阅读与思考 欧几里得《原本》与公理化方法教学设计案例

人教版数学必修2

第二章

点、直线、平面之间的位置关系

阅读与思考：欧几里得与《几何原本》

教学目标与教学指导：

数学的内容可以粗略地分为代数与几何两大部门。代数是关于数量关系及数量形式的学问，而几何是关于空间形式的学问，最初主要研究空间的度量、形体关系以至形式演绎。在数学教学中，几何与代数具有同等重要的地位。希望通过本专题的学习，了解欧几里得对数学发展的贡献及《几何原本》的主要内容，并将其灵活运用于对教学的指导。

教学内容：

1、欧几里得的生平简介：

欧几里得（约公元前330-公元前275），古代希腊最杰出的数学家。生平没有详实的资料流传，出生地也无从查考，现在仅知道他生活在托勒密一世统治时期，曾在亚历山大创办学校并从事教学工作。

他在数学上的贡献在于创立了欧氏几何学。在总结前人关于几何学实践知识的基础上，集他人研究成果之大，以逻辑推理的方法，将公认的事实定义化和公理化，并予以演绎证明，编著了《几何原本》。这部著作一直流传至今，对人类活动产生持续的重大影响，至少到19世纪非欧几里得几何出现之前，它一直是几何学的推理、定理和方法的主要源泉，堪称是人类历史上一部伟大的科学著作。

《几何原本》的内容包括算术、平面几何、立体几何，是世界上最早公理化的数学著作。全书共计13卷，据史料记载，欧几里得还有4部失传的著作：《辩伪术》、《衍论》、《二次曲线》、《曲面一轨迹》。

2、教师生涯：

毕竟时光已经流逝了2000多年，到现在为止，我们都无法知道欧几里得出生和去世的准确日子，也不知道他究竟是什么地方人。只大致了解他是希腊人，生活在埃及托勒密一世统治时期。因为托勒密一世于公元前323年到公元前285年在位，而后来的大科学家阿基米德又曾经引用过欧几里得的著作，因而判定欧几里得活动的年代比阿基米德要早一些，而阿基米德生活的年代是公元前2世纪，由此推测欧几里得活动的年代大约是公元前330年到公元前275年左右。

欧几里得年青时，曾经在雅典的柏拉图科学院求学，受到了十分良好的教育。在欧几里得之前，数学中的几何学是十分零散的，没有完整的体系，就如同一堆砖头、水泥、木材一样，而欧几里得经过总结和分析归纳，加上自己的认识给予发展创新，把它建成为一座美丽壮观的几何学大厦。

公元前300年左右，他受到埃及国王托勒密一世的邀请，前往埃及的海滨城市亚历山大城主持数学教学，主要教授几何学。雅典良好学术气氛的熏陶，使他兼收并蓄，因而知识渊博。对待几何学教学，他勤恳耐心，兢兢业业，善于培养人才。几年之后，他的声名远播，使得亚历山大城成为远近闻名的数学研究中心，作为数学教师，欧几里得的名字也变得格外响亮。

3、欧几里得求知无坦途：

欧几里得言传身教，深受学生们的敬重，连埃及国王托勒密一世也时常去向他请教问题。当时的学术气氛十分浓厚，从国王到普通平民对数学都产生了极大兴趣，许多人都沉溺在探索数学王国的快乐中。有一次，国王托勒密在演算一道几何题时，被这道几何题搞得头昏脑胀。就如同有人为几何题解不开时所说的：“几何几何，想破脑壳”那样，国王也是在题目面前弄得一筹莫展。他来到欧几里得的卧室，寒暄了几句之后，询问欧几里得：“可不可以把几何搞得简单一点，除了《几何原本》之外，还有没有学习几何的捷径可走？”欧几里得在国王面前，一点也没有去讨好的意思，而是斩钉截铁地说：“几何无王者之道！”（意思是：陛下，几何学里没有专门为您开辟的大道！）这句话一直流传到今天，许多人把它当作学习几何的箴言。在西方，有人把它浓缩成“求知无坦途”的格言警句，提醒那些不愿付出艰辛，想走捷径去获得成功的人。

欧几里得也反对那种急功近利的狭隘实用观点。据说有一次一位刚开始学几何的年轻后生，在第一道命题开讲时，他就提出来：“老师，学了几何有什么用，能得到什么好处？”欧几里得马上对身边的人说：“给他3个钱币，因为他想在学习中得到实利。”欧几里得这句话的意思是：追求知识的目的不应该是获得钱财的实利，而应当是追求知识本身。

4、欧几里得几何学之父：

从公元前7世纪到公元前3世纪的几百年里，古希腊人凭着自己开阔的视野和睿智的头脑，积累了众多的几何材料。例如在欧几里得之前的伟大数学家泰勒士，就不用登上金字塔，而测出了金字塔的高度。

泰勒士所使用的方法其实很简单。他选择一个天气晴朗的日子，在地上竖起一根木棍，木棍和它的投影构成一个三角形；同时，金字塔和它的塔影也构成了一个三角形，这两个三角形的大小不同，形状却是一样的，几何学上把这样的三角形叫相似三角形。而相似三角形的对应边是成比例的。也就是说，木棍与木棍的投影之比，等于金字塔塔高与塔影之比。根据比例关系，就能够算出金字塔的高度。在2500年前，人类就显示出了自己的聪慧。

有了大量的几何事实后，下一步就是怎么样把这些事实整理出来，方便人们学习。许多人都曾为此付出了心血，但他们的成果仍显得零乱和分散，没有章法，也不够全面。而被称为“几何学之父”的欧几里得，在这样一个时期，继承和整理了前人的成果，加入了自己的研究心得，将这些知识系统化和条理化，完成了流传千年的巨著《几何原本》。

《几何原本》最早的手稿本早已失传，我们现在看到的都是后来的修订本或翻译本。但欧几里得的功劳是无可置疑的，“几何学之父”的荣誉他也应该是当之无愧！

几何原本：

《几何原本》，不仅包括了当时古希腊的几何学，还集中了希腊古典时期的算术、数论及代数知识。欧几创造性采用前人未曾用过的陈述方式，先提出少数定义、公理、公设，然后由简到繁地证明一系列定理。让大思。例如，什么叫点？书中说：“点是没有部分的。”什么叫线？书中说：“线有长度但没有宽度。”这样做的概念再做出别样的解释。

再如欧几里得提出了5个公理和5个公设：

公理1

与同一件东西相等的一些东西，它们彼此也是相等的。

公理2

等量加等量，总量仍相等。

公理3

等量减等量，余量仍相等。

公理4

彼此重合的东西彼此是相等的。

公理5

整体大于部分。

公设1

从任意的一个点到另外一个点作一条直线是可能的。

公设2

把有限的直线不断循直线延长是可能的。

公设3

以任一点为圆心和任一距离为半径作一圆是可能的。

公设4

所有的直角都相等。

公设5

如果一直线与两线相交，且同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线

无限延长后必相交于该侧的一点。

以这些公理和公设为基础，采用逻辑推理的方法，竟然可以由简到繁地证明

467个最重要的定理！这种独特的陈述方法，一直被无数后来数学家所沿用！

5、欧几里得数学家的圣经：

欧几里得的《几何原本》是一部不朽的数学巨著，2000多年来，它一直统治着几何教学，从来没有一本科学书籍，能够象《几何原本》那样连续长期巩固地成为亿万学生所传诵的读物。直到今天，我们课堂上所讲授的“平面几何”内容，仍然脱离不了《几何原本》的范围。《几何原本》从1482年第1次印刷之后，全世界用各种不同文字的版本出版了1000版以上，这样普及而大量地印刷出版，在历史上除了《圣经》之外，恐怕是任何著作都无法与之相比的，所以有人把《几何原本》称作“数学家的圣经”。

勾股定理的证明在欧氏《几何原本》中的地位是很突出的。它的证明方法是：以直角三角形的三条边为边，分别向外作正方形，然后利用面积方法加以证明。人们非常赞同这种巧妙的构思，因此，目前中学课本中还普遍保留这种方法。

据说，英国的哲学家霍布斯一次偶然翻阅《几何原本》，当他看到勾股定理的证明时，根本就不相信这样的推论，看过后十分惊讶，情不自禁地喊道：“上帝啊，这不可能”，于是他就从后往前仔细地阅读了每个命题的证明，直到公理和公设，最终还是被其证明过程的严谨、清晰所折服。

6、欧几里得诞生的重大意义：

欧几里得《几何原本》的诞生在几何学发展的历史中具有重要意义。它标志着几何学已成为一个有着比较严密的理论系统和科学方法的学科。

由于欧氏几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它已成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。

少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识范围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的“坐标几何”很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于1664年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：“因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。”这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反复进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。

近代物理学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候，“几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象”。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。

7、千年丰碑：

《几何原本》的结构优美，是用公理法建立数学演绎体系的最早典范。这个美妙的平面几何体系，被一些大科学家赞美为“雄伟的建筑”、“壮丽的结构”与“巍峨的阶梯”。英国著名的哲学家、数学家罗素曾经回忆到他11岁时开始学习欧几里得几何时的感受，觉得这是他一生中的一件大事，就像初恋一样使他痴迷，想不出世界上还有什么东西这样让他感到趣味盎然。捷克数学家波尔察诺讲述过自己的一段往事，有一年在布拉格度假时得了病，浑身颤抖，精神萎靡不振。这时他无意中拿起欧几里得的《几何原本》，平生第1次阅读了第5卷中的比例理论，那种巧妙的处理使他满心欢畅，病痛竟然神奇般的痊愈了。此后，只要是他的朋友觉得身体不舒服时，他就建议朋友去服《几何原本》这副“灵丹妙药”。

从《几何原本》问世后的2000多年里，它引导一代又一代青年人跨入数学殿堂，哥白尼、伽利略、牛顿、爱因斯坦，这些大名鼎鼎的大科学家，都曾得到这部书的许多教益，他们惊叹里面论证的精彩、逻辑之严密，对人类科学文化的发展，尤其是西方数学的发展，是一盏永不熄灭的明灯。

8、《几何原本》在我国：

《几何原本》是我国最早且第一部自拉丁文译来的数学著作。在翻译时绝无对照的词表可循，许多译名都从无到有，当时创造的。毫无疑问，这是需要精细研究煞费苦心的。这个译本中的许多译名都十分恰当，不但在我国一直沿用至今，并且还影响了日本、朝鲜各国。如点、线、直线、曲线、平行线、角、直角、锐角、钝角、三角形、四边形……这许多名词都是由这个译本首先定下来的。其中只有极少的几个经后人改定，如“等边三角形”，徐光启当时记作“平边三角形”；“比”，当时译为“比例”；而“比例”则译为“有理的比例”等等。

《几何原本》有严整的逻辑体系，其叙述方式和中国传统的《九章算术》完全不同。徐光启对《几何原本》区别于中国传统数学的这种特点，有着比较清楚的认识。他还充分认识到几何学的重要意义，他说“窃百年之后，必人人习之”。

清康熙帝时，编辑数学百科全书《数理精蕴》（公元1723年），其中收有《几何原本》一书，但这是根据公元十八世纪法国几何学教科书翻译的，和欧几里得的《几何原本》差别很大。

到清朝末年废科举、兴学堂之后，几何学方成为学校中必修科目之一。到这时才出现了徐光启所预料的“必人人而习之”的情况。