实习作业优质课一等奖教案

2019年祁阳四中高三理科数学三轮冲刺微专题------立体几何中的最值

主讲人：蒋小勇

一、近几年高考立体几何试题的特点：

1、难度和题目位置:

全国卷对立体几何的考查难度相对稳定，选择题、填空题难度为中等偏难，选择题基本在后六题的位置，填空题在后二题的位置，解答题属于中等难度，且基本定位在前三题的位置. 解答题基本上是设计“两问”，且设问比较直接，专注于空间想象能力、推理论证能力以及运算求解能力的考查. 2、考查形式、分值和内容

高考对立体几何考查非常稳定和固定，基本上都是二小一大22分，是考查空间想象能力的重要载体，涉及的问题包括识图与画图、证明与计算等。

小题常考题型为三视图及球的切接问题，近两年还呈现考查点、线、面位置关系的趋势，如16年11题以异面直线所成角为载体考查面面平行的判定和性质，而理科12题线面角为载体考查正方体截面面积最大问题。

大题考查，一般分成两部分，前一部分主要考查空间中点、线、面的位置关系，解答题将垂直关系作为考查的重点。近5年来，全国新课标Ⅰ卷在解答题中都考查垂直关系，未涉及平行问题，且5年中有3年都考查了平面与平面垂直的判定。全国Ⅰ卷特别青睐二面角的考查，理科2011—2017这七年中有5年都考查了二面角问题,18年考线面角。

二、例题讲解

题型一：求空间几何体表面上路径最值

例1、（2018年全国Ⅰ卷第7题）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）

A．2

B．2

C．3

D．2

【变式训练】已知三棱柱AB-A1B1C1的侧棱垂直于底面，且底面边长与侧棱长都等于3，蚂

1

蚁从A点沿侧面经过棱BB1上的点N和CC1上的点M爬到点A1，如图所示，则当蚂蚁爬过的路程最短为

题型二：求空间几何体体积的最值

例2、（2017年全国Ⅰ卷第16题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O．D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为

．

【变式训练1】已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（ ）A

A.13

B.12

C.11

D.10

题型三：求空间几何体截面面积的最值

例3（2018年全国Ⅰ卷第7题）已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为（ ）A

A．

B．

C．

D．

2

题型四：求空间几何体中的长度的最值

例4、长方体的点，且满足B 中，，当长方体，，，点是平面上的体积最大时，线段的最小值是（）A.

B.

C. 8

D.

【变式训练】如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为4，点H在棱AA1上，且HA1=1．在侧面BCC1B1内作边长为1的正方形EFGC1，P是侧面BCC1B1内一动点，且点P到平面CDD1C1距离等于线段PF的长．则当点P运动时，|HP|2的最小值是（ ）

A.2 B.22 C.23 D.24

A1

A 三、课堂小结

处理立体几何中的最值问题常用方法

（1）利用已知条件，建立体积、面积、长度的目标函数，利用导数或二次函数求最值。

(2)利用抽象的线面位置关系和几何性质（三角形三边关系）求最值。

（3）利用特值法求最值。

B

3

四、课后练习

1、已知A,B,C为球O的球面上的三个定点，ABC60,AC2,P为球O的球面上的动点，记三棱锥PABC的体积为V1，三棱锥OABC的体积为V2，若则球O的表面积为（

）B A．V1的最大值为3，V216

9B．64

9C．3

2D．6

2、（2018年全国Ⅰ卷第10题）设A，B，C，D是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC为等边三角形且面积为9（）B

A．12

，则三棱锥D﹣ABC体积的最大值为B．18

C．24

D．54

4