阅读与思考 推测滑行距离与滑行时间的关系名师教学设计2

实际问题与二次函数（最大利润问题）

黄逸祥

教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值

教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值

一、复习回顾

1．复习二次函数y＝ax2+bx+c的相关性质：顶点坐标、对称轴、最值等。

(1). 二次函数y=2(x-3)2+5的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，y的最 值,是 。

(2). 二次函数y=-3(x+4)2-1的对称轴是 ，顶点坐标是 。当x= 时，函数有最 值，是 。

(3).二次函数y=2x2-8x+9的对称轴是 ，顶点坐标是 .当x= 时，函数有最 值，是 。

2．复习这节课所要用的其他相关知识：利润=售价－进价，总利润=每件利润×销售额

二、创设问题情境，引入新课

活动内容：（有关利润的问题）

某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映，如果调整价格，每涨价1元，每星期少卖10件，每降价1元。每星期多卖20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能获得最大利润？

思考：

（1）

题目中有几种调整价格的方法？

（2）

题目涉及哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？哪个量是函数？

（3）

当每件涨

1 元时，售价是多少？

每星期销量是多少？

成本是多少？销售额是多少？利润呢？

（4）

最多能涨多少钱呢？

讨论涨价与降价都有可能获得最大利润吗？需要分类讨论吗？

1、涨价情况下最大利润是多少？

想一想：若每件涨价x元则此商品

(1)每件利润为

元；

(2)每星期销售额可以表示为

；

(3)所获利润可以表示为

；

(4)当销售单价是

元时，可以获得最大利润，最大利润是

。

设每星期所获利润为y元，

则y=（60-40+x ）(300-10x)=-10x2+100x+6000=-10(x-5)2+6250。

当x=5时y的最大值是6250

即当

在涨价情况下，涨价5元，定价65元时，每星期所获利润最大，最大利润是6250元。

2、我们用类似的方法进行分析：

在降价情况下，最大利润是多少？请你参考上述的讨论，自己得出答案．

设每件降价x元，所获利润为y元？

三、课堂练习

1、某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，

可卖出（100-x）件，应如何定价才能使利润最大？

2、某超市销售一种牛奶，进价为每箱24元，规定售价不低于进价．现在的售价为每箱36元，每月可销售60箱．市场调查发现：若这种牛奶的售价每降价1元，则每月的销量将增加10箱，设每箱牛奶降价x元(x为正整数)，每月的销量为y箱．

(1)写出y与x之间的函数关系式和自变量x的取值范围；

(2)超市如何定价，才能使每月销售牛奶的利润最大？最大利润是多少元？

解：(1)y＝10x＋60(1≤x≤12，且x为整数)．

(2)设每月销售利润为w元．根据题意，得

w＝(36－x－24)(10x＋60)，

整理，得w＝－10x2＋60x＋720＝－10(x－3)2＋810. ∵－10＜0，且1≤x≤12，

∴当x＝3时，w有最大值，最大值是810. ∴36－3＝33. 答：当定价为33元/箱时，每月销售牛奶的利润最大，最大利润是810元．

四、课堂小结

本节课经历了探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会了二次函数是一类最优化问题的数学模型，并感受了数学的应用价值。

学会了分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题中的最大(小)值，提高解决问题的能力。

本节所学思想方法：建立函数关系，用函数的观点、思想分析实际问题。

五、课后作业

教科书习题

22.3

第

2，8 题．

教学反思

本节课的教学目标是：继续经历利用二次函数解决实际问题的最值问题；会运用二次函数和其他数学知识解决有关商品利润的函数最值问题；培养运用数学解决问题的能力，体会数学与生活的密切联系和数学的运用价值。首先是复习了二次函数和商品利润的相关知识，使学生加深对二次函数最值问题的理解，然后引导学生利用二次函数求最值问题应该注意的事项。1、根据实际问题求出函数解析式，求出自变量取值范围；2、把解析式化为顶点式（配方法）或利用公式来求出函数的顶点坐标；3、检查顶点的横坐标是否在自变量的取值范围。引导学生思考，你认为商家要追求最大利润，销售价值是定得越低越好还是高越好？让学生再次体会数学与生活的密切联系和数学的运用价值。