1.2.1 充要条件优质教案设计

充要条件

一、知识与技能

1．理解并掌握充分条件、必要条件、充要条件的概念；

2．使学生正确理解充分条件、必要条件和充要条件三个概念，并能在判断、论证中正确运用．

二、过程与方法[来源:学#科#网]

通过师生、学生间的交流中增强逻辑思维活动，为用等价转化思想解决数学问题打下良好的逻辑基础。

三、情感态度与价值观

[来源:Zxxk.Com]初步形成运用逻辑知识准确地表述问题的数学意识。充分不必要条件、必要不充分条件的概念.

理解充分条件、必要条件的判断方法．

启发引导，分析讲解，练习领会。

复习

引入

【师】昨天，我们学习了充分条件、必要条件、充要条件的概念和判断。谁能说一说什么叫充分条件、必要条件和充要条件的概念吗？

【生】略

【师】判断充要条件的方法具体有哪三种？

【生】①定义法；②命题法；③集合法；

【学生活动】填空，并说明理由：

⒈“a和b都是偶数”是“ab也是偶数”的

充分

条件；

⒉“四边相等”是“四边形是正方形”的

必要

条件；

⒊“x3”是“x3”的

充分

条件；

⒋“x1”是“x210”的

充分

条件；

⒌“两个角是对顶角”是“这两个角相等”的

充分

条件；

⒍“至少有一组对应边相等”是“两个三角形全等”的必要条件；

⒎对于一元二次方程ax2bxc0（abc0）来说，“b24ac0”是“这个方程有两个正根”的

必要

条件；

⒏“a2,b3”是“ab5”的

充分

条件；

⒐“个位数字是5的自然数”是“这个自然数能被5整除”的充分

条件

【师】当我们要证明p是q的充分条件、必要条件、充要条件时，我们该怎样

去做呢？点题，板书课题。

【例5】求关于x的一元二次不等式ax21ax于一切实数x都成立的充要条件。

分析：求一个问题的充要条件，就是把这个问题进行等价转化

a0解：由题可知等价于a0或a0a0或0a40a4

0【例6】求证实系数一元二次方程x2pxq0有两个异号根的充要条件是q0.。

分析：首先要区分清楚“必要性”、“充分性”各应证明的命题，分清这里的条件和结论各是什么。

证明：（1）充分性: ∵q0

新

课

学

习

来源学科网Z,X,X,K]∴方程xpxq0的p4q0

∴方程x2pxq0有两个不相等的实根，设其为x1，x2

∵x1x2q0

∴方程xpxq0有两个异号实根

（2）必要性

∵方程x2pxq0有两个异号实根，设其为x1，x2

∴x1x20 ∵x1x2q ∴q0

由（1）（2）原命题得证。

说明：注意，证明充分必要条件，实际上需要证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明：(1)原命题和否命题都成立；

(2)逆否命题和逆命题都成立；(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想，就能使思路更广阔，方法更灵活，复杂问题简单化. 【例7】证明：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

分析：要证明必要不充分条件，就是要证明两个，一个是必要条件，另一个是不充分条件

222

证明：必要性：对于x、yR，如果x2y20

则x0，y0

即xy0

故xy0是x2y20的必要条件

不充分性：对于x、yR，如果xy0，如x0，y1，此时x2y20

故xy0是x2y20的不充分条件

综上所述：对于x、yR，xy0是x2y20的必要不充分条件．

练习

反馈

【学生板演】

1．已知ab0，求证：ab1的充要条件是：a3b3aba2b20．

证明：充分性

∵ab0

13∴aabbabb20

24222又∵a3b3aba2b20ab1a2abb20

∴ab1

必要性

∵ab1

∴a3b3aba2b2ab1a2abb20

综上所述，ab0，ab1的充要条件是a3b3aba2b20

2．证明：在ABC中，AB的充要条件是sinAsinB。

证明：充分性，

∵sinAsinB

∴2RsinA2RsinB即ab，AB

必要性，

∵AB

∴ab即2RsinA2RsinB亦即sinAsinB

综上所述，在ABC中，AB的充要条件是sinAsinB。

来源学|科|网Z|X|

课堂

充要条件的证明必须是双向的。

小结

作业

布置

习题

调配

课本第12页习题1.1B组第1、2题

学生作课本第12页习题1.2A组第4题；“精讲精练”例3及变式训练3，巩固训练53页第7题