正多边形的有关概念、正多边形与圆的关系教案和学案内容

人教版九年级数学上册

24.3

正多边形和圆

【知识与技能】

1.了解正多边形和圆的有关概念.

2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.

3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题

【过程与方法】

结合生活中的正多边形形状的图案，发现正多边形和圆的关系，然后学会用圆的有关知识，解决正多边形的问题.

【情感态度】

学生经历观察、发现、探究等数学活动，感受到数学来源于生活、又服务于生活，体现事物之间是相互联系，相互作用的.

【教学重点】

正多边形与圆的相关概念及其之间的运算.

【教学难点】

探索正多边形和圆的关系，正多边形半径，中心角、弦心距，边长之间的关系. 【教学过程】

一、情景导入

感受新知

情景1：欣赏螺丝图片．

师：图片上的螺丝上下底面是什么图形？

生：正六边形

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师：它的各边各角有什么关系？

生：相等

师：我们学过的图形中，还有哪些图形有这样的特点？

生：正三角形、正方形、正五边形、正六边形

师：还可以是正七边形，正八边形……正n边形，那么什么是正多边形呢

生：各边相等，各角相等的多边形叫做正多边形。

接下来，我们一起来看一个生活中的正多边形问题

情景2：

如图，要拧开一个边长为a＝6 mm的正六边形螺帽，扳手张开的开口b至少为多少？

学生可能一时想不出解题思路，这种情况下，教师引出：让我们带着这个问题一起来学习第24章第3节

正多边形和圆

紧接着，大屏幕出示教学目标，学生齐读。

二、自学互研

生成新知

下面，我们来学习本节的第一个内容：正多边形定义及对称性，请看大屏幕上的问题

问题1.矩形是正多边形吗？菱形呢？各边相等、各角也相等的多边形叫做正多边形．矩形和菱形不是正多边形，正方形是正多边形．

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问题2.正多边形是轴对称图形吗？是中心对称图形吗？它们的对称轴有几条？

是轴对称图形，不一定是中心对称图形．

学生独立思考后，教师进行提问，接着师生归纳得出：

正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形。

二

、正多边形和圆的关系

问题

1.什么是圆的内接四边形？

2.根据圆内接四边形的定义和正多边形定义解决以下问题：

已知：如图，在⊙O中，A，B，C，D，E，是⊙O的五等分点．依次连接ABCDEF形成六边形．

问：五边形ABCDEF是正五边形吗？如果是，请证明你的结论．

3.通过以上证明总结：如何得到圆的内接正六边形，正n边形？什么是圆的内接正多边形

学生活动：独立思考以上问题后将自己遇到的问题和自己的同桌前后桌进行讨论，完成之后在对照课本改正自己解题过程中的问题。

教师活动：巡视指导，找出学生存在的问题，同时根据学生存在的问题给出适当的提示。

三

正多边形的有关概念与计算

1.指出右图中正六边形的中心、半径、中心角和边心距．

中心：点O. 半径：OC，OE，OF. 天成文化传媒

中心角：∠EOF. 边心距：OM. 师生归纳：

1．一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

2．外接圆的半径叫做正多边形的半径．

3．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

4．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边

2.

完成下面的表格并思考，正多边形的中心角与外角的大小关系

正多边形边数

3 4 6 n ．

学生活动：独立思考以上问题之后，同桌之间互相交流结果。

教师活动：巡视指导，了解学生存在的问题和完成的情况，并根据学情进行个别指导或分类指导

（n－2）·180°360°师生归纳总结：正n边形的每个内角都为，每个外角都为，nn360°中心角为，所以，正n边形的每个中心角和每个外角相等

n

三、典例剖析

运用新知

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内角

中心角

外角

例题：有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(保留小数点后一位)．

解：作OM⊥BC于M.连接OB、OC，∵ABCDEF是正六边形，

1∴△OBC为正三角形，∴∠MOC＝∠BOC＝30°，OB＝BC＝OC. 2∴l＝6BC＝6OB＝6×4＝24(m)．

1在Rt△OMC中，∵∠MOC＝30°，∴MC＝OC＝2 m．∴OM＝OC2－MC2＝223m. 11∴S△OBC＝BC·OM＝×4×23＝43(m2)．

22∴S正六边形＝6S△OBC＝243≈41.6(m2)．

即地基的周长为24 m，面积约为41.6 m2.

学生活动：学生独立思考后完成以上问题的解题过程，之后对照课本例题过程进行核对，并将自己遇到的问题和同桌前后桌进行讨论。

教师活动：找学生板演以上问题的解题过程，然后，巡视了解学生的解题情况，对于学生的问题进行指导，板演学生完成之后，再找学生指出出板演学生存在的问题，然后，板演学生进行改正或其他学生帮他改正，最后教师强调解题过程中的问题，同时给予两位学生适当的评价。

师生归纳总结: 圆内接正多边形的辅助线的添加方法：1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直天成文化传媒

角三角形

四、检测反馈

落实新知

1.课前问题的解决

2.课件上的题

五、课堂小结

回顾新知

(1)正多边形定义及对称性

(2)正多形与圆的关系及相关计算．

(3)正多边形计算的方法总结

六、课后作业

巩固新知

1.课件上剩下的题

2.习题24.3

1.2.3.5（必做）

8题（选做）

人教版九年级数学上册

24.3 正多边形和圆

教学设计（2）

【学习目标】

1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．

2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．

【学习重点】

探索正多边形和圆的关系，了解有关概念；会进行计算．

【学习难点】

探索正多边形和圆的关系，正多边形的半径、边心距、中心角、边长之间的关系．

【教学过程】

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一、创设情境，导入新课

情景1：出示凉亭图片的课件，同时提问学生：这个凉亭的地基是哪一部分？它的各边各角有什么关系？是我们学过的什么什么图形？

生：

它的各边各角都相等，是正六边形

师：，我们把这样

这样各边各角都相等的图形，叫做正多边形，两个条件缺一

不可。其实，在我们的生活中还有很多正多边形形状的物体，大家看下面这些图片中有哪些正多边形？

情景2：如果已知凉亭的地基是边长为4米的正六边形，你会计算它的面积吗？

学生众说纷纭。

师：为了解决这些问题，这节课我们就来学习

正多边形和圆。

学习这节课我们需要掌握以下目标：

1．学习正多边形的概念，探索正多边形和圆的关系．

2．能进行正多边形的有关计算，了解正多边形的中心，半径、边心距、中心角等概念，通过等分圆周作正多边形．

二、自学互研

生成新知

【自主探究】

接下来，就请同学们阅读教材P105,解决以下问题：

问题1.已知：如图，在⊙O中，A，B，C，D，E，F是⊙O的六等分点．依次连接ABCDEF形成六边形．

问：六边形ABCDE是正六边形吗？如果是，请证明你的结论．

答案：六边形ABCDE是正六边形．

一个正多边形的各个顶点都在一个圆上，则这个正多边形就是这个圆的内接多边形，圆叫做这个多边形的外接圆．

2.以正六边形为例，指出右图中正多边形的中心、半径、中心角和边心距．

中心：点O. 半径：OC，OE，OF. 中心角：∠EOF. 边心距：OM. 3.正n边形的每个内角都为（n－2）·180°360°360°，每个外角都为，中心角为nnn．

由此得出，正多边形的中心角和外角有什么大小关系？

正多边形的中心角和外角相等。

师生归纳总结：

1．一个正多边形的外接圆的圆心叫做正多边形的中心．

2．外接圆的半径叫做正多边形的半径．

3．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

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4．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

师生活动：

①明了学情：明了学生完成自学参考提纲的情况．

②差异指导；根据学情进行个别指导或分类指导．

③生生互助：小组内相互交流、研讨．

三、典例剖析

运用新知

【合作探究】

课前提出的亭子问题

有一个亭子，它的地基是边长为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(保留小数点后一位)．

解：作OM⊥BC于M.连接OB、OC，∵ABCDEF是正六边形，

1∴△OBC为正三角形，∴∠MOC＝2∠BOC＝30°，OB＝BC＝OC. ∴l＝6BC＝6OB＝6×4＝24(m)．

1在Rt△OMC中，∵∠MOC＝30°，∴MC＝2OC＝2 m．∴OM＝OC2－MC2＝23m. 11∴S△OBC＝2BC·OM＝2×4×23＝43(m2)．

∴S正六边形＝6S△OBC＝243≈41.6(m2)．

即地基的周长为24 m，面积约为41.6 m2.

教师活动：找学生板演以上问题的解题过程，然后，巡视了解学生的解题情况，对于学生的问题进行指导，板演学生完成之后，再找学生指出出板演学生存在的问题，然后，板演学生进行改正或其他学生帮他改正，最后教师强调解题过程中的问题，同时给予两位学生适当的评价。

师生归纳总结: 圆内接正多边形的辅助线的添加方法：1.连半径，得中心角；2.作边心距，构造直角三角形

变式:有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(保留小数点后一位)

四、检测反馈

落实新知

1.课前问题的解决

2.课件上的题

五、课堂小结

回顾新知

(1)正多边形定义及对称性

(2)正多形与圆的关系及相关计算．

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(3)正多边形计算的方法总结

六、课后作业

巩固新知

1.课件上剩下的题

2.习题24.3

1.2.3.5（必做）

8题（选做）

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