2.1.4 平面与平面之间的位置关系课堂实录

2.1.1

平面

整体设计

教学分析

平面是最基本的几何概念,教科书以课桌面、黑板面、海平面等为例,对它只是加以描述而不定义.立体几何中的平面又不同于上面的例子,是上面例子的抽象和概括,它的特征是无限延展性.为了更准确地理解平面,教材重点介绍了平面的基本性质,即教科书中的三个公理,这也是本节的重点.另外,本节还应充分展现三种数学语言的转换与翻译,特别注意图形语言与符号语言的转换. 三维目标

1.正确理解平面的几何概念,掌握平面的基本性质. 2.熟练掌握三种数学语言的转换与翻译,结合三个公理的应用会证明共点、共线、共面问题. 3.通过三种语言的学习让学生感知数学语言的美,培养学生学习数学的兴趣. 重点难点

三种数学语言的转换与翻译,利用三个公理证明共点、共线、共面问题. 课时安排

1课时

教学过程

导入新课

思路1.(情境导入)

大家都看过电视剧《西游记》吧，如来佛对孙悟空说：“你一个跟头虽有十万八千里，但不会跑出我的手掌心”.结果孙悟空真没有跑出如来佛的手掌心，孙悟空可以看作是一个点，他的运动成为一条直线，大家说如来佛的手掌像什么？对，像一个平面，今天我们开始认识数学中的平面.

思路2.(事例导入) 观察长方体（图1），你能发现长方体的顶点、棱所在的直线，以及侧面、底面之间的关系吗？

图1

长方体由上、下、前、后、左、右六个面围成.有些面是平行的，有些面是相交的；有些棱所在的直线与面平行，有些棱所在的直线与面相交；每条棱所在的直线都可以看成是某个面内的直线等等.空间中的点、直线、平面之间有哪些位置关系呢？本节我们将讨论这个问题. 推进新课

新知探究

提出问题

①怎样理解平面这一最基本的几何概念; ②平面的画法与表示方法; ③如何描述点与直线、平面的位置关系？

④直线与平面有一个公共点，直线是否在平面内？直线与平面至少有几个公共点才能判断直线在平面内？

⑤根据自己的生活经验，几个点能确定一个平面？

⑥如果两个不重合的平面有一个公共点，它们的位置关系如何？请画图表示; ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用几种语言？

⑧自己总结三个公理的有关内容. 活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.对有困难的学生可提示如下：

①回忆我们学过的最基本的概念（原始概念），如点、直线、集合等. ②我们的桌面看起来像什么图形？表示平面和表示点、直线一样，通常用英文字母或希腊字母表示. ③点在直线上和点在直线外；点在平面内和点在平面外. ④确定一条直线需要几个点？

⑤引导学生观察教室的门由几个点确定. ⑥两个平面不可能仅有一个公共点，因为平面有无限延展性. ⑦文字语言、图形语言、符号语言. ⑧平面的基本性质小结. 讨论结果：①平面与我们学过的点、直线、集合等概念一样都是最基本的概念（不加定义的原始概念），只能通过对它描述加以理解，可以用它定义其他概念，不能用其他概念来定义它，因为它是不加定义的.平面的基本特征是无限延展性，很像如来佛的手掌(吴承恩的立体几何一定不错). ②我们的桌面看起来像平行四边形，因此平面通常画成平行四边形，有些时候我们也可以用圆或三角形等图形来表示平面，如图2.平行四边形的锐角通常画成45°，且横边长等于其邻边长的2倍.如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把它遮挡的部分用虚线画出来，如图3.

图2

图3

平面的表示法有如下几种：（1）在一个希腊字母α、β、γ的前面加“平面”二字，如平面α、平面β、平面γ等，且字母通常写在平行四边形的一个锐角内(图4)；（2）用平行四边形的四个字母表示，如平面ABCD（图5）；（3）用表示平行四边形的两个相对顶点的字母来表示，如平面AC（图5）.

图4

图5 ③下面我们总结点与直线、平面的位置关系如下表：

点A在直线a上（或直线a经过点A）

点A在直线a外（或直线a不经过点A）

点A在平面α内（或平面α经过点A）

A∈a Aa A∈α

元素与集合间的关系

点A在平面α外（或平面α不经过点A）

Aα

④直线上有一个点在平面内，直线没有全部落在平面内(图7)，直线上有两个点在平面内，则直线全部落在平面内.例如用直尺紧贴着玻璃黑板，则直尺落在平面内. 公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 这是用文字语言描述，我们也可以用符号语言和图形语言（图6）描述.

空间图形的基本元素是点、直线、平面.从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此它们之间的关系除了用文字和图形表示外，还可借用集合中的符号语言来表示.规定直线用两个大写的英文字母或一个小写的英文字母表示，点用一个大写的英文字母表示，而平面则用一个小写的希腊字母表示.公理1也可以用符号语言表示：

若A∈a,B∈a,且A∈α,B∈α,则aα.

图6

图7 请同学们用符号语言和图形语言描述直线与平面相交. 若A∈a,B∈a,且Aα,B∈α,则aα.如图（图7）. ⑤在生活中，我们常常可以看到这样的现象：三脚架可以牢固地支撑照相机或测量用的平板仪等等.

上述事实和类似的经验可以归纳为下面的公理. 公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面. 如图（图8）.

图8 公理2刻画了平面特有的性质，它是确定一个平面位置的依据之一. ⑥我们用平行四边形来表示平面，那么平面是不是只有平行四边形这么个范围呢？

不是，因为平面是无限延展的.直线是可以落在平面内的，因为直线是无限延伸的，如果平面是有限的，那么无限延伸的直线又怎么能在有限的平面内呢？所以平面具有无限延展的特征. 现在我们根据平面的无限延展性来观察一个现象（课件演示给学生看）. 问：两个平面会不会只有一个公共点？不会，因为平面是无限延展的，应当有很多公共点.正因为平面是无限延展的，所以有一个公共点，必有无数个公共点.那么这无数个公共点在什么位置呢？可见，这无数个公共点在一条直线上.

这说明，如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.此时，就说两平面相交，交线就是公共点的集合，这就是公理3.如图（图9），用符号语言表示为：P∈α,且P∈βα∩β=l,且P∈l.

图9

公理3告诉我们，如果两个不重合的平面有一个公共点，那么这两个平面一定相交，且其交线一定过这个公共点.也就是说，如果两个平面有一个公共点，那么它们必定还有另外一个公共点，只要找出这两个平面的两个公共点，就找出了它们的交线.

由此看出公理3不仅给出了两个平面相交的依据，还告诉我们所有交点在同一条直线上，并给出了找这条交线的方法. ⑦描述点、直线、平面的位置关系常用3种语言:文字语言、图形语言、符号语言. ⑧“平面的基本性质”小结：

名称

公理1 公理2 公理3 应用示例

思路1

例1

如图10，用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系. 作用

判定直线在平面内的依据

确定一个平面的依据

两平面相交的依据

图10 活动：学生自己思考或讨论，再写出（最好用实物投影仪展示写的正确的答案）.教师在学生中巡视，发现问题及时纠正，并及时评价.

解：在（1）中，α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B.

在（2）中，α∩β=l,aα,bβ,a∩l=P,b∩l=P.

变式训练

1.画图表示下列由集合符号给出的关系：

(1)A∈α,Bα,A∈l,B∈l; (2)aα,bβ,a∥c,b∩c=P,α∩β=c.

解：如图11.

图11 2.根据下列条件，画出图形.

（1）平面α∩平面β=l，直线ABα，AB∥l，E∈AB，直线EF∩β=F，Fl; （2）平面α∩平面β=a，△ABC的三个顶点满足条件:A∈a，B∈α，Ba，C∈β，Ca. 答案：如图12.

图12 点评：图形语言与符号语言的转换是本节的重点，主要有两种题型：

(1)根据图形，先判断点、直线、平面的位置关系，然后用符号表示出来. (2)根据符号，想象出点、直线、平面的位置关系，然后用图形表示出来. 例2

已知直线a和直线b相交于点A.求证：过直线a和直线b有且只有一个平面.

图13 证明：如图13,点A是直线a和直线b的交点,在a上取一点B，b上取一点C，

根据公理2经过不在同一直线上的三点A、B、C有一个平面α，

因为A、B在平面α内，根据公理1，直线a在平面α内, 同理直线b在平面α内，即平面α是经过直线a和直线b的平面. 又因为A、B在a上，A、C在b上，所以经过直线a和直线b的平面一定经过点A、B、C. 于是根据公理2，经过不共线的三点A、B、C的平面有且只有一个，

所以经过直线a和直线b的平面有且只有一个. 变式训练

求证：两两相交且不共点的四条直线在同一平面内. 证明：如图14，直线a、b、c、d两两相交，交点分别为A、B、C、D、E、F,

图14 ∵直线a∩直线b=A,∴直线a和直线b确定平面设为α，即a,bα.

∵B、C∈a，E、F∈b,∴B、C、E、F∈α.

而B、F∈c，C、E∈d,∴c、dα,

即a、b、c、d在同一平面内. 点评：在今后的学习中经常遇到证明点和直线共面问题，除公理2外，确定平面的依据还有：

(1)直线与直线外一点.(2)两条相交直线.(3)两条平行直线. 思路2

例1

如图15，已知α∩β=EF,A∈α,C、B∈β,BC与EF相交，在图中分别画出平面ABC与α、β的交线.

图15 活动：让学生先思考或讨论，然后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对作图不准确的学生提示引导考虑问题的思路. 解：如图16所示，连接CB，

∵C∈β,B∈β,∴直线CBβ.

图16 ∵直线CB平面ABC，∴β∩平面ABC=直线CB. 设直线CB与直线EF交于D, ∵α∩β=EF,∴D∈α,D∈平面ABC. ∵A∈α,A∈平面ABC，

∴α∩平面ABC=直线AD. 变式训练

1.如图17，AD∩平面α=B,AE∩平面α=C，请画出直线DE与平面α的交点P，并指出点P与直线BC的位置关系.

图17

解：AD和AC是相交直线，它们确定一个平面ABC，

它与平面α的交线为直线BC，DE平面ABC，

∴DE与α的交点P在直线BC上. 2.如图18，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为8 cm，M、N、P分别是AB、A1D1、BB1的中点，

图18 (1)画出过M、N、P三点的平面与平面A1B1C1D1的交线，以及与平面BB1C1C的交线. (2)设过M、N、P三点的平面与B1C1交于点Q，求PQ的长. 解：(1)设M、N、P三点确定的平面为α，则α与平面AA1B1B的交线为直线MP，设MP∩A1B1=R，则RN是α与平面A1B1C1D1的交线，设RN∩B1C1=Q，连接PQ，则PQ是所要画的平面α与平面BB1C1C的交线.如图18. (2)正方体棱长为8 cm，B1R=BM=4 cm，又A1N=4 cm，B1Q=1A1N, 3

144×4=（cm）.在△PB1Q中，B1P=4 cm，B1Q=cm，

33342210cm. ∴PQ=B1PB1Q3∴B1Q=点评：公理3给出了两个平面相交的依据，我们经常利用公理3找两平面的交点和交线. 例2

已知△ABC三边所在直线分别与平面α交于P、Q、R三点，求证：P、Q、R三点共线. 解：如图19,∵A、B、C是不在同一直线上的三点,

图19 ∴过A、B、C有一个平面β.

又∵AB∩α=P，且ABβ,

∴点P既在β内又在α内.设α∩β=l,则P∈l, 同理可证：Q∈l,R∈l, ∴P、Q、R三点共线. 变式训练

三个平面两两相交于三条直线，若这三条直线不平行，求证：这三条直线交于一点.

已知平面α、β、γ两两相交于三条直线l1、l2、l3，且l1、l2、l3不平行. 求证：l1、l2、l3相交于一点. 证明：如图20，α∩β=l1，β∩γ=l2，α∩γ=l3，

图20 ∵l1β，l2β，且l1、l2不平行, ∴l1与l2必相交.设l1∩l2=P，

则P∈l1α,P∈l2γ,

∴P∈α∩γ=l3. ∴l1、l2、l3相交于一点P. 点评：共点、共线问题是本节的重点，在高考中也经常考查，其理论依据是公理3. 知能训练

画一个正方体ABCD—A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由. 解：如图21,

图21 ∵F∈CD′，∴F∈平面ACD′.

∵E∈AC，∴E∈平面ACD′.

∵E∈BD，∴E∈平面BDC′.

∵F∈DC′，∴F∈平面DC′B.

∴EF为所求. 拓展提升

O1是正方体ABCD—A1B1C1D1的上底面的中心，过D1、B1、A作一个截面，求证：此截面与对角线A1C的交点P一定在AO1上. 解：如图22,连接A1C1、AC，

图22 因AA1∥CC1，则AA1与CC1可确定一个平面AC1，

易知截面AD1B1与平面AC1有公共点A、O1，

所以截面AD1B1与平面AC1的交线为AO1. 又P∈A1C，得P∈平面AC1，而P∈截面AB1D1，

故P在两平面的交线上，即P∈AO1. 点评：证明共点、共线问题关键是利用两平面的交点必在交线上. 课堂小结

1.平面是一个不加定义的原始概念，其基本特征是无限延展性. 2.通过三个公理介绍了平面的基本性质，及作用. 名称

公理1 公理2 公理3 3.利用三个公理证明共面、共线、共点问题. 作业

课本习题2.1

A组5、6.

作用

判定直线在平面内的依据

确定一个平面的依据

两平面相交的依据