4.3.2 空间两点间的距离公式名师教学设计1

4.3.2

空间两点间的距离公式教学设计

岑巩县第二中学欧德银

一、教学分析

平面直角坐标系中,两点之间的距离公式是学生已学的知识,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离;从平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆,推广到空间直角坐标系中的方程x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面.学生是不难接受的,这不仅不增加学生负担,还会提高学生学习的兴趣. 二．三维目标

1.掌握空间两点间的距离公式,会用空间两点间的距离公式解决问题. 2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力. 3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神. 三、重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式. 教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导. 四、教学过程

导入新课

思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容. 思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d=(x2x1)2(y2y1)2.同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式. 探究一：

①长a，宽b，高c的长方体的体对角线长为多少？

②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

探究二; ④如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？

⑤在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z)则有？

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过勾股定理数学知识,推导出体对角线的过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成刚学会的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义, 大胆类比和猜想。④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤回顾平面两点之间的中点坐标公式,猜想空间两点之间的中点坐标公式。

222|OP|xyz讨论结果：①

2

2

2

②

dabc

③在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以原点为球心，半径长为

r 的球面

图1 分析过程：对于②如图1,设A (x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d=x2y2z2. ③平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2 ④如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离. 我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|=(x2x1)2(y2y1)2再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以(x2x1)22|HP2|=|z2-z1|.在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|=|P1P2|=|P1H|2(y2y1)22,根据勾股定理,得2|HP2|2=(x1x2)(y1y2)2(z1z2)2.因此空间中点2P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|=于是空间两点之间的距离公式是d=(x1x2)2(y1y2)2(z1z2)2. (x2x1)(y2y1)(z2z1).它是同名坐标的差的平方的和的算术平方根. ⑤在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

xxx,

2yy

,y2

zzz。

2

121212

五、应用示例

例1 求证以M1(4,3,1)、M2(7,1,2)、M3(5,2,3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。

2222M1M2(74)(13)(21)14,解:

2222M2M3(57)(21)(32)6,

2222(45)(32)(13)6,M3M1

M2M3M3M1,

变式训练:求下列两点的距离 (1)A(2,3,5),B(3,1,4);

(2)A(6,0,1),B(3,5,7)。

(1)6 (2)70答案：

例2

在z 轴上求与两点A(4, 1, 7)和B(3, 5, 2)等距离的点

22MAMB解：设所求的点为M(0, 0, z)，依题意有

(04)2(01)2(z7)2(30)2(50)2(2z)2

14解之得

z9

所以所求点的坐标是(0,0,149)。

变式训练: 在x轴上求一点M，使点M 到A（2,0,2）与点B（1，-3,2）的距离相等。

六、课堂小结：

一、两点间距离公式

平面：|P1P2|(x1x2)2(y1y2)，2

222空间：|P1P2|(x1x2)(y1y2)(z1z2)。

二、空间中点坐标公式

在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z):

x1x2x

2

y1y2

y2z1z2z2

七：布置作业

习题4.3

A组3,B组1、2、3. 八、设计感想

本节课从平面直角坐标系中两点之间的距离公式入手,创设问题情景,不难把平面上的知识推广到空间,遵循从易到难、从特殊到一般的认识过程,利用类比的思想方法,借助勾股定理得到空间任意一点到原点的距离.为了培养学生的理性思维,在例题中,设计了由特殊到一般的学习思路,培养学生的归纳概括能力.在问题的设计中,用一题多解的探究,纵向挖掘知识深度,横向加强知识间的联系,培养了学生的创新精神,本节课的设计通过适当的创设情境,调动学生的学习兴趣.本节课以问题为纽带,以探究活动为载体,使学生在问题的指引下、教师的指导下把探究活动层层展开、步步深入,充分体现以教师为主导,以学生为主体的指导思想.把学生学习知识的过程转变为学生观察问题、发现问题、分析问题、解决问题的过程,提高了能力、培养了兴趣、增强了信心.