画树状图求概率名师课堂实录

第二十五章

概率初步

25.2 用列举法求概率

主编人：新疆石河子农八师144团中学高秀兰

教学目标：

知识与技能目标

: 学习用列表法、画树形图法计算概率，并通过比较概率大小作出合理的决策。

过程与方法目标: 经历实验、列表、统计、运算、设计等活动，学生在具体情境中分析事件，计算其发生的概率。渗透数形结合，分类讨论，由特殊到一般的思想，提高分析问题和解决问题的能力。

情感与态度目标：

通过丰富的数学活动，交流成功的经验，体验数学活动充满着探索和创造，体会数学的应用价值，培养积极思维的学习习惯。

教学重点：

运用列表法或树形图法计算事件的概率。

教学难点：

能根据不同情况选择恰当的方法进行列举，解决较复杂事件概率的计算问题。

教学过程：

一、复习引入

1.一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出1个球，共有几种可能的结果？

解：两种结果：白球、黄球

2.一个布袋中有两个白球和两个黄球，质地和大小无区别，每次摸出2个球，这样共有几种可能的结果？

解：三种结果：两白球、一白一黄两球、两黄球

3.甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正面，乙得1分；抛出其它结果，甲得1分.谁先累积到10分，谁就获胜.你认为

(填“甲”或“乙”)获胜的可能性更大

。

4.一个盒子里有四个除颜色外其余都相同的玻璃球，一个红色，一个绿色，两个白色，现随机从盒子里取出一个球，则取出白球的概率是

二、自学指导

自学：

阅读教材第136至139页

三、例题讲解

活动1：多媒体展示

1.例1教材：同时掷两个质地均匀的骰子，计算下列事件的概率：

(1) 两个骰子的点数相同；

(2) 两个骰子的点数的和是9；

(3) 至少有一个骰子的点数为2。

讨论：(1)上述问题中一次试验涉及到几个因素?你是用什么方法不重复不遗漏地列出了所有可能的结果，从而解决了上述问题？

(2)能找到一种将所有可能的结果不重不漏地列举出来的方法吗？(介绍列表法求概率). (3)如果把上例中的“同时掷两个骰子”改为“把一个骰子掷两次”，所得到的结果有变化吗？ 这里涉及两个骰子，实质都是涉及两个因素。于是，学生通过类比列出下列表。

第2个

第1个

1 2 3 4 5 6 1 （1，1）

（2，1）

（3，1）

（4，1）

（5，1）

（6，1）

2 （1，2）

（2，2）

（3，2）

（4，2）

（5，2）

（6，2）

3 （1，3）

（2，3）

（3，3）

（4，3）

（5，3）

（6，3）

4 （1，4）

（2，4）

（3，4）

（4，4）

（5，4）

（6，4）

5 （1，5）

（2，5）

（3，5）

（4，5）

（5，5）

（6，5）

6 （1，6）

（2，6）

（3，6）

（4，6）

（5，6）

（6，6）

由上表可以看出，同时掷两个骰子，可能出现的结果有36个，它们出现的可能性相等。由所列表格可以发现：

61（1）满足两个骰子的点数相同（记为事件A）的结果有6个，即（1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（5，5），（6，6），所以P(A)==。

366

[满足条件的结果在表格的对角线上]

41（2）满足两个骰子的点数的和是9（记为事件B）的结果有4个，即（3，6），（4，5），（5，4），（6，3），所以P(B)==。

369[满足条件的结果在（3，6）和（6，3）所在的斜线上]

11（3）至少有一个骰子的点数为2（记为事件C）的结果有11个，所以P(C)=。

36[满足条件的结果在数字2所在行和2所在的列上]

接着，引导学生进行题后小结：

当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法。运用列表法求概率的步骤如下：

①列表

； m②计数：确定公式P(A)=中m和n的值；

nm③计算：P(A)=计算事件的概率。

n分析到这里，我会问学生：“例1题目中的“同时掷两个骰子”改为“把一枚骰子掷两次”，所得的结果有变化吗？”学生合作实验探究结果。

活动2：小结

我将引导学生讨论总结规律，要求每个学生在组内交流，派小组代表发言。

【设计意图】

通过这个环节，可以提高学生概括能力、表达能力，有助于学生全面地了解自己的学习过程，感受自己的成长与进步，增强自信，也为教师全面了解学生的学习状况、因材施教提供了重要依据。

【方法一点通】 列表法求概率的“三个步骤” （1）.列表:分清一次试验所涉及的两个因素,一个为行标,另一个为列标,制作表格. （2）.计数:通过表格中的数据,分别求出某事件发生的数量n与该试验的结果总数m. （3）.计算:代入公式P(A)= . 活动3：练习.

在毕业晚会上，同学们表演哪一类型的节目由自己摸球来决定.在一个不透明的口袋中，装有除标号外其它完全相同的A、B、C三个小球，表演节目前，先从袋中摸球一次（摸球后又放回袋中），如果摸到的是A球，则表演唱歌；如果摸到的是B球，则表演跳舞；如果摸到的是C球，则表演朗诵.若小明要表演两个节目，则他表演的节目不是同一类型的概率是多少？

分析到这里，我会问学生：“如果例1题目中的“掷两个骰子”改为“掷三个骰子”，还可以使用列表法来做吗？”由此引出下一个例题。

活动4：多媒体展示

例2：

甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C、D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I。从三个口袋中各随机地取出1个球。

（1）取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？

（2）取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？

例2与前面两题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到3个因素。此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树形图法。

本游戏可分三步进行。分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键。

A B 甲

乙

D E D E C C

H I H I H I H I H I H I

丙

A A A A A A B B B B B B

C C D D E E C C D D E E

H

I

H

I

H

I

H

I

H

I

H

I

从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：

5（1）只有一个元音字母的结果（黄色）有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P；

（一个元音）12有两个元音的结果（白色）有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P(两个元音)41；

123全部为元音字母的结果（绿色）只有1个，即AEI ，所以P(三个元音)1。

1221。

126（2）全是辅音字母的结果（红色）共有2个，即BCH，BDH，所以P(三个辅音)活动5：通过例2的解答，小组讨论总结规律，很容易得出题后小结：

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”。运用树形图法求概率的步骤如下：

四个步骤:（1）.定 （2）.画 （3）.数 （4）.算

活动6：多媒体展示练习.用树状图求事件的概率

（1）.甲口袋中装有两个相同的卡片,它们的标号分别为2和5,乙口袋中装有两个相同的卡片,它们的标号分别为4和9,丙口袋中装有三个相同的卡片,它们的标号分别为1,6,7.从甲、乙、丙3个口袋中各随机地取出1个卡片.若用取出的三个卡片的标号分别表示三条线段的长,求这些线段能构成三角形的概率. 2,4,1; 2,4,6; 2,4,7; 2,9,1; 2,9,6; 2,9,7; 5,4,1; 5,4,6; 5,4,7; 5,9,1; 5,9,6; 5,9,7 一共有12种情况,能够组成三角形的有4种情况.即能构成三角形的概率P= (两短边的和大于最长边).

（2）. 在三张卡片上分别写有4,5，6的整数，随机地抽取一张后放回，再随机的抽取一张，那么两张卡片的数字之和是3的倍数的概率是多少？

在这个环节里，首先要求学生分组讨论，探索交流。然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即：

【设计意图】

这样既分散了难点，又激发了学生兴趣，渗透了转化的数学思想。

四.课堂总结

接着我向学生提问：到现在为止，我们所学过的用列举法求概率分为哪几种情况？

列表法和画树形图法求概率有什么优越性？什么时候使用“列表法”方便，什么时候使用“树形图法”更好呢？ 用列表法和树形图法求概率时应注意什么情况？

【设计意图】

通过对上述问题的思考，可以加深学生对新方法的理解，更好的认识到列表法和画树形图法求概率的优越性在于能够直观、快捷、准确地获取所需信息，有利于学生根据实际情况选择正确的方法。

利用树形图或表格可以清晰地表示出某个事件发生的所有可能出现的结果，从而较方便地求出某些事件发生的概率.当试验包含两步时,列表法比较方便,当然,此时也可以用树形图法,当试验在三步或三步以上时,用树形图法方便. 五.当堂训练

版书设计

一. 列表法. 二.树形图

三个步骤：1.列表 2.计数 3.计算 四个步骤:1.定 2.画 3.数 4.算

A

甲

第

2个

1 2 3 4 5 6

乙

第1C D E C

个

丙

1 （1，1）

（1，2）

（1，3）

（1，4）

（1，5）

（1，6）

H I H I H I H I

2 （2，1）

（2，2）

（2，3）

（2，4）

（2，5）

（2，6）

B D E H I H I 3 （3，1）

（3，2）

（3，3）

（3，4）

（3，5）

（3，6）

4 （4，1）

（4，2）

（4，3）

（4，4）

（4，5）

（4，6）

5 （5，1）

（5，2）

（5，3）

（5，4）

（5，5）

（5，6）

6 （6，1）

（6，2）

（6，3）

（6，4）

（6，5）

（6，6）

A A A C C D H

I

H

A A A D E E I

H

I

B B B C C D H

I

H

B B B D E E I

H

I