习题3.3教案（名师）

直线系与直线系方程

学习目标：

1.

学生探究与直线平行的直线系方程以及与直线垂直的直线系方程，借助几何画板，探究过两直线交点的直线系方程. 2.

学生能够灵活运用直线系方程解决问题，发展学生在多种方法中优选的解题意识. 3.

学生在学习和探究活动中，理解解析几何用代数方法研究图形几何性质的本质，体会数形结合思想，逐步发展学生直观想象和数学运算的素养. 一、学习重难点：

学习重点：三种直线系方程的探究及其应用．

学习难点：过两直线交点的直线系方程的探究及其应用，坐标法的理解. 二、学习手段：

几何画板辅助教学；教师引导下的学生自主与合作探究

三、学习过程：

环节一：复习旧知，导入新课

通过前面的学习，我们发现一些几何图形以及几何图形的位置关系都可以用代数方法来表示，比如：点A用有序数对（坐标）表示；直线l用二元一次方程（A,B不同时为0）表示；点A在直线l上即点A坐标满足二元一次方程；点A是两条直线的交点即点A坐标满足二元一次方程组；两条直线平行即斜率相等截距不等（或两条直线的斜率均不存在）；两条直线垂直即斜率乘积为1（或一条直线斜率不存在，一条直线斜率为0）. 【设计意图】回顾前面知识尤其是坐标法的表示，建立旧新知识的连接，体会学习的连贯性.

环节二：探究与直线l平行的直线系方程

问题一：今天我们继续来探究多条直线的特殊位置关系，以及它们的代数表示.

首先我们先来学习一个新的概念——直线系. 直线系：具有某一共同性质的直线的集合. （PPT展示与直线l平行的直线系，让学生理解什么叫“某一共同的性质”；引导学生独立探究对应的直线系方程）

结论一：已知直线l:AxByC0，则与l平行的直线系方程为：问:对参数学

生

总

结

回

答

C有什么限制条件？

B0时不能转化成斜截式.（如何分类整合）

AxByC0,(CC)

【设计意图】引导学生通过自主发现并推导，得出结论.

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环节三：自主探究与直线l垂直的直线系方程

问题二：我们刚才得到了与l平行的直线系以及对应的直线系方程，平面几何中除了平行外还有哪种特殊的位置关系？（垂直）它们又如何用代数方法表示？

结论二：已知直线l:AxByC0，则与l垂直的直线系方程为：参数C有什么限制条件？B0的分类与整合. BxAyC0.

【设计意图】经历和类比环节二，学生能够主动发现并得出垂直于直线l的直线系方程.

环节四：（合作探究）已知R,则方程(2+1)x+(2)y+(+1)0表示什么图象？有什么特征？

学生发现：因为2+1与2不同时为0，所以方程表示直线；

因为可以取不同值，所以方程表示无数条直线；

（这些直线有什么特征？）

学生可以通过赋值后几何作图和代数证明等分析直线系的特征.得出

过直线l1和l2交点的直线系方程

结论三：已知直线l1:A则过直线l1和l2:A2xB2yC20，1xB1yC10，引导学生从代数角度理解过交点的直线系方程；几何画板辅助展示；

直线系中不包含哪l2交点的直线系方程为：(A（不包含l2）

一条直1xB1yC1)(A2xB2yC2)0.

线？为什么？是否可改进？

【设计意图】学生能利用数与形的联系得出和理解过交点的直线系方程，体会坐标法的优势. 环节五：

课堂演练：

1.已知点P(1,3)，直线l:3x4y30，求过点P且与直线l垂直的直线的一般式方程.

2.求过两条直线l1:5x2y10，l2:3xy20交点,且过点P(1,1)的直线方程. 拓展提高：

（江苏理9改编） 如图，在平面直角坐标系xOy中，设三角形ABC的顶点分别为A(0,a)，，设a,b,c,p为非零常数，设B(b,0)，C(c,0)；点P(0,p)为线段AO上的一点（异于端点）2

直线CP与边AB交于点F，请完成直线OF的方程：11(_______)x()y0. ap

【设计意图】学生根据新知来解决具体问题，充分考虑条件与方法，优化解题. 环节五：小结（内容—方法—解析思想）

直线系与直线系方程：

与直线平行的直线系方程：AxByC0,(CC)

与直线垂直的直线系方程：BxAyC0

过两直线交点的直线系方程：(A1xB1yC1)(A2xB2yC2)0（不包含l2）

【设计意图】归纳总结，加深对新知的理解. 四、

板书设计：

直线系与直线系方程

已知直线l的方程为l:AxByC0

例题与板演

与l平行的直线系方程：_________________ 与l垂直的直线系方程：_________________ 过两直线交点的直线系方程：_____________

五、

作业：

基础训练：1.已知点P(1,3)，直线l:x4y10，

（1）

求过点P且与l平行的直线方程; （2）

求过点P且与l垂直的直线方程. 2．已知3a2b1,求证：直线axby2(xy)10过定点，并求定点坐标. 3．在学生对所学知识进行归纳与反思.

ABC中，A(3,4，)两条高所在直线的方程为：7x2y10，2x7y60，不求交点，求BC边上的高所在直线的方程. 课下拓展：4．求证：无论为何值，直线(2)x(1)y2(32)与点0P(2,2)的距离都小于42.

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