直线只能是平行直线或异面直线

解析:直线与两平面所成的角相等,这两个平面可能相交,故A命题不正确;三角形两边必相交,这两条相交直线平行于一个平面,那么三角形所在平面与这个平面平行,所以C命题正确;B,D正确,故选A. 6.在正方体EFGHE1F1G1H1中,下列四对截面彼此平行的一对是( A ) (A)平面E1FG1与平面EGH1

(B)平面FHG1与平面F1H1G (C)平面F1H1H与平面FHE1

(D)平面E1HG1与平面EH1G 解析:如图,易证E1G1∥平面EGH1,G1F∥平面EGH1,

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因为E1G1∩G1F=G1, 所以平面E1FG1∥平面EGH1. 故选A. 7.如图,正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,则在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( D )

(A)不存在

(B)有1条

(C)有2条

(D)有无数条

解析:画出平面D1EF与平面ADD1A1的交线D1G,并画出其与底面ABCD的交线,如图所示.于是在平面ADD1A1内与直线D1G平行的直线都与平面D1EF平行,有无数条.故选D.

8.在正方体ABCDA1B1C1D1中E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,给出下列四个推断:

①FG∥平面AA1D1D;②EF∥平面BC1D1;③FG∥平面BC1D1;④平面EFG∥平面BC1D1. 其中推断正确的序号是( A ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④

解析:因为正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点,所以FG∥BC1, 因为BC1∥AD1,所以FG∥AD1, 因为FG⊄平面AA1D1D,AD1⊂平面AA1D1D, 所以FG∥平面AA1D1D,故①正确; 因为EF∥A1C1,A1C1与平面BC1D1相交, 所以EF所在直线与平面BC1D1相交,故②错误; 因为E,F,G分别是A1B1,B1C1,BB1的中点, 所以FG∥BC1, 因为FG⊄平面BC1D1,BC1⊂平面BC1D1, 所以FG∥平面BC1D1,故③正确; 因为EF所在直线与平面BC1D1相交,

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所以平面EFG与平面BC1D1相交,故④错误. 故选A. 9.如图,已知在三棱锥PABC中,D,E,F分别是棱PA,PB,PC的中点,则平面DEF与平面ABC的位置关系是

.

解析:在△PAB中,因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB. 又DE⊄平面ABC, 所以DE∥平面ABC. 同理可证EF∥平面ABC. 又DE∩EF=E, 所以平面DEF∥平面ABC. 答案:平行

10.如图所示的是正方体的平面展开图.有下列四个命题:

①BM∥平面DE;②CN∥平面AF; ③平面BDM∥平面AFN; ④平面BDE∥平面NCF. 其中,正确命题的序号是

.

解析:展开图可以折成如图(1)所示的正方体.

在正方体中,连接AN,如图(2)所示,因为AB∥MN,且AB=MN,所以四边形ABMN是平行四边形.所以BM∥AN.因为AN⊂平面DE,BM⊄平面DE,所以BM∥平面DE.同理可证CN∥平面AF,所以①②正确;如图(3)所示,可以证明BM∥平面AFN,BD∥平面AFN,进而得到平面BDM∥平面AFN,同理可证平面BDE∥平面NCF,所以③④正确. 答案:①②③④

11.如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,E,F,G,H分别是AB,AC,A1B1,A1C1的 中点,

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求证:(1)B,C,H,G四点共面; (2)平面EFA1∥平面BCHG. 证明:(1)因为GH是△A1B1C1的中位线,所以GH∥B1C1. 又因为B1C1∥BC,所以GH∥BC, 所以B,C,H,G四点共面. (2)因为E,F分别为AB,AC的中点, 所以EF∥BC, 因为EF⊄平面BCHG,BC⊂平面BCHG, 所以EF∥平面BCHG. 因为A1GEEB, 所以四边形A1EBG是平行四边形,所以A1E∥GB. 因为A1E⊄平面BCHG,GB⊂平面BCHG. 所以A1E∥平面BCHG. 因为A1E∩EF=E, 所以平面EFA1∥平面BCHG. 12.如图,在四棱锥PABCD中,AB∥CD,E,F分别为PC,PD的中点,在底面ABCD内是否存在点Q,使平面EFQ∥平面PAB?若存在,确定点Q的位置;若不存在,说明理由.

解:存在. 取AD,BC的中点G,H,连接FG,HE,GH.

因为F,G为PD,AD的中点,所以FG∥PA. 因为FG⊄平面PAB,PA⊂平面PAB, 所以FG∥平面PAB. 因为E,F分别为PC,PD的中点, 所以EF∥CD,因为AB∥CD, 所以EF∥AB. 因为EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB. 所以EF∥平面PAB. 因为EF∩FG=F, 所以平面EFG∥平面PAB. 又GH∥CD,所以GH∥EF. 所以平面EFG即平面EFGH. 所以平面EFGH∥平面PAB. 又点Q∈平面ABCD,平面ABCD∩平面EFG=GH, 所以点Q∈GH. 所以点Q在底面ABCD的中位线GH上. 13.如图所示,B为△ACD所在平面外一点,M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心.

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(1)求证:平面MNG∥平面ACD; (2)求S△MNG∶S△ADC的值. (1)证明:连接BM,BN,BG并延长,分别交AC,AD,CD于点P,F,H,连接PF,FH,PH. 因为M,N,G分别为△ABC,△ABD,△BCD的重心, 所以===2, 所以MN∥PF. 又PF⊂平面ACD,MN∉平面ACD, 所以MN∥平面ACD. 同理可证MG∥平面ACD. 因为MG∩MN=M, 所以平面MNG∥平面ACD. (2)解:由(1)知==, 所以MG=PH. 又PH=AD, 所以MG=AD. 同理可证NG=AC,MN=CD. 所以△MNG∽△DCA,其相似比为1∶3. 所以S△MNG∶S△ADC=1∶9.

14.六棱柱的表面中,互相平行的面最多有( C ) (A)2对

(B)3对

(C)4对

(D)5对

解析:底面为正六边形的棱柱,互相平行的面最多有4对,故选C. 15.已知α,β是两个不重合的平面,下列选项中,一定能得出平面α与平面β平行的是( D ) (A)α内有两条直线与β平行

(B)直线a∥α,a∥β

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(C)直线a,b满足b∥a,a∥α,b∥β

(D)异面直线a,b满足a⊂α,b⊂β,且a∥β,b∥α

解析:对于选项A,当α内有两条平行线与β平行时,平面α与平面β可能平行,也可能相交,故A不符合题意;对于选项B,若直线a∥α,a∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交;故B不符合题意;对于选项C,若b∥a,a∥α,b∥β,则平面α与平面β可能平行,也可能相交,故C不符合题意;对于选项D,当a⊂α,b⊂β且a∥β,b∥α时,可在a上取一点P,过点P作直线b′∥b,由线面平行的判定定理得 b′∥β,再由面面平行的判定定理得α∥β,故D符合题意. 16.正方体ABCDA′B′C′D′的棱长为a,E,F分别为A′D′,D′C′的中点,过EF且平行于平面AB′C的截面面积为

.

解析:由平面与平面平行的判定定理可知,过EF且平行于平面AB′C的截面交DD′于点G,可知截面EFG为正三角形,且边长为a,所以面积为a. 2答案:a

217.如图①,在直角梯形ABCP中,AP∥BC,AP⊥AB,AB=BC=AP,D为AP的中点,E,F,G分别为PC,PD,CB的中点,将△PCD沿CD折起,得到四棱锥PABCD,如图②.则在四棱锥PABCD中,AP与平面EFG的位置关系为

.

解析:在四棱锥PABCD中,因为E,F分别为PC,PD的中点, 所以EF∥CD. 因为AB∥CD, 所以EF∥AB. 因为EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB, 所以EF∥平面PAB. 同理EG∥平面PAB. 又EF∩EG=E, 所以平面EFG∥平面PAB. 因为AP⊂平面PAB,AP⊄平面EFG, 所以AP∥平面EFG. 答案:平行

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