信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆教案和学案内容

用《几何画板》探究点的轨迹:圆

一、教学背景分析

（1）知识背景与学生学情分析

①本课是在学生学习了“直线与方程”、“圆与方程”这两章课本知识后，基于对曲线与方程有了较好的理解和掌握的基础下，教材安排的一节“信息技术应用”课程．

②在如今信息时代，计算机已经走进了学生们的日常生活，走进了课堂，学生普遍都具备了一定的计算机和信息技术知识，而且他们对计算机和计算机软件也有较熟练的操作能力．

（2）新教材特色分析

我们现行的教材，基本都是新课标颁布实施以后的新编版本，在这套《普通高中课程标准实验教科书

数学》教材中，课本在形式上改进了前一套教材中的相应版块，增设了新的“信息技术应用”材料和内容，便于让数学的教与学贴近生活、贴近现实，增强学以致用、强化体验等新课程理念，顺应素质教育的要求．我今天的选题为“用《几何画板》探究点的轨迹:圆”，就是必修②第四章的139页的“信息技术应用”课题．

（3）探究性学习的需求分析

①时代在进步，科技在提高，学生的学习方式也顺应着教学改革不断完善，向着多样化、自主性、探究式的方向转变．所以新教材有新创意，体现着时代特征，是对传统教学的不断改进，值得我们响应与附和．

②利用计算机解决学科问题，特别是数学问题，早就是学生司空见惯、耳闻目睹的事情，面对陌生的数学问题或陌生的计算机软件，学生在心理上并没有恐惧感，相反，在老师的推荐、带动和指导下，还容易激发他们的好奇心和求新欲望，甚至激发他们热衷于对计算机软件的尝试和探究的潜能．

因此，课本设置这样的一节课，不仅是要增强学生掌握现代信息技术的意识，也是在强化对新课程理念的导向，更是对我们教师自身学习与探究能力的挑战、检验与鞭策．

二、教学目标的设计与实现

（1）知识定位：借助《几何画板》来探究有关圆的轨迹问题，从新的视角审

视轨迹问题的本质；认识圆的几何属性在探究过程中的完美运用．

（2）能力定位：让学生从认识了解会用《几何画板》的一些基本功能，提升学生信息技术的实践能力，加强新时代背景下学生信息技术的基本功；培养学生利用计算机软件来探究、展示或拓展数学知识，开阔视野，激发创新潜能． （3）情感导向：简单的操练平台，简单的操作软件，让学生体验“过把瘾”；

把知识教给学生，把能力传授给学生；投其所好，实施快乐教学，实现愉悦学习；

师生共同提高，提升“数学”品味．

三、教法与学法

教法：演示法、指导法．

学法：实践法、探究法（“动手”学习，亲历体验）．

四、课程运作

（1）《几何画板》的软件下载及安装，快乐与好奇的开始．

（2）基本操作入门．在阅读课本对《几何画板》的介绍过程中，初步了解这个软件的基本信息与功能．

（3）实例演练：

10)Q(8，0)，点M与点P的距离是它与点Q的距离的，用

【例】已知点P(2，，5《几何画板》探究点M的轨迹，并给出轨迹的方程．

（1）点拨基本元素的操练：

①怎样让工作窗口显示直角坐标系．

0)Q(8，0)．

②如何作出点P(2，，

③用“点工具”任作一可移动的点M，用“线段直尺工具”将点M与点

P、Q连成线段MP、MQ．

④先后选中MP、MQ，并“度量”比值MP:MQ?

（2）动态演示与作图：

①用鼠标拖着点M移动，比值MP:MQ变化，当比值显示0.2时停止，那么这时的点M，就是轨迹上的一点．（采用这个操作，尝试寻找符合条件的另外一些点，其间可用键盘上的方向键微调点M的位置，使MP:MQ0.2的精度更高）

到此，师生暂停操作，提出问题：这个寻找符点M的方法，只能找到符合题意的有限个点，甚至还不是准确位置的点，只是通过这些初级操作熟悉了《几

何画板》最基础的几个简单功能．

那么，我们怎样才能用《几何画板》得到符合题意的所有点，并得到完整的轨迹曲线呢？此时，我们还得借助我们掌握的求轨迹的方法（坐标法），先来算出轨迹方程，再从方程的角度来分析点M的轨迹到底是哪类曲线（可能认识，也可能不认识！）

72570)为圆心、经过代数运算，学生得出方程(x)2y2，表明轨迹是以(，41645r为半径的圆．

4②用《几何画板》的“圆工具”，作出所得的圆，要求圆心位置准确、半径准确．

③将先前探索时所得的点M选中，又选中圆周，在菜单“编辑(E)”下点“合并点到圆”．

④用鼠标拖动点M在圆周上运动，观察MP:MQ的值，可以看到它已经不会随点M的位置改变而变化了，恒定为MP:MQ0.2．由此，我们用《几何画板》验证了我们求得的方程对应的曲线（圆）符合题意．

⑤设置动画，让计算机自动演示这个轨迹的形成．选中点M，点“编辑(E)”

，打开动画设置窗口，点“确定”按钮；

“操作类按钮(B)”“动画(A)…”在窗口左上角就出现了“动画点”按钮；用鼠标右键点击圆周，在弹出菜单中点

“隐藏圆(H)”；选中点M，在“显示(D)”下点“追踪点(T)”．这几个动作设置

完后，点“动画点”按钮，即可展示点M的轨迹的形成．

这就是我们今天课程的第一个操作流程（初级操作），下面就要进入第二个操作流程（中级操作）．

725通过动画，我们已经看到，满足方程(x)2y2的所有点都满足题意4161条件（与点P的距离是它与点Q的距离的）；那么，反过来，满足题意条件的5所有点是否都在那个圆上呢？下面，我们让《几何画板》自己来作出轨迹，看是不是与我们画出的圆一致？

①

以点P为圆心，适当长度为半径画出一个圆（把控制点停在x轴上，以便于调整这个圆的大小）．

②

作圆P的任意一条半径PK，双击点P，然后选中点K．在菜单“变换(T)”下点击“缩放(D)…”，打开“缩放”对话框；在对话框里输入缩放比例为5:1，点确定，即得到5倍于PK长的线段PR．

③

采用作“平行四边形”的方法，将线段PR“平移”到点Q处，得线段QS；以点Q为圆心、QSPR5PK为半径画出圆Q．

④

若圆圆P、圆Q不相交，则用鼠标拖动圆P的控制点，使得圆P、圆Q相交，点击两圆相交处，出现交点并命名为M，并连接MP、MQ．

1（提问学生思考：根据作图过程，判断这个交点M满足MPMQ吗？）

5⑤

选中两圆交点M，在“显示”下点“追踪交点”后，用鼠标连续拖动圆P

的控制点，看到两圆的大小连续变化，点M的轨迹呈现．当我们反复多次拖动控制点，使得交点的轨迹变得足够密集，就完美显示出了点M的轨迹曲线．

725⑥

对比我们画出的圆(x)2y2和软件生成的轨迹，发现它们是同一条曲416线，这就验证了所求的轨迹是一个圆，方程是(x1.75)2y21.252．

除此之外，我们还可以通过《几何画板》函数作图(圆)的功能，让软件自动

作出轨迹曲线（高级操作）．

①

在“数据(N)”菜单下打开“新建参数(W…)”窗口（或在鼠标右键菜单里点

“新建参数(W…)”，或用快捷键Shift+Ctrl+P），新建参数“r1”．

②

在“数据(N)”菜单下打开“新建函数(N…)”窗口（或在鼠标右键菜单里点 “新建函数(N…)”，或用快捷键Ctrl+F），新建以下四个函数：

22“yr2(x2)2”、

“yr2(x2)2”、

“y(5r)(x8)”、

22“y(5r)(x8)”，它们对应于四个半圆．

③

选中四个函数表达式，在“绘制(G)”菜单下打开“绘制新函数(F)…”（或使用快捷键Ctrl+G），《几何画板》会自动画出这四个函数的曲线，即圆

(x2)2y2r2、(x8)2y2(5r)2．

④

选中“r1”，用数字“+”、“-”键改变r的值，使圆P、圆Q相交，点击相交处，给生成的交点命名为“M”．

⑤

选中点M，在“显示(D)”菜单下点“追踪交点(T)…”（Ctrl+F）．

⑥

用数字“+”、“-”键连续减小或增大参数r值，即可描出点M的轨迹曲线．

10)(30)，且关于x轴对称的一个圆，方程分析这个曲线，可以看出是经过点(，、，2是(x1.75)2y21.252．

到此，用《几何画板》探索点的轨迹（圆）的演练过程完成，下面同学们独立或相互合作，探索一下一个简单的轨迹作图：

【实例】已知原点O(0，0)和点A(10，0)，过点O、A分别作互相垂直的直线l、l'，垂足为M．试用几何画板探索点M的轨迹曲线，并写出轨迹方程．

几何关系分析：两条互相垂直的直线，斜率之积为1（互为负倒数），故可将一条直线（如l）的斜率k作为参数，建立动态的直线方程．

操作点拨引导：

方法一：

①

作一个圆O，在圆周上任取一点P，作直线OP（即l）．

0)，过A作OP的垂线l'，垂足为“M”②

作点A(10，，选中并设置“追踪交点”．

③

对点P设置动画，同时隐藏圆O．

④点“动画点”按钮，可自动生成点M的轨迹曲线．轨迹方程为

(x5)2y252．

方法二：

①

新建参数k1．

1②

新建函数ykx，新建函数y(x10)，并绘制函数图像（直线）．

k

③

命名交点（垂足）为“M”，选中它并设置“追踪交点”．

④

连续改变参数k的值，画出交点M的轨迹曲线；轨迹方程为

(x5)2y252．