3.1.3 导数的几何意义教学评价实录

导数的几何意义

一．作业讲评，学生自由陈述讨论：

问题：1．导数f/(x0)的本质是什么？

2．在高台跳水运动中，t秒(s)时运动员相对于水面的高度是，求运动员在t1s时的瞬时速度，并h(t)4.9t26.5t10（单位：m）解释此时的运动状态。

3．圆面积S是半径r的函数Sr2，求圆在r1时的面积瞬时变化率，并解释此时圆面积的瞬时变化规律。

4．球体积V是半径r的函数Vr3，问：球在r1时的体积瞬时变化率，并解释此时球体积的瞬时变化规律。

解析：

1．导数f/(x0)的本质是函数f(x)在xx0处的瞬时变化率，即：

f/43x0limx0fx0xf(x0)

x

2.h/(1)limh(1t)h(1)t0t4.9(t1)26.5(t1)104.9126.5110limt0tlim4.9t3.33.3，所以h/(1)3.3。

t04.9t23.3tlimt0t运动员在t1s时的瞬时速度为h/(1)3.3。这说明运动员在1s附近，正以大约3.3m/s的速率下落。

r22rS(1r)S(1)1r12limlimlim

3．

S(1)＝

r0r0r0rrr2/

1

limr22，所以S/(1)2。这说明圆在r1的附近，面积r0正以大约2的瞬时变化率增大。（思考，动画）

41r413V(1r)V(1)33V/(1)limlimr0r0rr34.4(r33r23r)4lim(r23r3)=4，所以V/(1)4。

lim3r03r0r这说明球在r1的附近，体积正以大约4的瞬时变化率增大。（思考，动画）

二．（一）引入：函数的思想中，数形结合是一种重要而且直观的数学思想方法。我们已经学习了导数的本质及其物理意义或者实际意义，我们不禁要问：导数的几何意义是什么？例如：上述的三个问题中，h/(1)3.3,S/(1)2,V/(1)4的几何意义分别是什么？我们利用数形结合，画出函数的图像，看看通过函数的图像研究，能有什么新的体会。

（二）转化：为了使研究更具有操作性，我们抛开问题的实际背景，从研究更简单的函数入手，这也是数学研究的常用方法。

（三）问题与探索：求函数f(x)x2在x0.2处的导数f/(0.2)，说说它的本质，并用数形结合的方法，探索f/(0.2)的几何意义。

f0.2xf(0.2)0.2x0.22/limlim

f0.2

x0x0xx2x20.4xlim(x0.4)0.4。所以f/(0.2)0.4

limx0x0xf/(0.2)0.4的本质是函数f(x)x2在x0.2处的瞬时变化率是

2

0.4，即函数f(x)x2在x0.2的附近正以大约0.4的瞬时变化率增大。

画出函数f(x)x2的图像，从图像上的哪几个点开始研究？

y

B yx2

B1

Q A M P N O

x

lim联想：定义f/0.2x0f0.2xf(0.2)

x从点A(0.2,f(0.2)).点B(0.2x,f(0.2x))入手。那么点A(0.2,f(0.2)),点B(0.2x,f(0.2x))的几何意义是什么？请在图形中体现体现出来。f0.2xf(0.2)的几何意义是什么？请在图形中体x现体现出来。填表，讨论，发言，展示。

3

静态

静态

有关量

A(0.2,f(0.2))

几何意义

坐标

的几何

表示

坐标

的几何

表示

横坐标

的差

（自变量的增量）

纵坐标

的差

割线AB的

斜率

动态x0

0.2QA

f(0.2)MA

B(0.2x,f(0.2x))

0.2xQP

x

点BA

f(0.2x)NB

xQPQA

AP

x0

f(0.2x)f(0.2)

f(0.2x)f(0.2)

NBMA

NBNPPB

f0.2xf(0.2)

xPBtanBAP

AP

f0.2xf(0.2)f/0.2lim

x0x＝切线AD的斜率

f0.2xf(0.2)

x

动x0

态

割线AB（极限位置）即：切线AD

切线

AD的

斜率

（四）动画演示，阅读课本，小结：

1．

平均变化率f(0.2x)h(0.2)在趋向于某一时刻的变化过程x中，自变量的增量x越来越小，能越过任意小的间隔，但始终不能为0，不然，我们就得不到平均变化率的值；平均变化率在图形中的几何意义是割线AB的斜率。

２．当t趋近于0时，平均变化率f(0.2x)h(0.2)无限趋近于的常x4

数就是f/(0.2)

，从图形上看，当t趋近于0时，点B沿曲线趋近于点A，割线绕点A转动，它的极限位置为直线AD，这条直线叫做此曲线在点A处的切线。于是当t0时，割线AB的斜率趋近于过点A的切线的斜率，即：

f/0.2limx0f0.2xf(0.2)＝切线AD的斜率

x

还可以利用点斜式求出切线AD的方程：y0.040.4(x0.2)，即：（展示学生作品）

y0.4x0.04。（五）训练：分别在函数h(t)4.9t26.5t10，Sr2和Vr3的图像上，用图形来体现导数h/(1)3.3，S/(1)2，V/(1)4的几何意义，并用数学语言表述出来。（展示学生作品）

1h

43．ht4.9t26.5t10

O

t

5

2．

3 ．

V

S

43r3VSr2O

r

O

r

三．学生动手：

（一）在函数h(t)4.9t26.5t10的图像中，请描述，比较曲线h(t)在t00.67,t11,t23附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t30.2,t40.3附近呢？

（二）请估计曲线f(x)x2在x0.2,0,0.6,1的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。

x

函数的瞬时

变化率f(x)

/0.2,

0

0.6

1

6

反思，发现。

1．

导函数。

（探索作业求h/(t),S/(r)，V/(r)）

2．

单调性：在某个区间上，当f/(x)0,f(x)单调递增；当f/(x)0,f(x)单调递减。

3．

求出f/(x)，验证你的结论。

fxxf(x)xxx2fxlim＝

limx0x0xx2/x22xxlim(x2x)2x。验证：lim（1）数据；（2）单调性。

x0x0x思考：

1．如图表示人体血管中的药物浓度cf(t)（单位：mg/mL）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。有什么发现？

7

cmg/mL

O

tmin

t

药物浓度的

瞬时变化率

0.2

0.4

0.6

0.8

2．下图是利用信息技术画出的函数r(V)33V(0V5)的图像，请根4据图像，估计V0.6,1.2时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？

8

rr(V)33V0V54O

V

四．小结：

1．知识结构：

基本初等函数导数公式

平均速度

瞬时速度（物理意义）

及导数运算法则

平均变化率

瞬时变化率（导数本质）

导数

平均变化率

瞬时变化率（导数本质）

导数与函数单调性的关系

导数与极（最）值的关系

2．数学思想：运动变化的观点（以静态刻划动态），

数形结合（函数思想）

以直代曲（以近似求精确）（微积分思想方法）

作业：习题3.1A组第5,6题.B组第2,3题.

练习册（学习评价）：本节习题

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