3.1直线的倾斜角与斜率（通用）教学设计一等奖

高一年级数学（必修二）教学设计

3.1.1 直线的倾斜角与斜率(第一课时)自己

一、内容及其解析 “直线的倾斜角与斜率”是人教版数学必修2第三章第一节的内容，是高中解析几何内容的开始。这节课学习的内容是直线在平面直角坐标系下的倾斜角和斜率。其核心内容是直线倾斜角的概念和斜率的求法，理解它的关键是在平面直角坐标系中直线向上的方向与X轴正方向所成的角和角的正切值。之前学生已经学过一次函数的图像和平面中两点可以确定一条直线，这节内容就是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础。通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，渗透解析几何的基本思想和基本研究方法。直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用。

二、教学目标

1．正确理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握直线倾斜角和斜率的定义、范围。

2、掌握过两点的直线的斜率公式及应用

3、培养学生运用代数方法解决几何问题的思想和能力，在自我探索斜率坐标公式的过程中培养学生的自学能力。

三、重点、难点

1、本节的重点是直线的倾斜角与斜率的概念过两点的直线斜率公式。

2、本节的难点是对直线倾斜角与斜率概念的理解，直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。

四、问题诊断与分析

在本节课的教学中，学生可能遇到的问题是对直线的倾斜角的概念及范围理解时会模糊不清和当直线的倾斜角是钝角时的求值会困难，产生这两个问题的原因是对倾斜角的概念理解不透彻和没有从定义上认真正理解和对公式tan(180。)tan的运用还不灵活。要解决这一困难，就要让学生从开始就认。真的从定义上理解倾斜角的概念和多用公式tan(180)tan。其中理解倾斜角的关键是理解当直线与X轴相交时倾斜角的概念是怎么定义的，当直线不与X轴相交时又是怎么定义的。理解公式的tan(180。)tan的关键是多用该阶段只要求学生会用就行。

五、教学支持条件分析

本节课打算用多媒体进行教学，因为多媒体的教学更容易刻画直线在直线坐标系中的位置，直观明了。是学生更容易理解，并且多媒体教学的课容量大，大大提高了课堂的效率

六、教学设计

情景引入：初中时我们知道确定一条直线的方法是：两点确定一条直线。我们知道一次函数的图像在直角坐标系中画出来就是一条直线，那么在直角坐标系中除了两点确定一条直线外还有其他的方法吗？这就是我们本节课研究的主要内容。首先我们要明确这堂课我们的目标（打出目标PPT）。

大家已经预习过本节内容了，我们就直接进入今天的学习。首先我们思考如下问题：

问题1：在平面直角坐标系中过一点P能确定几条直线？观察并思考这些直线有什么共同点和不同点呢？

1

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师生活动1：教师提问，学生动手画直角坐标系并过P作图观察并思考

结论：如图，过点P在直角坐标系中可以作出无数条直线。

这些直线的主要的共同点是都过点P，

不同点是这些直线与X轴的倾斜程度不同

问题2：与x轴正方向形成450角的直线有几条？

问题3：过点P与X轴成45度的直线有多少条？yL2P.L14545ox问题3

问题1

问题2问题3：过点P与X轴成450的直线有多少条？

（学生可能得出2条或1条两种说法，对此，指出问题2和问题3对角度的不同描述）

归纳：在平面直角坐标系中，确定一条直线位置的几何条件是：已知直线上的一个点和这条直线与X轴正方向所成的角。而这个角度我们就是用倾斜角来刻画的。

由此可以定义直线的倾斜角（可抽学生回答，针对回答情况加以肯定或修正）

直线倾斜角的定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角. 当直线与X轴平行或重合时，我们规定它的倾斜角为

如图为直线l的倾斜角

直线倾斜角的范围是：直线倾斜角的范围是0≤＜180

例1、如图，直线

l1

的倾斜角30

，直线l1l2

，求

l2的倾斜角2。

01

解：因为三角形的外角等于不相邻的两个内角之和

2

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所以

+

=

+

=

问题二：什么是斜率？

问题1：日常生活中我们描述人走的快慢、汽车行驶的快慢都是用速率来表示的，也就是用路程与时间的比来表示的；我们又如何刻画山坡的坡面的倾斜程度呢？

学生思考并进行讨论学习. 坡度（比）=升高量/前进量

例如，“进2升3”与“进2升

升32.2”比较，前者更陡一些，因为坡度（比）22

坡度（比）高

前进 升高量前进量tan

即此时坡度就是倾斜角的正切值，这个正切值我们称为直线的斜率，

因此

直线斜率的定义：倾斜角不是90 °的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率。

斜率通常用小写的字母k表示，所以k=tan（≠90，=90正切值不存在）

例如：直线l的倾斜角为45,则斜率为：ktan451

直线l的倾斜角为120,则斜率为：ktan1203

课堂练习86页练习1 问题2：探究当在00到900变化时，斜率是如何变化的？当在900到1800范围变化时，斜率的变化又如何？当在00到1800范围变化时，斜率的变化又如何？（直线倾斜角与斜率关系图）

问题1、α=0时,斜率k等于多少?

问题2

0＜α＜90时,斜率k是正还是负?倾斜角α变化时,直线的斜率k如何变化? 问题3

α=90时,斜率k如何?

问题4

90＜α＜180时,斜率k是正还是负?倾斜角α变化时,直线的斜率k如何变化?

3 0000

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当为锐角时，斜率k=tan>0；

当为钝角时，斜率k=tan<0 当为直角时，斜率k不存在；

当=0时，斜率k=tan0=0

反之：当斜率k>0时，直线的倾斜角为锐角，

当斜率k<0时，直线的倾斜角为钝角

当斜率k=0时，直线的倾斜角为0度角，

当斜率k不存在时，直线的倾斜角为直角

练习1：判断下列命题是否正确。

所有直线都有倾斜角,所有的直线都有斜率。( ) 平行于x轴的直线的倾斜角是0或180。( ) 00y

两直线斜率相等，则倾斜角也相等。（ ）

两直线倾斜角相等，则斜率也相等。（ ）

直线的倾斜角越大,它的斜率也越大。( ) 练习2：直线l1，l2，l3的斜率分别为k1 ,k2 ,k3, 试比较它们斜率的大小. l2

l3

O

l1

x

（刚刚我们用直线的倾斜角表示了直线的斜率，我们也知道两点确定一条直线，两点一旦确定，直线的倾斜角也就确定了。那么用两点如何计算斜率呢？）

问题三：已知直线上的两点P1（x1，y1），P2（x2，y2），且直线P1P2与x轴不垂直，即x1≠x2，直线P1P2的斜率是什么？

【设计意图】：让学生“应用斜率等于倾斜角的正切值”这一知识点推导出过两点的直线的斜率公式，同时加深学生对斜率概念的理解。

师生活动：下图中P1P2的水平距离是多少，垂直距离是多少？怎样表示的正切？

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小结：经过两点的直线的斜率的计算公式ky2y1x（x1≠x2）。

2x1

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例2、已知A(3, 2), B(-4, 1), C(0, -1), 求直线AB, BC, CA的斜率, 并判断它们的倾斜角是钝角还是锐角. 解：直线AB的斜率KABy2y1121x2x1437

1110(4)2

直线BC的斜率直线CA的斜率由 KBCKCA2(1)130

kAB0 及 kCA0 知，直线AB与CA的倾斜角均为锐角；由

kBC0 知，直线BC的倾斜角为钝角

课堂练习86页练习2、3题

例3、若三点A（2，-3），B（4，3），C（5，m）在同一条直线上，则实数m=____。

解析：因为A、B、C三点共线 所以kABk又ABkBC

33342

kBCm3

m33得m=6.

练习1、求过点M（2,1）,N（m,2)（m∈R）直线MN的斜率. 解:当m=2时，直线MN与x轴垂直，

∴直线MN的斜率不存在；

当m≠2时，直线MN的斜率: yykxxNNMM211m2m2

课堂小结

1、倾斜角的定义及范围

定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.并且当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为00。范围是0≤＜180

2、斜率的定义和求法

定义：倾斜角不是90度的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率

求法：(1)90时，k= tan ,90时斜率不存在

(2)经过两点的直线的斜率计算公式ky2y1（x1≠x2）。

x2x1

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思考：

001、已知直线的倾斜角满足60150，则直线的斜率k的取值范围为_______

2、已知直线的斜率k满足-1

课后作业：

课本63页1，2，3，4，5题。

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