复习参考题第一课时教学实录

一堂立体几何序言课的教学设计

江苏省锡山高级中学

杨志文

一．教案描述

序言课的主要任务是揭示这门学科研究的对象、内容、解决问题的思想方法，它具有承前启后之作用。上好序言课，对学生学好这门学科有着十分重要的作用。因此，应当重视序言课的教学，精心设计教学过程，使其上得生动、具体、有趣，避免抽象、空洞、乏味，从而有效地激发学生学习的积极性。

教学目的

1．使学生了解立体几何研究的对象、内容；

2．使学生初步理解立体几何中的主要数学思想方法（类比思想、转化思想、展开思想）； 3．培养学生空间想象能力，初步建立空间概念。

教学重点和难点

教学的重点是空间概念的建立及立体几何中的主要数学思想方法；难点是空间概念的建立。

教具

正方体、正四面体骨架、圆柱、圆锥等模型；学生每人准备六根长度相等的牙签或六根火柴。

教学方法

引导类比探索法。

教学过程

（一）引入新课

师：问题1。请同学们用六根长度相等的牙签（或火柴）搭正三角形，试试看，最多搭成几个正三角形？

生：开始在桌面上摆，有的摆成两个余下一根牙签；有的在桌面上摆成塔形，塔底为三角形，出现四个三角形。学生兴趣很浓，积极探索摆法。最后都探索到，在空间，可搭成四个正三角形。

师：（小结）：在平面内（桌面）最多只能搭成两个，而在空间能搭成四个正三角形。

同时，向学生展示正四面体骨架模型，再让学生看投影1中的图1。

【点评：通过小实验，创设了学习情境，激发了学生学习的兴趣。一开始就把学生的视线由平面引导到了空间】

1

师：问题2。请同学们想一想，是否存在三条直线两两互相垂直？若存在，请举出实际中的例子。

生：有的在纸上画；有的用笔、直尺等演示；有的在教室四周观察。议论纷纷，有的说不存在，有的说存在，各持己见，争论不休。

师：在两种不同意见的学生中各选一人，让他们陈述理由。

生甲：不存在。因为若a⊥c, b⊥c, 则 a∥b。

生乙：存在。如教室墙角处的三条直线两两互相垂直。

师（小结）：在同一平面内不存在，如甲的理由；但在空间是存在的，如乙同学所举的实例，教室墙角处的三条直线AB、AC、AD两两互相垂直（如投影1中图2所示）。请同学们观察正方体（向学生展示正方体模型）中一个顶点处的三条棱之间的关系，也是两两互相垂直的（如投影1中图3）。

投影1

师：现实世界中许多问题，只在平面内研究是很不不够的，还需要在空间这个更广阔的领域内来考虑和研究，这就是我们将要学习的“立体几何”（板书课题）

【点评：问题2更具有探索性，激活了学生的思维，通过学生自己探索、辩论，教师小结，将学生的思维活动由平面引导到空间，促使了学生空间概念的形成。】

（二）讲授新课

1、

立体几何研究的对象、内容

师：平面几何研究的对象、内容是什么？

生：对象是平面图形；内容是平面图形的画法、形状、位置关系、大小计算及应用。

师：那么立体几何研究的对象、内容又是什么呢？

让学生观察正方体、正四面体骨架、圆柱、圆锥等模型，引导学生与平面几何进行类比，在学生回答的基础上，教师小结为投影2的内容。

投影2

立体几何研究的对象

空间图形（由空间的点、线、面组成的图形，也可以看成空间点的集合。如投影3中图1、2、3、4都是空间图

形）；

立体几何研究的内容空间图形的画法、形状、位置关系、大小计

算及应用，是平面几何的推广与发展。

图1 图2 图3 D 地板

B A C 天花板

2

【点评：与平面几何进行类比，非常自然地揭示了立体几何研究的对象和内容】

师：同学们虽然还没有掌握空间图形的画法但已经见到了老师画的正方体、长方体、圆柱、圆锥的直观图，如投影3中图1－图4。同学们想一想，空间图形与平面图形的画法有什么不同？

投影3

A1

D B 图1 C A 图2 D B C A 图3 B 图4 A B D1 B1 C1 A1 D1 B1 C1 S

D

C

A

生：平面图形的画法是真实的，而空间图形的直观图不真实。如投影3中，正方体、长方体的底面本是正方形和矩形，但在直观图中都

画成了平行四边形。圆柱、圆锥的的底面本是圆，但在直观图中画成了椭圆。

师：同学们说得对，在画法上有着很大差异。同学们知道，平面图形中的位置关系主要是研究线与线的位置关系。那么对于空间图形来说，除了要研究线与线的位置外，还有哪些位置关系呢（用正方体、长方体模型及投影3中的图形启发学生从构成空间图形的基本元素——线与面作答）？

生：因为空间图形是由点、线、面构成的因此要研究线与线、线与面、面与面的位置关系。

师：在平面图形中，我们要经常计算一些角的大小和线段的长度，面积的大小。对于空间图形，也要计算有关角的大小，线段的长度，除了面积外，还有体积的计算。对于投影3中的正方体ABCDA1B1C1D1，请同学们

①

说出下列各角的度数：B1A1C1,B1C1A1，BC1B1；

②

试计算BC1A1的大小；

③

设AB＝a，试求正方体的表面积和体积。

生：计算并回答：①都是45;②连结A1B,因BC1A1是等边三角形，故0BC1A1600；③S表6a2,Va3。

3

师：通过解答上述问题，同学们已经看到：在研究空间图形时，不能依据对图形的直觉做出判断，而应依据正确的推理、计算做出结论。如A1B1C1，从直观上看图形是钝角，但实际上是直角。

【点评：通过学生熟知的正方体、长方体、圆柱、圆锥等的直观图，使学生深刻认识到了空间图形与平面图形在画法上的差异；从组成空间图形的元素入手揭示了空间图形中要研究的线线、线面、面面之间的位置关系；通过对正方体的简单计算，向学生说明了在研究空间图形时不能只依据直觉做出判断，为学生提早打了“预防针”。这部分教学设计，深入浅出，既阐明了立体几何研究的内容，又加强了学生空间概念的形成。】

2、

立体几何中的主要思想方法

（1）类比思想

师：判断下列命题是否正确（a,b,c表示直线）

①a∥c,b∥ca∥b; ②a⊥c,b⊥ca∥b. 生：在同一平面内，①、②都是真命题，在空间内，①仍然是真命题，但②不正确；如教室墙角处的三条直线a⊥c,b⊥c,a⊥b,a与b相交。

师：对。命题①在空间仍然是真命题，就是我们将要学***行公理，同学们在物理课中见到的三棱镜的三条侧棱就是这种关系。命题②在空间就不成立了。由此知平面几何中的有些结论在空间成立，有些结论在空间不成立。因此，在立体几何学习中，我们要善于与平面几何做比较，认识其相同点，发现其不同点，这种思想方法称之为类比思想。

（2）转化思想

师：在投影3的图1中，若设正方体的棱长为a，请同学们计算：

①BD1的长；

②DD1B的余弦。

生甲：①3a；

②cosDD1B师：请你说一下，是怎样算得的？

生甲：连结BD，解RtD1DB。

师：对。这个问题实际上是在对角面BDD1B1（如投影4图1）中进行的，即空间图形的问题一般要转化为平面图形问题去解决。只要转化到平面图形中，就可以运用平面几何知识去解决。这就是转化思想。

（3）展开思想

师：在初中，同学们学习了圆柱、圆锥的侧面积公式，大家记得这两个公式是怎样推出来的吗？

生：展开。

4 3. 3

师：对，就是将圆柱、圆锥侧面分别展开为矩形和扇形，从而将问题转化为计算矩形和扇形的面积。像这样将空间图形展开为平面图形来处理问题的思想方法称为展开思想。请同学们考虑下面的问题：在投影4图2的长方体ABCDA1B1C1D1中已知AB＝5，AD＝4，AA1＝3，从点A出发沿长方体表面到达C1点路径有：①A－BB1－C1；②A－A1B1－1C1；③A－BC－C1，求最短路程，怎么办？

生：展开，在展开图中计算并做比较。

师：对。需将长方体展开进行计算，按照三种不同路径，有投影4中图3－5的三种展开方法。根据平面几何知识知，两点之间线段最短，故在三种路径中最短路程是AC1的长，请同学们算一算，最短路程是多少？

投影4

生：在图3中，得AC190；在图4中，得AC1A1 A 图4

B1 B A 图5

B B1 D1 D D 图1

C1 D B A 图2

B C A B 图3

C C1 C D1 B1 B1 A1 D1 B1 C1 A1 B1 C1 74；在图5中，得AC180。故沿图4中的路线走，路程最短，最短路程是74。

【点评：在学生已有的平面几何知识的基础上，从问题入手，在解决问题中，揭示了立体几何研究问题的思想方法，培养了学生空间想象能力，促进了学生空间概念的建立。】

（三）课堂小结（教师指导学生小结，归纳为投影5）

投影5

5

（空间点的集合）研究的对象：空间图形画法立体几何研究的内容：空间图形的性质（形状、位置）

大小的计算及应用类比）类比思想（与平面几何）主要数学思想和方法转化思想（空间向平面展开思想（展开为平面图形）

（四）课堂练习

投影6

1．

判断正误，错误的请举出反例：

①过一点有且只有一条直线与已知直线平行。

②过已知直线上一点有且只有一条直线与这条直线垂直。

2．

在右图的圆柱中，底面半径为2，高为4，求从点A

绕圆柱侧面一周到点D的最短路程（用根式表示）

（五）课外作业

1、

在下图的长方体中，已知：AB＝5厘米，AD＝4厘米，AA1＝3厘米，求：

（1）BD、A1B、BD1的长度；

（2）∠ACB、∠BC1C、∠DD1B的余弦值。

A1

2、在上图的圆锥中，已知底面半径为5厘米，母线长为10厘米，A、B是底面圆直径的两个端点，C为母线SB的中点，求从点A沿圆锥侧面到点C的最近路程（精确到0.1厘米）。

【点评：本节课，紧紧围绕教学目的，抓住教学重点，从学生已有的平面几何知识入

6 D C A B D1 B1 D A 第1题

B C1 S

C A 第2题

B

手，利用模型和投影图形，启发、引导学生积极探索，大胆实践，极大地激发了学生学习的积极性和创造性，使抽象的序言课上得具体、生动，内容丰富。既使学生获得了知识，又培养了学生的能力。为学生学习立体几何创造了良好的开端，成功地拉开了立体几何教学的帷幕。】

【本文原载《中学数学教学参考》1997年12期。点评：江苏省特级教师华志远】

二．教案评析

本教学案例是自己对立体几何序言课经过十多年课堂教学探索的成果。在陕西师范大学《中学数学教学参考》发表，后被中国人民大学报刊复印中心《中学数学》全文转载，收到了许多同行的来信，受到了同行的青睐和极高的评价。今天重新来分析这一教学案例，总结成功的经验，用新课标的教学理念重新审视这一教学案例，寻找不足之处，进一步完善。

成功之处

1．教学内容的独创性

《一堂序言课的教学设计》的教学内容完全是教者从长期教学实践中摸索、积累的。当时的教材只在封二中用了四、五行的文字阐述了立体几何研究的对象、内容。教学参考书（教师用书）中也没有相关的内容，在课时分配中也没有安排课时。在当时本人没有看见过有关立体几何序言课的教学设计或教案。具了解当时许多学校和老师，对立体几何序言课不专门作为一节课上。只是在第一节（平面基本性质）开头提上几句。我们将立体几何序言课单列为一节课，从课时安排到教学内容、教学过程完全是独创。

为什么要将立体几何序言课单独作为一节课来上呢？其理由有三：一是立体几何比较抽象，对空间想象能力要求较高，容易使学生产生分化。对某门学科的兴趣对学好这门课程至关重要。而通过立体几何序言课的教学，以激发学生学习立体几何的兴趣。二是立体几何是数学的一个分支，有其独特的研究方法，如类比思想（与平面几何类比）、转化思想（空间向平面）、展开思想。使学生提早了解其研究的思想方法，对学好这门课很有必要。三是空间概念的建立是学好立体几何的关键。通过序言课的教学，是学生初步建立空间概念，是学生的视野由平面发展到空间。因此，将立体几何序言课单独作为一节课是值得的，对学生立体几何的学习有较高的教学价值，是完全必要的。

2．教学内容的适应性

本节课的教学内容虽然是自编的，但就其内容来说，都是在学生已有的平面几何知识的基础上，从学生知识的最近发展区设计问题，所涉及的内容基本符合学生的知识水平和学习能力。教学内容的设计上，重视了从模型到图形、从直观到图形的呈现方式。在引入中从学生动手做开始，把学生的视野由平面引向了空间；在新授课中，安排了立体几何研究的对象、内容、常用的思想方法等三块内容。在各块内容的安排中，充分考虑学生的认识水平和学习能力，注重了从学生已有的知识出发设计问题。如在立体几何研究的对象中

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与平面几何进行类比，非常自然地揭示了立体几何研究的对象和内容；在立体几何研究的内容中，通过学生熟知的正方体、长方体、圆柱、圆锥等的直观图，使学生深刻认识到了空间图形与平面图形在画法上的差异；从组成空间图形的元素入手揭示了空间图形中要研究的线线、线面、面面之间的位置关系；通过对正方体的简单计算，向学生说明了在研究空间图形时不能只依据直觉做出判断，为学生提早打了“预防针”。这部分教学设计，深入浅出，阐明了立体几何研究的内容；在数学思想方法中，用具体的、学生比较熟悉的例子揭示数学思想方法。所安排的教学内容适合学生的知识水平和学习能力及教学大纲的要求。

3．教学过程的探索性

教学内容的问题化、教学过程的探索化是本教学案例的又一特色。本教学案例的教学内容、教学过程有两个最显著的特征：即教学内容的问题化、教学过程的探索化。所有的教学内容都以问题的形式呈现，通过问题引动，创设学习情境，激发学生学习的兴趣，调动学生积极参与学习活动，充分发挥学生的主体性。使课堂教学成为在教师指导下的探索学习过程。如在引入中通过小实验，创设了学习情境，激发了学生学习的兴趣；又如在数学思想方法中，在学生已有的平面几何知识的基础上，从问题入手，在解决问题中，揭示了立体几何研究问题的思想方法，培养学生空间想象能力。

总之，本教学案例的教学内容设计重视从学生已有的平面几何知识入手，利用模型和投影图形，启发、引导学生积极探索，大胆实践，极大地激发了学生学习的积极性和创造性，使抽象的序言课上得具体、生动，内容丰富。既使学生获得了知识，又培养了学生的能力。为学生学习立体几何创造了一个良好的开端，成功地拉开了立体几何教学的帷幕。

不足之处

本教学案例虽然比较成功，但用新课程的理念的要求来分析，还存在许多不足之处，主要有以下几个方面：

1．教学内容的设计上开放度还不够。教学内容和过程使得学生的学习活动在教师事先设计的框架下进行。

2．学生的学习方式单一。在整个教学活动中，都好像是教师提问，学生答。

3．现代教育技术手段运用不够。教学中用的都是静态的投影，效果不佳。

改进与完善

根据以上述分析，应从如下几个方面加以改进和完善：

1．在教学内容的设计中，尽可能的使问题的开放度、自由度大一些，使学生能够通过自己自主探索获取结论。如在展开思想中设计的长方体展开问题中，去掉已知中的三条路径，让学生自己去探索，这样会使学生的思维更加活跃、发散，对学生思维能力的培养更为有利。

2．学生学习方式应多样化。除了学生独立思考解决问题的方式外，在某些开放度较大

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的问题中，可考虑通过小组讨论、合作交流的方式进行学习。如在展开思想中设计的长方体展开问题中，改进后的问题可采用分组讨论的方式进行学习。

3．充分发挥多媒体在教学中的功能。如本节课中的投影3、投影4，用几何画板等制作为动画效果会更好。

4．本节课作为序言课，课后不宜布置书面作业，可留以开阔学生视野为内容的课后思考题。如可让学生课后从网上搜集有关立体几何发展史料或做正方体、长方体、圆柱、圆锥模型等。

作者简介

杨志文，1958生，本科毕业，高级教师。致力于中学数学教学与研究，在《数学通报》、等省级以上专业杂志发表论文200余篇。其中有20多篇被人大资料复印中心《中学数学》全文转载。工作成绩突

出，被国家教委、人事部授予“全国优秀教师”称号，并获“全国优秀教师”奖章；省劳动模范；锡山市教育系统优秀党员；

无锡市教学能手；无锡市学科带头人。

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