3.1直线的倾斜角与斜率（通用）优秀教学设计

3.1.1 直

线

的

倾

斜

角

与

斜

率

海宁市南苑中学 汪佳婕

一．教材分析：

本课是人教版数学必修2第三章第一节直线的倾斜角与斜率的第一课时，是高中解析几何内容的开始.直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，是平面直角坐标系内以坐标法（解析法）的方式来研究直线及其几何性质（如直线位置关系、交点坐标、点到直线距离等）的基础.通过该内容的学习，帮助学生初步了解直角坐标平面内几何要素代数化的过程，初步渗透解析几何的基本思想和基本研究方法.本课有着开启全章，奠定基调，渗透方法的作用. 二．三维目标：

1.知识与技能

理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式. 2.过程与方法

经历用几何方法和代数方法刻画直线倾斜程度的过程，初步体会数形结合、分类讨论的数学思想方法. 3.情感态度与价值观

使学生感受现实生活中存在大量数学问题，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力；通过坐标法的引入，培养学生联系、对应、转化等辩证思想. 三．教学重点：倾斜角、斜率概念及斜率公式. 四．教学难点：斜率概念的形成，斜率公式的推导. 五．教学过程：

1、导入新课

介绍中国国粹——围棋，多媒体展示围棋棋盘图片，请学生指出棋盘中九个“星点”所处的位置.同时引入初中所学习的坐标法，以“天元”为原点，建立平面直角坐标系用坐标表示“星点”所处的位置. l2【设计意图】拉近与学生的距离，通过身边的例子，体会坐标法的作用. 引导性语言：我们将继续用坐标法研究直线、圆等几何图形的性质. l1问题1：直线由无穷多个点构成，那么几个点能确定一条直线？

12问题2：一个点能不能确定一条直线？

lO多媒体展示生活实例——折扇

问题3：两块小扇骨所在直线有什么区别？如果以大扇骨所在直线为参照物，运用一个什么样的量可以刻画两条直线的倾斜程度？

【设计意图】生活中的折扇增强学生的直观感受，让学生理解直线的倾斜yl程度对直线的影响. 引入课题——直线的倾斜角和斜率

2.讲授新课

ox（一）倾斜角的概念

当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角（angle of inclination）．

规定：当直线l与x轴平行或重合时，它的倾yyyyl3l2斜角为0°. l1思考1：如图，直线l1、l2、l3、l4的倾斜角为1、2、3、4，试比较1、2、3、4的大小. 1

oxoxoxo(1)(2)(3)(4)l4x

答案：1<2<3<4

问题4：由图中四种情况，你能得出直线倾斜角的范围吗？[0，). 【设计意图】通过倾斜角各种情况的图象展示，让学生从中提炼出倾斜角的范围.

思考2：已知倾斜角，能确定一条直线吗？

【设计意图】倾斜角只能反映直线的倾斜程度，但不能确定一条直线（平行线）.

（二）斜率的概念

思考3：通过上面的学习，我们知道倾斜角可以刻画直线的倾斜程度，那么我们在初中还学习过什么量可以体现倾斜程度呢？

yB复习初中所学习有关坡角和坡比的概念. 多媒体展示斜拉桥图片，引导学生用比值来描述拉索的倾斜程度. 312【设计意图】从生活中的例子出发，自然A1A2A3PxH斜拉桥过渡到斜率的学习.

斜率的概念：一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率（slope），常用小写字母k表示.

注：所有的直线都有倾斜角，但不是所有的直线都有斜率. k引导学生根据斜率的定义，得出斜率和倾斜角的图像关系，并根据倾斜角α和斜率k的关系得出下列结论：

∟oπ2π0k0；为锐角k0；

k不存在；为钝角k0.2【设计意图】从抽象概念到具体问题，使得学生理解和掌握斜率和倾斜角的关系. （三）斜率公式的推导

问题：已知两点可以确定一条直线，那么这条直线的倾斜角和斜率也会被确定，如何根据直线上两点求所在直线的斜率呢？

探究：给定两点Py1)，P2(x2，y2)，并且x1x2，如何计算直线PP12的斜率k ？

1(x1，过P1、P2分别作x轴、y轴的平行线交于点Q. ylP2(x2，y2)在RTPQP12中，QPP12，QP2|=y2y1，|PQ1|=x2x1，

tantanQPP12|QP2|y2y1. |PQ|x2x11P2(x2，y2)yP1(x1，y1)o∟Q(x2，y1)P1(x1，y1)xy2y1即直线PP的斜率. k12x2x1(x2，y1)Qox思考4：如果倾斜角为钝角，如何求斜率？

思考5：当直线垂直于x轴或y轴，以上公式是否仍然适用呢？

【设计意图】逐层递进，通过学生的协作培养学生分析问题和解决问题的能力.

思考6：运用上述公式计算直线的斜率，与两点P1、P2坐标的顺序有关吗？

2

yyllP2(x2，y2)lP1(x1，y1)P2(x2，y2)oxoxP1(x1，y1)

【设计意图】加深对斜率公式的理解.

3、例题讲解

例1.如图，已知A(3，2)，B(4，1)，C(0，1)，求直线AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．

解：直线AB的斜率：kAB直线CA的斜率：kCA1211121；直线BC的斜率：kBC；

4370(4)42yBoxA由kAB0及kCAkBC0知，直线BC的倾斜角为钝角．

1231. 0330知，直线AB 与CA的倾斜角均为锐角；由【设计意图】加深学生对斜率几何意义的理解，同时也使学生C掌握求斜率的一种方法. 例2．在平面直角坐标系中，画出经过原点且斜率为1，1，3及3的直线l1，l2，l3及l4. 分析：要画出过原点的直线l1，只需找出位于l1上的某一点A1，A1的坐标可以由OA1的斜率确定.解：设A1(x1，y1)是直线l1上的一点，根据斜率公式有1y10，即x1y1. x101).如图，过原点及A1(1，设x11，则y11，于是A1的坐标是(1，1)的直线为l1. 同理，由1y20，得y2x2.设x21，则y21.于是直线l2上x20l4l2yl3A3A1A2A4xl1的一点A2的坐标为(1，1).过原点及A2(1，1)的直线即为l2. 同理可知，l3是过原点及A3(1，3)的直线，l4是过原点及A4(1，3)的直线. 【设计意图】要求学生画图，目的是提高数形结合意识. 探究：倾斜角越大，斜率越大吗？

【设计意图】通过正切函数的图像和几何画板两方面展示，使学生更加深刻理解斜率和倾斜角的关系。

4、课堂小结

1.倾斜角α和斜率k的定义以及它们之间的关系；

2.已知直线上两点求斜率：ky1y2(x1x2)；

x1x2o3.思想方法：数形结合、分类讨论、坐标法.

5、课后作业

课本P89 习题3.1 ：

3，4，5题

6.

板书设计

直线的倾斜角和斜率

一、直线的倾斜角

（1）倾斜角的概念

（2）倾斜角的范围

二、直线的斜率

（1）斜率的概念

（2）斜率和倾斜角的关系

解析式、图象法

三、斜率公式

推导过程

例1.解答过程

例2.解答过程

3