3.3.4 两条平行直线间的距离教学目标

《点到直线的距离》教案

教学目标

（1）知识与技能：让学生至少掌握一种点到直线距离公式的推导方法，掌握点到直线的距离公式及其应用。

（2）过程与方法：培养学生观察、思考、分析、归纳等数学能力；数形结合、综合应用知识分析问题解决问题的能力；探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。

（3）情感态度与价值观：培养学生勤奋思考、勇于探索解决问题的能力。引导学生用联系与转化的观点看问题，在团队合作探索解决问题的过程中获得成功的体验。

教学重点：点到直线的距离公式的推导及公式的应用

教学难点：点到直线的距离公式的推导

教学方法：启发引导法、讨论法

学习方法：任务驱动下的研究性学习

教学工具：计算机多媒体、三角板 教学过程：

一、

创设情境、提出问题

多媒体显示实际的例子：

如图,在铁路的附近,有一大型仓库，现要修建一公路与之连接起来，那么怎样设计能使公路最短？

仓库

铁路

这个实际问题要解决，要转化成什么样的数学问题？学生得出就是求点到直线的距离。教师提出这堂课我们就来学习点到直线的距离，并板书写课题：点到直线的距离。

二、师生互动

、探究新知

教师：假定在直角坐标系上，已知一个定点P（x0 ,y0）和一条定直线l： Ax+By+C=0，那么如何求点P到直线l的距离d？请学生思考并回答。

学生：先过点P作直线l的垂线，垂足为Q，则|PQ|的长度就是点P到直线l的距离d，将点线距离转化为定点到垂足的距离。

接着，多媒体显示下列2道题(尝试性题组)，请2位学生上黑板练习（其余学生在下面自己练习，每做完一题立即讲评）

(1)求P（x0 ,y0）到直线l：By+C=0（B≠0）的距离d；（答案：dy0C）

B

1

(2) 求P（x0 ,y0）到直线l：Ax+C=0（A≠0）的距离d；（答案：dx0C）

A第（1）、（2）题虽然含有字母参数，但由于直线的位置比较特殊，学生不难得出正确结论。

教师：根据以上2题的运算结果，你能得到什么启示？

学生：当直线的位置比较特殊（水平或竖直）时，点到直线的距离容易求得，多媒体显示并板书：

l

l

当A0时，l:ByC0,PQy0yQy0By0CC

BBAx0CC

AA当B0时，l:AxC0,PQx0xQx0教师：当AB0时，那么，而当直线是倾斜位置时，l:AxByC0，此时直线含有多个字母则较难；,虽然有一些思路，但具体操作起来因计算量很大难以得出结果。点到直线的距离有没有运算量小一点的推导方法呢？我们能不能根据刚才的第（1）、（2）的启示或者是以前学过的方法的启示，借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢？请同学们分小组讨论

学生们积极探讨；教师来回巡视，回答各研究小组的询问……

y 教师根据学生提出的方案，收集思路。

思路一：利用定义

①求垂线PQ的方程（由PQ⊥l以及直线l的斜率可知垂线PQ的斜率，点斜式）

Q ②求交点Q坐标（联立方程组求解）

O ③两点间距离公式

上述方法虽然思路自然，但是会遇到一只拦路虎——运算较为繁琐。

P (x0 ,y0) x

2

（思路一）解：直线PQ：yy0Bxx0,xx0，即BxAyBx0Ay0

AB2x0ABy0ACBxAyBx0Ay0由，xQ

22ABAxByC0

B2x0ABy0ACA2x0B2x0AAx0By0C xQx022ABA2B2

BAx0By0C

yQy0xx0B22AAB

d

xQx0yQy0

221A2B2A2B2Ax0By0CAx0By0CA2B2

教师评价：此方法思路自然，但运算繁琐。如果没有小组想到另外一种思路，教师继续提出问题：根据以往求两点间距离公式的图形构造方法，求线段长度可以构造图形吗？什么图形？如何构造？

思路二：

利用直角三角形等面积法

如图，设A≠0，B≠0。

引导过程：

①点P的坐标的意义。

②过P分别作x轴、y轴的垂线。

③构成三角形，转化为求直角三角形高的问题。

④如果知道面积和底边，就可以求出高。现在

要求RP、PS、SR的长度。

⑤两点间距离公式，转化问求R、P、S的坐标。

多媒体显示、师生一起推导：

（思路二）解：设Px0,y0，QxQ,yQ，RxR,y0，Sx0,yS

AxRBy0C0，xRBy0CAx0C；Ax0BySC0，yS

AB RPx0xRAx0By0C

A

3

PSy0ySAx0By0C

B由PQRSPRPS，

PQPRPSRS

而RSRPPS22Ax0By0CA2B2

22AB

Ax0By0CAB

A2B2

PQAx0By0CAB22思路三：将来可以为利用三角函数、不等式、向量等方法求解。

各小组同学都运用了不同的解法，

此类题解法灵活多样，同学们要注意选择适当、最优的方法来解题，以便取得最佳效果。

说明：学生只初略学习了三角函数、不等式、向量等未学。如果学生没有想到思路三，教师提示做课后思考作业题目。

教师提问：①上式是由条件下当AB0时得出，对当A0，或B0时成立吗？（成立）

1.当A=0，B0时，l:ByC0

此时，直线为：yC,直线为平行于x轴（或重合于x轴）的直线

B则：PQPSy0(By0CAx0By0CCC

)y022BBBAB 2.当A0，B=0时，l:AxC0

此时，直线为：xC，直线为平行于y轴（或重合于y轴）的直线

A

则：PQPRx0(Ax0CAx0By0CCC

)x022AAAAB②点P在直线l上成立吗？（成立）

③公式结构特点是什么？用公式时直线方程是什么形式？

由此推导出点P(x0，y0)到直线l：Ax+By+C=0距离公式：

4

dAx0By0CAB22适用于任意点、任意直线。

三、变式训练

、学会应用

练习1 (学生上台展示) 1.求点A（-2，3）到直线3x+4y+3=0的距离。

2.求点C（1，-2）到直线4x+3y=0的距离。

3.点P(-1,2)到直线3x=2的距离。

4.点P(-1,2)到直线3y=2的距离。

5.点A(a,6)到直线x+y+1=0的距离为4，求a的值。

练***行坐标轴的特殊直线，直线方程的非一般形式。

练习目的：熟悉公式结构，记忆并简单应用公式。

教师强调：直线方程的一般形式，点到直线的距离公式熟练掌握才能在解题时游刃有余。

四、拓展延伸、升华提高

例1:已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求

三角形ＡＢＣ的面积。

解：设AB边上的高为h，则SABC

|AB|1|AB|h，

2(31)2(13)222, AB边上的高为h就是点C到AB的距离，

AB边所在直线方程为:xy40. 点C(1,0)到直线xy40的距离

h|140|112252. 因此，SABC

15225. 225

五、当堂检测

1.点（3，m）到直线l：x3y40的距离等于1，则m等于(A.3B.3C.)33D.3或

332.若点P(x,y)在直线xy40上，O是原点，则|OP|的最小值是（）A.10B.22C.6D.2六、学生小结

、教师点评

1.知识：点到直线的距离公式的推导及其运用。

2.思想方法

转化：将点线距离转化为定点到垂足的距离；等积法将其转化为直角三角形中三顶点的距。离数形结合、特殊到一般的思想方法。

七、课外练习

巩固提高

①

课本习题3.3A组第8,9题；

②

总结写出点到直线距离公式的多种方法。

八、板书设计

3.3.3点到直线的距离

1.两种特殊情况

当A=0，B0时，l:ByC0

当A0，B=0时，l:AxC0

2.一般情况

AB 0时，l:AxByC0

思路一：按定义

思路二：等面积法

6