1.3.1 且（and）优质课教案设计

简单的逻辑联结词

预习课本P14～17，思考并完成以下问题

1．课本提到的简单的逻辑联结词有哪些？

2．命题p∧q、p∨q以及綈p的真假是如何确定的？

[新知初探]

1．逻辑联结词，“且”“或”“非”

符号

p∧q p∨q 綈p

2．“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断

p 真

真

假

假

[点睛]

(1)含有逻辑联结词的命题与集合之间可以建立如下的对应关系：

命题形式

p且q A∩B＝{x|x∈A且x∈B} p或q A∪B＝{x|x∈A或x∈B} 非p

∁UP＝{x|x∈U且x∉P} q 真

假

真

假

p∨q 真

真

真

假

p∧q 真

假

假

假

綈p

假

假

真

真

含义

用联结词“且”把命题p和命题q联结起来的一个新命题

用联结词“或”把命题p和命题q联结起来的一个新命题

对一个命题p全盘否定的一个新命题

读法

p且q

p或q

非p或p的否定

集合运算

(2)确定p∧q，p∨q，綈p真假的记忆口诀如下：

p∧q→见假即假，p∨q→见真即真，p与綈p→真假相反．

[小试身手]

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)当p是真命题时，“p∧q”为真命题(

) (2)当p是真命题时，“p∨q”为真命题(

) (3)若綈p为假命题，则p为真命题(

) 答案：(1)×

(2)√

(3)√

2．命题“矩形的对角线相等且互相平分”是(

) A．“p∧q”形式的命题

C．“綈p”形式的命题

答案：A 3．已知p：2＋3＝5，q：5<4，则下列判断正确的是(

) A．p为假命题

C．p∨q为真命题

答案：C 4．“p∨q”为真是“p∧q”为真的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”或“既不充分也不必要”) 答案：必要不充分

用逻辑联结词联结新命题

[典例]

分别写出由下列命题构成的“p∨q”“p∧q”“綈p”形式的命题．

(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；

(2)p：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根，q：方程x2＋4x＋1＝0的两个根的绝对值相等．

[解]

(1)p∨q：梯形有一组对边平行或有一组对边相等．

p∧q：梯形有一组对边平行且有一组对边相等．

綈p：梯形没有一组对边平行．

(2)p∨q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根或两个根的绝对值相等；

p∧q：方程x2＋4x＋1＝0有两个不相等的实数根且两个根的绝对值相等；

綈p：方程x2＋4x＋1＝0没有两个不相等的实数根．

用逻辑联结词构造新命题的两个步骤

B．q为真命题

D．p∧q为真命题

B．“p∨q”形式的命题

D．以上说法都不对

[注意]

有的命题表面上不含逻辑联结词，但有与联结词等效的词语，注意辨识．

[活学活用] 指出下列复合命题的形式及构成它们的简单命题：

(1)2是4与8的约数；

(2)方程x2＋5＝0没有实数根；

(3)不等式x2－2x－3>0的解集是{x|x>3或x<－1}．

解：(1)这个命题是p∧q的形式，其中p：2是4的约数，q：2是8的约数．

(2)这个命题是綈p的形式，其中p：方程x2＋5＝0有实数根．

(3)这个命题是p∨q的形式，其中p：不等式x2－2x－3>0的解集是{x|x>3}，q：不等式x2－2x－3>0的解集是{x|x<－1}. 含有逻辑联结词的命题的真假判断

[典例]

(1)(2017·山东高考)已知命题p：对任意x>0，ln(x＋1)>0；命题q：若a>b，则a2>b2.下列命题为真命题的是(

) A．p∧q

C．綈p∧q

B．p∧綈q

D．綈p∧綈q

(2)已知命题p：{2}∈{1,2,3}，q：{2}⊆{1,2,3}．给出下列结论：

①“p或q”为真；②“p或q”为假；③“p且q”为真；

④“p且q”为假；⑤“非p”为真；⑥“非q”为假．

其中正确结论的序号是________．

[解析]

(1)当x>0时，x＋1>1，因此ln(x＋1)>0，即p为真命题；取a＝1，b＝－2，这时满足a>b，显然a2>b2不成立，因此q为假命题．由复合命题的真假性，知B为真命题．

(2)由题意可知，p假q真，故“p或q”为真，“p且q”为假，“非p”为真，“非q”为假，故①④⑤⑥正确．

[答案]

(1)B

(2)①④⑤⑥

1．命题结构的两种类型及判断方法

(1)从含有联结词“且”“或”“非”或者与之等价的词语上进行判断．

(2)若命题中不含有联结词，则从命题所表达的数学意义上进行判断．

2．判断命题真假的三个步骤

(1)明确命题的结构，即命题是“p∧q”“p∨q”，还是“綈p”；

(2)对命题p和q的真假作出判断；

(3)由“p∧q”“p∨q”“綈p”的真假判断方法给出结论．

[活学活用] 分别写出下列含有逻辑联结词的命题的形式，并判断其真假．

(1)等腰三角形顶角的平分线平分且垂直于底边；

(2)1或－1是方程x2＋3x＋2＝0的根；

(3)A

(A∪B)．

解：(1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．

(2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．

(3)这个命题是“綈p”的形式，其中p：A⊆(A∪B)，因为p真，则“綈p”假，所以该命题是假命题.

根据含逻辑联结词命题的真假求参数取值范围

[典例]

已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根．若p或q为真，p且q为假，求m的取值范围．

2Δ＝m－4>0，[解]

p：解得m>2. －m<0，

q：Δ＝16(m－2)2－16＝16(m2－4m＋3)<0，

解得1

∴p为真，q为假，或p为假，q为真，

m>2，m≤2，即或

m≤1或m≥31

解得m≥3或1

[一题多变] 1．[变条件]本例中将“p∨q为真，p∧q为假”改为“p∧q为真”，求实数m的取值范围．

解：∵“p∧q”为真命题，

∴p为真且q为真．

p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实根

2Δ＝m－4>0，⇔⇔m>2. －m<0

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根

⇔Δ＝16(m－2)2－16<0⇔1

2．[变条件]本例中将“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实根”改为“q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实数根”，其他条件不变，求实数m的取值范围．

Δ＝m2－4>0，解：p：方程x＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根⇔⇔m>2. －m<02

q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0有两个不等的实根

⇔Δ＝16(m－2)2－16>0 ⇔m>3或m<1. ∵p∨q为真命题．p∧q为假命题，

∴p，q为一真一假．

①当p为真q为假时，

m>2，则解得，2

②当p为假q为真时，

m≤2，则解得m<1. m>3或m<1，

综上所述，实数m的取值范围是(－∞，1)∪(2,3]．

应用逻辑联结词求参数范围的4个步骤

(1)分别求出命题p，q为真时对应的参数集合A，B；

(2)讨论p，q的真假；

(3)由p，q的真假转化为相应的集合的运算；

(4)求解不等式或不等式组得到参数的取值范围．

[注意]

当p，q中有假命题时，求参数范围应从求真命题的补集入手，可简化运算，减少出错．