1.2.1 充分条件与必要条件教学设计及说课稿

选修1-1 1．2充分条件与必要条件

一、教学目标

【核心素养】

培养逻辑推理的能力，形成基本的数学逻辑思维．

【学习目标】

（1）正确理解充分条件、必要条件、充要条件三个概念．

（2）能利用充分条件、必要条件、充要条件三个概念，熟练判断四种命题间的关系．

（3）在理解定义的基础上，可以自觉地对定义进行转化，转化成推理关系及集合的包含关系．

【学习重点】

充分条件、必要条件的概念．

【学习难点】

充分条件、必要条件的判断．

二、教学设计

（一）课前设计

1．预习任务

任务1：预习教材P9—P10，思考充分条件与必要条件的内容是什么？

任务2：思考什么是必要条件

2．预习自测

1．已知p:，q:coscos，则p是q的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：B /q，qp，∴p是q的必要不充分条件，故选B．

解析：显然有p考点：判断命题的必要不充分条件．

2．设xR，则x2的一个必要不充分条件是（

）

A．x1

B．x1

C．x3

D．x3

答案：A /x2．故选A．

解析：x2x1，x122x,yRy2xy4”的（

）

x23．设，则“且”是“A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案：A 22xy4表示以原点为圆心，以2为半径的圆以及圆外的区域，则x2且y2不一解析：22y2xy4，故选A．

x2定成立，而且时，（二）课堂设计

1．知识回顾

在上一节的“若p，则q“形式的命题中，能否分析下原命题、逆命题、逆否命题真假的不同情形下，命题p分别是命题q的什么条件？

2．问题探究

问题探究一

充分条件与必要条件

阅读与思考：

p：鱼缸里的鱼能存活

q：鱼缸里有水

1、说出“若p，则q”与“若q，则p”形式的命题；

2、判断真假．

想一想：那么，这在数学中是一层什么样的关系呢？今天我们就来学习这个有意义的课题——充分条件与必要条件．

探究：请大家根据以上结论，思考什么叫做充分条件与必要条件？

1．推断符号“⇒错误！未找到引用源。”的含义：

一般地，如果“若p则q”为真，

即如果p错误！未找到引用源。成立，那么q错误！未找到

引用源。一定成立，记作：p

q

如果“若p，则q错误！未找到引用源。”为假，

即如果p错误！未找到引用源。成立，那么q不一定成立，记作：p

q

2．充分条件与必要条件

一般地，如果p⇒q错误！未找到引用源。，那么称p是q的

条件；同时称q是p的

条件．

问题探究二

充要条件

思考：指出下列命题中，p是q的什么条件，q是p的什么条件：

p：x=0，y=0，q：x2+y2=0．

∵x=0，y=0⇒x2+y2=0，∴p是q的

条件；

又x2+y2=0⇒x=0，y=0，∴q是p的

条件．

在问题中，p既是q的充分条件，p又是q的必要条件，此时，我们统说，p是q的

条件，简称

条件．

1．相关的概念

如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q．我们就说，p和q互为充要条件．

说明：符号“⇔”叫做等价符号．“p⇔q”表示“p⇒q且p⇐q”；也表示“p等价于q”．

1.

充要条件的判断方法

由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程，可确定命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类：

(1) p⇒q，而q⇒p

，则p是q的

条件．

(2) p⇏q，而q⇒p ，则p是q的

条件．

(3)p⇒q，又有q⇒p或(p⇔q)，则p是q的

条件．

(4) p⇏q，又有q⇏p，则p是q的

条件．

四种“条件”的情况反映了命题的条件与结论之间的因果关系，所以在判断时应该：

⑴确定条件是什么，结论是什么

⑵尝试从条件推出结论，从结论推出条件

⑶确定条件是结论的什么条件

⑷充要性包含：充分性p⇒q，必要性q⇒p这两个方面，缺一不可

3．课堂总结

【知识梳理】

①如果已知p⇒q，则称p是q的充分条件，而q是p的必要条件．

②如果既有p⇒q，又有q⇒q，即p⇔q，则称p是q的充要条件．

【重难点突破】

借助“子集概念”理解充分条件与必要条件．设A，B错误！未找到引用源。为两个集合，集合A⊆B是指x⋲A⇒x⋲B错误！未找到引用源。．这就是说，“x⋲A错误！未找到引用源。”是“x⋲B错误！未找到引用源。”的充分条件，“x⋲B错误！未找到引用源。”是“x⋲A”的必要条件．对于真命题“若p则q”，即p⇒q，若把p看做集合A，把q看做集合B，“错误！未找到引用源。”相当于“A⊆B”．

4．随堂检测

1．若p是q的充分条件，则q是p的（

）

A．充分条件

B．必要条件

C．既不是充分条件也不是必要条件

D．既是充分条件又是必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B

解析：因为p是q的充分条件，所以pq，所以q是p的必要条件．

2．下列命题中，p是q的充分条件的是（

）

A．p：a=0，q：ab=0 B．p：a2+b2≥0，q：a≥0且b≥0

C．p：x2>1，q：x>1 D．p：a>b，q：ab

【知识点：充分必要条件】

答案：A

解析：根据充分条件的概念逐一判断．

3．若“x1”是“xa”的充分条件，则a的取值范围是________．

【知识点：充分必要条件】

解：a1

因为x1xa，所以a1．

4．“x22x”是“x0”的________条件，“x0”是“x22x”的________条件(用“充分”“必要”

填空)．

【知识点：充分必要条件】

答案：必要；充分

解析：由于x0x22x，所以“x22x”是“x0”的必要条件，“x0”是“x22x”的充分条件．

5．已知命题p：α=β;命题q：tanα=tanβ，问p是q的什么条件? 【知识点：充分必要条件】

解：当2时，显然tan与tan无意义，即p⇏q，故p不是q的充分条件; 又α=错误！未找到引用源。，β=错误！未找到引用源。时，tanα=tanβ，所以q⇏p，所以p不是q的必要条件，综上，p既不是q的充分条件，也不是必要条件．

（三）课后作业

★基础型

自主突破

1．“x2”是“(x1)(x2)0”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：A

2．在ABC中，p:ab,q:BACABC，则p是q的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．非充分非必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：C

3．“p或q是假命题”是“非p为真命题”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：A 4．若非空集合MN，则“aM或aN”是“aMIN”的（

）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B 5．“|x|＝|y|”是“x＝y”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B

解析：因xyxy或xy，但xyxy．

6．已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“AÍB”的（ ）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：A 解析：当a3时，A{1,3}，AB；反之，当AB时，a2或3，所以“a3”是“AB”的充分而不必要条件，选A．

7．在数列{an}中，“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B 解析：若“{an}是公比为2的等比数列，则当n≥2时，an＝2an－1成立．

当an＝0，n＝1，2，3，4，…时满足an＝2an－1，n＝2，3，4，但此时{an}不是等比数列，

∴“an＝2an－1，n＝2，3，4，…”是“{an}是公比为2的等比数列”的必要不充分条件．

8．设p：|x|＞1，q：x＜－2或x＞1，则p是q的（ ）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B．

★★能力型

师生共研

9．在下列三个结论中，正确的有（ ）

①x2＞4是x3＜－8的必要不充分条件；

②在△ABC中，AB2＋AC2＝BC2是△ABC为直角三角形的充要条件；

③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为0”的充要条件．

A．①②

B．②③

C．①③

D．①②③

【知识点：充分必要条件】

答案：C 解析：对于结论①，由x3＜－8⇒x＜－2⇒x2＞4，但是x2＞4⇒x＞2或x＜－2⇒x3＞8或x3＜－8，不一定有x3＜－8，故①正确；对于结论②，当B＝90°或C＝90°时不能推出AB2＋AC2＝BC2，故②错；对于结论③，由a2＋b2≠0⇒a，b不全为0，反之，由a，b不全为0⇒a2＋b2≠0，故③正确．

10．如果命题“若A，则B”的否命题是真命题，而它的逆否命题是假命题，则A是B的________

条件．

【知识点：充分必要条件】

答案：必要不充分

解析：因为逆否命题为假，所以原命题为假，即A即B⇒A，所以A是B的必要不充分条件．

11．下列不等式：

①x＜1；②0＜x＜1；③－1＜x＜0；④－1＜x＜1．其中，可以为x2＜1的一个充分条件的所有序号为________．

【知识点：充分必要条件】

答案：②③④

12．“lg x>lg y”是“x>y”的__________条件．

答案：充分不必要

解析：【知识点：充分必要条件】

由lg x>lg y⇒x>y>0⇒x>y．而x>y有可能出现x>0，y＝0的情况，故x>y13．下列命题中，判断条件p是条件q的什么条件．

(1)p：f(x)是周期函数，q：f(x)是正弦函数；

(2)p：△ABC是直角三角形，q：△ABC是等腰三角形；

(3)p：四边形是矩形，q：四边形的对角线互相平分；

(4)p：圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，q：c2＝(a2＋b2)r2．

答案：见解析

解析：【知识点：充分必要条件】

(1)∵f(x)是周期函数要不充分条件．

(2)∵△ABC是直角三角形△ABC是等腰三角形，△ABC是等腰三角形△ABC是直角三f(x)是正弦函数，但由f(x)是正弦函数⇒f(x)是周期函数，∴p是q的必lg x>lg y．

B．又因否命题为真，所以逆命题为真，角形，∴p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件．

(3)∵四边形是矩形⇒四边形的对角线互相平分，四边形的对角线互相平分∴p是q的充分不必要条件．

(4)若圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0相切，则圆心到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即r＝|c||c|2222222222，∴c＝(a＋b)r；反过来，若c＝(a＋b)r，则2222＝r成立，说明x＋ya＋ba＋b四边形是矩形，＝r2的圆心(0，0)到直线ax＋by＋c＝0的距离等于r，即圆x2＋y2＝r2与直线ax＋by＋c＝0

相切，故p是q的充要条件．

14．已知P＝{x|a－4＜x＜a＋4}，Q＝{x|x2－4x＋3＜0}，若x∈P是x∈Q的必要条件，求实数a的取值范围．

【知识点：充分必要条件；数学思想：

转化与化归】

解：由题意知，Q＝{x|1＜x＜3}，∵x∈P是x∈Q的必要条件，即QÍP，

a－4≤1，∴解得-1≤a≤5．∴实数a的取值范围是[－1，5]．

a＋4≥3，x＋2≥0，15．已知命题p：命题q：1－m≤x≤1＋m，m＞0．若p是q的必要而不充分x－10≤0，条件，求实数m的取值范围．

【知识点：充分必要条件；数学思想：

转化与化归】

1m2解：“p是q的必要而不充分条件”“p是q的充分而不必要条件”．由题意得：，1m10解得

m≥9．

16．求方程ax2(2a3)x1a0有一个正根和一个负根的充要条件．

【知识点：一元二次方程，充分必要条件；数学思想：转化与化归】

解：a0或a1

★★★探究型

多维突破

17．已知p：x2－x＜0，那么命题p的一个必要非充分条件是（ ）

A．0＜x＜1 B．－1＜x＜1 12C．2＜x＜3

1D．2＜x＜2 【知识点：充分必要条件】

答案：B

解析：x2－x＜0⇔0＜x＜1，运用集合的知识易知．

A中0＜x＜1是p的充要条件；B中－1＜x＜1是p的必要条件；

121C中2＜x＜3是p的充分条件；D中2＜x＜2是p的既不充分也不必要条件．应选B．

18．不等式(a＋x)(1＋x)＜0成立的一个充分而不必要条件是－2＜x＜－1，则a的取值范围是

________．

【知识点充分必要条件】

答案：(2，＋∞)

解析：根据充分条件，必要条件与集合间的包含关系，应有{(－2，－1)}⊊{x|(a＋x)(1＋x)＜0}，故有a＞2．

19．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实数根的充要条件．

【知识点：一元二次方程，充分必要条件】

1解：当a＝0时，x＝－2符合题意．

当a≠0时，令f(x)＝ax2＋2x＋1，由于f(0)＝1＞0，当a＞0时，若Δ＝4－4a≥0，

则a≤1，即0＜a≤1．当a＜0时，∵f(0)＝1，Δ＝4－4a＞0恒成立，

∴方程恒有负实数根．综上所述，a≤1为所求．

3320．已知集合A＝{y|y＝x2－2x＋1，x∈[4，2]}，B＝{x|x＋m2≥1}．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，求实数m的取值范围．

【知识点：一元二次方程，充分必要条件】

337解：y＝x2－2x＋1＝(x－4)2＋16，

377因为x∈[4，2]，所以16≤y≤2．所以A＝{y|16≤y≤2}．

由x＋m2≥1，得x≥1－m2，所以B＝{x|x≥1－m2}，

733因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以A⊆B，所以1－m2≤16，解得m≥4或m≤－4，

33故实数m的取值范围是(－∞，－4]∪[4，＋∞)．

（四）自助餐

1．对任意的实数a,b,c，下列命题是真命题的是（

）

A．“acbc”是“ab”的必要条件

B．“acbc”是“ab”的必要条件

C．“acbc”是“ab”的充分条件

D．“acbc”是“ab”的必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B

2．若条件p:x14，条件q:2x3，则q是p的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

C．非充分非必要条件

【知识点：四种命题、充分必要条件】

答案：B

3．若非空集合A,B,C满足ABC，且B不是A的子集，则（

A．“xC”是“xA”的充分条件但不是必要条件

B．“xC”是“xA”的必要条件但不是充分条件

C．“xC”是“xA”的充要条件

D．“xC”既不是“xA”的充分条件也不是“xA”必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B

4．对于实数x,y，满足p:xy3,q:x2或y1，则p是q的（A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：A

5．“4k0”是“函数yx2kxk的值恒为正值”的（

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：一元二次方程、充分必要条件】

答案：C

6．已知条件p:t2，条件q:t24，则p是q的（

）

）

）

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【知识点：充分必要条件】

答案：B

7．已知p是r的充分条件而不是必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现有下列命题：①s是q的充要条件；②p是q的充分条件而不是必要条件；③r是q的必要条件而不是充分条件；④p是s的必要条件而不是充分条件；⑤r是s的充分条件而不是必要条件，则正确命题序号是（

）

A．①③④

B．②③④

C．①②③

D．①②④

【知识点：充分必要条件】

答案：D

8．条件“p:x1，条件q:x2，则p是q的

条件．

【知识点：充分必要条件】

答案：充分而不必要

9．在下列四个结论中，正确的是__________．(填上你认为正确的所有答案的序号) ①“x≠0”是“x＋|x|>0”的必要不充分条件；

②已知a，b∈R，则“|a＋b|＝|a|＋|b|”的充要条件是ab>0；

③“Δ＝b2－4ac0”是“一元二次方程ax2＋bx＋c=0无实根”的充要条件；

④“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．

【知识点：充分必要条件】

答案：①③

10．指出下列各组命题中，p是q的什么条件（充分而不必要条件、必要而不充分条

件、充分条件、既不充分也不必要条件）．

（1）p:ABC有两个角相等；q:ABC是正三角形；

（2）p：f(x)1，q：y＝f(x)是偶函数；

f(x)【知识点：充分必要条件】

答案：（1）p是q的必要不充分条件；（2）p是q的充分不必要条件．

11．已知集合P{x|x12}，S{x|x2(a1)xa0}．若“x∈P”的充要条件是“x∈S”，

求a的值．

【知识点：不等式，一元二次方程，充分必要条件】

解：由x12得1x3，故方程x2(a1)xa0就是1和3，所以a3，此时集合S即S{x|x22x30}{x|1x3}，即a3．

12．（1）是否存在实数m，使得2xm0是(x3)(x1)0的充分条件？

（2）是否存在实数m，使得2xm0是(x3)(x1)0的必要条件？

【知识点：不等式，分必要条件】

解：（1）(x3)(x1)0即x1或x3；2xm0即为xm．由题意得：m2；

2（2）不存在实数m时，使2xm0是x22x30的必要条件．

数学视野

中国古代思想家、哲学家、数学家、逻辑学家、战略家墨子在经上说：“故，小故，有之不必然，无之必不然．体也，若有端．大故，有之（必）无（不）然．若见之成见也”．

译文：原理，小原理，有它不一定产生某种结果，没有它定不会产生某种结果，它是整体的一部分，就好比线上的点．大原理，有它必定产生某种结果，没有它必定不会产生某种结果．好比看到的物体而产生视觉．

所谓“故”，就指“物之所以然”．就事物来说，“故”是形成事物变化发展的原因或者道理．“小故”指小原因或者小道理，是事物发展过程中的一个或者部分原因，也可能是一个或者部分道理．这些小原因或者小道理不能成为决定事物发展过程的决定性因素，它们成立时不一定会有结果，而不成立时肯定不会有结果．众多的小原因或者小道理组成了事物完整的大原因或者大道理．所以“大故”可以说是所有“小故”的总合，这样“大故”是事物发展过程的全部原因或者全部道理．因此，“大故”就是成功率为100%的条件，当然“大故”成立时肯定会有结果