试卷分析教学设计及课堂实录

教学课题: 21.4 一元二次方程复习（三）

----- 实际问题与一元二次方程

教学目标: 1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理；

2．通过各类实际问题，学会将应用问题转化为数学问题，运用方程思想解决问题，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型；通过复习培养学生构建知识框架能力和建模思想，

3．列一元二次方程解有关文图体会数学的应用价值。

教学重点:能根据不同的实际问题列出一元二次方程的特点，选用恰当的方法求解，使解题过程简单合理。掌握列方程解实际间题的一般步骤

教学难点:根据具体问题的数量关系并列出一元二次方程并解决问题

教学过程: 一、备学检查：

1.解一元二次方程的方法有哪些？（开平方法、配方法、公式法、因式分解法）2.列方程解应用题的一般步骤：（审、设、列、解、验、答）

二、设学导问：

练习1.能否快速解下列方程：

1（1）(3x＋2)2＝25

（2）

3(x＋1)2＝

（3）x（x-1）=90

31（4）

x(x－1)=36 (5) (2－x)2－9＝0 (6) x2+3x-10＝0 2（7）4(3x－1)2－9(3x＋1)2＝0. 三、互学展示：

类型1

利用一元二次方程解决循环问题

例1.在李老师所教的班级中，两个学生都握手一次，全班学生一共握手780次，那么你知道李老师所教班共有多少名学生吗？

【思路点拨】设李老师所教班共有x名学生，每个人都要和其他(x－1)个人握手1一次，共握手x(x－1)次，但每两个人握手一次，则全班学生一共握手x(x－1)次．

21【解答】

设李老师所教班共有x名学生，依题意有x(x－1)＝780，

2即(x－40)(x＋39)＝0，

解得x＝40或x＝－39(舍去)．

答：李老师所教班共有40名学生．

【跟踪训练】

某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？

【方法归纳】

单循环: x(x－1)=总场数 双循环：x(x－1)=总场数

类型2

利用一元二次方程解决增长(降低)率问题

例2.受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2016年利润为2亿元，2018年利润为2.88亿元．

(1)求该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率；

(2)若2019年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2019年的利润能否超过3.4亿元？

【思路点拨】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x，则可用含x的代数式表示出2018年的利润，从而根据题意列出方程求解；(2)根据该企业从2016年到2018年利润的年平均增长率来解答．

【解答】(1)设这两年该企业年利润平均增长率为x.根据题意，

得：2(1＋x)2＝2.88. 解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．

答：这两年该企业年利润平均增长率为20%. (2)如果2019年仍保持相同的年平均增长率，那么2019年该企业年利润为：

2．88(1＋20%)＝3.456，3.456＞3.4. 答：该企业2019年的利润能超过3.4亿元．

【跟踪训练】经过两次连续降价，某药品销售单价由原来的50元降到32元，设该药品平均每次降价的百分率为x，根据题意可列方程是

12【方法归纳】

平均增长(降低)率问题规律：

平均增长率（下降率）是指增长（下降）数与基数的比。

若基数为a，平均增长率（下降率）为x，则一次增长后的值为a(1±x)，两次增长后的值为a(1±x)2.

类型3

利用一元二次方程解决销售利润问题

例3.百货大楼服装柜在销售中发现：某品牌童装每件成本60元，现以每件100元销售，平均每天可售出20件。为了迎接“五·一”劳动节，商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存。经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多销售2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，请你帮商场算一算，每件童装应定价多少元？

【思路点拨】

设每件童装应降价x元，则可分别用含有x的代数式表示出每件衣服的销售利润及平均每天的销售量，再根据等量关系“每件的销售利润×销售量＝1 200”列出方程求解即可．

【解答】

设每件童装应降价x元．由题意，得

(100－60－x)(20＋2x)＝1 200. 解得x1＝10，x2＝20. ∵商场决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存，∴x＝20. ∴每件童装应定价为100－20＝80(元)．

答：每件童装应定价80元．

【跟踪训练】1. 某学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，请问该校共购买了多少棵树苗？

【方法归纳】

销售利润问题中常见的公式：总利润＝单利润×数量

其中：①单利润＝单售价－单成本；

②数量=原数量±增加（或减少）的数量；

类型4

利用一元二次方程解决面积问题

例4.如图，学校课外生物小组的实验园地是长为32米、宽为20米的矩形，为便于管理，现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，使种植面积为504平方米，求小道的宽．

【思路点拨】

将图中纵向的两条路全部平移到图形的左边，横向的小路平移到图形的上方，则原图可以变换成如图所示的形状，种植面积和图中阴影矩形的面积相等．设小道的宽为x，则阴影矩形的长、宽分别可以用含x的代数式表示出来．根据矩形的面积公式就可以列出方程，解方程即可．

【解答】

设小道的宽为x米，依题意，得(32－2x)(20－x)＝504. 整理，得x2－36x＋68＝0，即(x－2)(x－34)＝0. 解得x1＝2，x2＝34(舍)．

答：小道的宽为2米．

【跟踪训练】如图，要设计一幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有两横两竖的彩条(图中阴影部分)，横、竖彩条的宽度比为3∶2，如果要使彩条所占面积是图案面积的四分

之一，应如何设计彩条的宽度．(列方程即可) 【方法归纳】

这类问题，通常采用平移的方法，使剩余部分为一完整矩形．

四、帮学提升

1．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( ) A．1 000(1＋x)2＝1 000＋440 B．1 000(1＋x)2＝440 C．440(1＋x)2＝1 000 D．1 000(1＋2x)＝1 000＋440 2．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，则每轮传染中，平均一个人传染的人数为( ) A．11人 B．10人 C．9人 D．8人

3．公园有一块正形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长．设原正方形的空地的边长为x m，则可列方程为( ) A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0 C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝0 4．随着国家“惠民政策”的陆续出台，为了切实让老百姓得到实惠，国家卫计委通过严打药品销售环节中的不正当行为，某种药品原价200元/瓶，经过连续两次降价后，现在仅卖98元/瓶，现假定两次降价的百分率相同，求该种药品平均每次降价的百分率．

5．某人用手机发短信，获得信息人也按他的发送人数发送该条短信，经过两轮短信的发送，共有90人手机上获得同一条信息，则每轮发送短信中，平均一个人向多少个人发送短信？

6．如图，一块长方形铁皮的长是宽的2倍，四个角各截去一个正方形，制成高是5 cm，容积是500 cm3的无盖长方体容器，求这块铁皮的长和宽．

五、悟学畅谈

1.列一元二次方程解应用题的一般步骤.

2.

学习几类实际问题、各有什么总结点，

（1）循环问题：

1

①单循环: x(x－1)=总场数 ② 双循环：x(x－1)=总场数

2（2）增长率问题：平均增长率公式：a(1±x)2＝b，

其中a是增长(或降低)的基础量，b是变化后的量，2是增长(或降低)的次数．

（3）销售利润问题中常见的公式：总利润＝单利润×数量

其中：①单利润＝单售价－单成本；

②数量=原数量±增加（或减少）的数量；

（4）图形问题：通常要先画出图形，利用图形的面积找相等关系列方程

作业布置：（详见导学案）

必做题: 选做题：

板书设计：

21.4 一元二次方程复习（三）

----- 实际问题与一元二次方程

类型1

循环问题

单循环: 12x(x－1)=总场数

双循环：x(x－1)=总场数

类型2

连续率问题

a(1±x)2 =b

类型3

销售利润问题

总利润＝单利润×数量

其中：①单利润＝单售价－单成本；

②数量=原数量±增加（或减少）的数量；

类型4 解决面积问题