反证法教学内容概述

反

证

法

教学设计

教学目标：

一、【知识与技能】

1、了解反证法的意义和解题步骤；

2、了解命题“经过同一条直线上的三个点不能作圆”的意义和证明。

二、【过程与方法】

1、通过故事和学生的经历培养学生对问题的辨析和解决问题的能力。

2、培养和发展学生的逆向思维能力。

三、【情感态度与价值观】

通过学生的参与让学生认识到数学来源于生活，又服务于生活。

教学重点：

反证法的意义和步骤。

教学难点：

理解反证法的推理依据及方法。

教学方法：

讲练结合教学。

教学过程

一、导入：

（一）、故事《路边苦李》：

王戎7岁时,与小伙伴们外出游玩,看到路边的李树上结满了果子。小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动。有人问王戎为什么？王戎回答说:“树在道边而多子，此必苦李”。小伙伴摘取一个尝了一下，果然是苦李.

王戎是怎样知道李子是苦的呢? (二)、探究新知

王戎的推理方法如下:

假设“李子甜”

树在道边则李子少

①假设结论不成立

②结合条件推出相应的结论

与已知条件

“树在道

③产生矛盾（与已知条

件、定义,公理,定理等）

边而多子”产生矛盾

假设的“李子甜”不成立

④“假设不成立”

所以

“树在道边而多子, 此必为苦李”

是正确的

⑤命题正确

(三)、由此及彼: 已知：在△ABC中，AB≠AC. 求证：∠B≠∠C 证明：假设∠B=∠C. 那么AB=AC（等角对等边）

这与已知条件“AB≠AC”相矛盾

∴假设不成立

故原命题的结论∠B≠∠C正确。

二、讲授新课

(一)、反证法背景：

人们在探求某一问题的解决方法时，如果正面求解比较困难，则常常采用从反面考虑的策略，往往能达到柳暗花明又一村的境界。

(二)、反证法定义：

在证明一个命题时，有时可先假设原命题的结论不成立，然后从这个假设出发，经过逐步推理论证，最后推出与已知条件或者与学过的定义、定理、公理、基本事实等矛盾，从而得出假设是错误的，则原结论正确，这种证明方法叫做反证法. (三)、反证法步骤：

第一步，假设命题的结论不成立；

第二步，从这个假设和其他已知条件出发，经过推理论证，得出与已知条件或者与学过的定义、定理、公理、基本事实等相矛盾的结果；

第三步，由矛盾的结果，判定假设不成立，从而说明命题的结论是正确的。

(四)

、重点突破: P 证明：经过同一条直线上的三个点不能作圆。 L2 L1 已知：如图，点A、B、C在同一条直线Ｌ上。

求证：点A、B、C三点不在同一个圆上。 A B C L 证明：假设经过A、B、C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为点P, 那么点P既在线段BC的垂直平分线L1上，又在线段AB的垂直平分线L2上。

即点P为线段L1和线段L2的交点，而L1⊥L， L2⊥L，

这与我们以前学过的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂

直”相矛盾。

所以，假设不成立，

即经过同一条直线上的三个点不能作圆。

三、课堂练习

（一）、万事开头难，走好第一步！

1、写出下列各结论的反面：

（1）a∥b； a∥b 平行与不平行

（2）a≥0； a<0 小于与不小于

（3）b是正数； b不是正数 是与不是

（b是零或负数）

（4）a⊥b a不垂直于b 垂直与不垂直

（二）、小试牛刀：

2、用反证法证明（填空）:在三角形的内角中，至少有一个角大于或等于60°。

已知: ∠A，∠B，∠C是△ABC的内角。

求证: ∠A，∠B，∠C中至少有一个角大于或等于60°。

证明: 假设所求证的结论不成立，即：

∠A < 60° ，∠B < 60° ，∠C < 60°

则∠A+∠B+∠C < 180°.

这与 三角形三个内角的和等于180°相矛盾. 所以 假设 不成立，所求证的结论成立. 四、例题讲解，巩固新知： a'

求证：两直线平行，同位角相等。 3 c1ab2

已知：如图，直线a，b被直线c所截，且

a∥b。

求证：∠1 =∠2

证明：假设∠1≠∠2，

则可过点O作直线a'，使∠3=∠2，根据

“同位角相等，两直线平行”，可得a'∥b。

这样，过同一点O就有两条直线a和a'都平行于同一条直线b，这与平行公理“过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行”相矛盾。

∴假设不成立

∴∠1 =∠2

五、练习强化：

1、已知：如图，直线a，b被直线c所截，∠1 ≠

∠2 求证：a∥b 证明：假设a∥b 则∠1=∠2 (两直线平行，同位角相等) 这与已知的∠1≠∠2矛盾

∴假设不成立

∴a∥b 2、证明：一个三角形中不能有两个角是直角。

已知：△ABC 求证：在∠A、∠B、∠C中，不能有两个直角。

A

B C c1ab2

六、回顾与归纳：

假设

结 论推理论证

的反

面

正

确

得出矛盾（已知、公理、定理等）得出结论

假设不成立，原命题成立。

反设

七、故事收场: 1、话说西游路上，唐僧师徒四人来到了火云洞，经过一番鏖战，悟空为了打探虚实，假败红孩儿后师徒四人被红孩儿捆进洞穴。顽劣的红孩儿用炭将熟睡的师徒四人前额涂成了花猫后，也疲倦的饱睡了一觉，醒后来看四人，看到自己的杰作，忍不住哈哈大笑，师徒四人醒后，五人彼此相看都大笑不已。一会儿后红孩儿却突然不笑了，他是觉察到什么了？

红孩儿运用了怎样的推理方法？

2、各抒己见：

自己的前额也被涂黑了. 假设自己的前额没有被涂黑, 那么师徒四人也不会有异常行为, 这与“师徒四人笑个不停”矛盾, 所以假设“自己的前额没有涂黑”不正确, 于是自己的前额也被涂黑了.

归谬

结论

八、布置作业

1、用反证法证明：等腰三角形的底角必定是锐角．

2、证明：一个三角形中不能有两个角是钝角。

3、已知：有a、b、c三条直线，且a//c, b//c.

求证：a//b