信息技术应用 用《几何画板》探究点的轨迹：圆板书设计及设计说明

《利用几何画板探究点的轨迹：圆》教学设计

教学目标：

（一）知识与技能

通过观察生活中的问题情境，了解动点运动的背景，掌握与圆有关的求轨迹方程常用的方法，渗透方程思想和数形结合思想的应用，增强学生对平面几何图形更直观的认识。

（二）过程与方法

1、通过几何画板直观、动态演示使学生了解点的轨迹的形成过程，并选择合适的方法求出轨迹方程，培养学生观察，猜想，严密论证的逻辑思维能力和分析问题的能力。

2、通过动手解决问题体会转化与化归意识。

（三）情感态度与价值观

增强自信心，激发学生学习兴趣，让学生体验信息技术在解决数学问题中的优势，开阔视野，培养学生创新精神。

学情分析：

《利用几何画板探究点的轨迹：圆》是新课标2003人教A版中数学必修二第四章《圆与方程》第三节后面的信息技术应用。是在学生已经学习并掌握了直线方程与圆的方程的基础上来学习研究的。在直线和圆两大节中，学生已经初步接触了直线、圆的形成过程，并借助于方程研究了他们的几何特征。体会了曲线与方程之间的关系。本节内容主要是通过几何画板直观、动态演示来探究点的轨迹：圆。通过探究点的轨迹形成圆的几种情况，理解求点的轨迹的常用方法，它是学习解析几何的基础之一,学好圆的方程为学习圆锥曲线奠定坚实的基础，具有承上启下的作用。

进入高中以来，学生们已经基本具备了观察、猜想、实验，推理、证明、进而得出结论的数学素养。在本课的学习中，借助于几何画板的直观、动态演示使学生了解点的轨迹的形成过程，经过学生由观察到猜想、由猜想到推理验证等一系列的过程，大大提高了他们的归纳推理的思维能力，进一步体会到数形结合的数学思想方法。同时有利于培养学生想象能力,几何直观能力,培养他们学习几何的兴趣和探索欲望。

教学重难点

1、重点：利用《几何画板》探究点的轨迹的形状，并选择合适的方法求出轨迹方程。

2、难点：利用《几何画板》模拟轨迹，分析轨迹形成的原因，选择合适的方程模型去验证点的轨迹。

教学方法：探究讨论法、启发引导式，演示法

教学课时：1课时

教学过程：

一、创设情境、导入新课：

1、通过欣赏现实生活中人走路和人造卫星运行的微视频，让学生感知点的轨迹在生活中应用，引入新课。

【师】几何画板是美国一公司制作的专门用于研究几何问题的教学软件。

【设计意图】通过对微视频的观看，让学生感受点的轨迹现象在生活中应用，激发学生学习本课的热情，点明本节课的学习主题。

2、回顾旧知：

①圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆，定点叫圆心，定长叫半径

【师】教师分析定义，并依据定义动态演示圆的形成过程，进而得出圆的

标准方程

问题：点M无论怎样运动，始终满足什么条件？这种关系用数学式子怎么描述？

（师生共同回顾圆的轨迹方程发现的过程：1、点的轨迹是什么？2、点运动时始终满足什么数学关系？3、由数学关系得圆的轨迹方程）

【设计意图】通过复习圆的形成过程，让学生体会动点在运动过程始终满足的条件，初步体会求轨迹的方法，为进一步探究点的轨迹奠定基础。

二、探究新知，层层深入

探究1：等腰三角形的顶点A的坐标是(4,2)，底边一个端点B的坐标是（3,5),用《几何画板》探究另一个端点C的轨迹，并给出轨迹的方程。

【师】引导学生审题，在坐标系中找出相关的点，并用《几何画板》演示动点C的运动状态

问题1：点C如何选取才能满足题意要求？

问题2：点C为什么会形成轨迹，是动点吗？说明理由？（学生讨论）

问题3：观察图形，点C在运动的过程中，不管在什么位置都能满足△ABC是等腰三角形吗？哪些点不满足？

通过刚才两个求轨迹方程的例子，你能总结出求轨迹方程的基本步骤吗？（学生讨论回答）

方法总结：求轨迹方程的基本步骤：

1、建系设点：建立适当的平面直角坐标系，设所求轨迹上动点的坐标为

(x,y)

2、列条件和方程：根据题意，寻找几何关系，列出方程

f(x,y)0

3、化简：将方程f(x,y)0化成最简形式 4、检验：检验满足方程的所有解是否都在曲线上，若有不满足的要去掉。

具体方法有：定义法，直接法。

【设计意图】在本题的探究中，借助于《几何画板》的动态演示，使学生进一步理解圆的定义的本质，体会动点在运动过程中始终遵循的规律，为寻找方程的数学模型做好铺垫，同时也让学生感受了数形结合思想在解题过程中的作用。

探究2：已知点M与两定点O(0,0),A(3,0)的距离的比为，用《几何画板》探究动点M的轨迹，并给出轨迹的方程。

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【师】引导学生审题，比较与探究1的区别，在坐标系中找出相关的点，并用《几何画板》演示动点M的运动状态

问题1：点M如何选取才能满足题意，在点M运动的过程当中，始终满足什么等量关系？ 问题2：这个等量关系能否用方程去表示？（学生板书解题过程）

【设计意图】在本题的探究中，借助于《几何画板》的动态演示，使学生体会在线段MO与MA的距离变化的情况下，只要保证两个距离之比恒定不变，动点M的运行轨迹也遵循着一定的规律，进而利用直接法求出点的轨迹。

（1）变式训练：如果比值变为，，…，情况又是怎样？

112343在本例中体现了动点围绕二个定点形成的轨迹，若定点变为一动一定，又会出现什么情况？

探究3：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3)，端点A在圆(x1)2y24上运动，求线段AB的中点M的轨迹方程。

【师】引导学生审题，在坐标系中找出相关的点，并用《几何画板》演示动点M的运动状态

问题1：中点M的运动是由谁引起的？（学生讨论）

问题2：在点M运动的过程当中，点M的中点属性变不变？请写出点M满足的条件？

问题3：点A满足什么样的关系式？如何建立关于点M（即关于x，y）的方程

【设计意图】通过让学生观察几何画板的动态演示，使学生体会相关点法本质：所求动点因为某一个动点的动而动，以及两个动点各自满足的条件及其两者之间的联系，进一步熟悉轨迹方程的求法，积累经验，并进行归纳总结

三、归纳总结，巩固知识

1、通过本节课的学习，你有哪些收获。

2、谈谈对求轨迹方程的新认识，新理解。

3、你还存在哪些不足需要改进。

【设计意图】通过知识的发展和学生的认知思路，梳理学生的学习思路和知识结构，培养学生有条理的思考方式和语言表达能力，使学生学会总结和归纳，加深理解。

四、课后练习及作业

1、已知点A(-3,0)，B(3,0)，动点P满足PA2PB，若点P的轨迹为曲线C，则此曲线的方程为？

2、点P(x0,y0)是圆x2y24上的动点，点M是OP（O是原点）的中点，则动点M的轨迹方程是？

五、板书设计

利用几何画板探究点的轨

迹：圆

一、求轨迹方程的步骤

二、具体方法

1、定义法：

2、直接法：

3、相关点法：

多媒体投影机

例题

学生练习