1.2.1 充要条件优秀教案

1.2 充分条件与必要条件

1.充分与必要条件的判断

若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件

p是q的充分不必要条件

p是q的必要不充分条件

p是q的充要条件

p是q的既不充分也不必要条件

【思考辨析】

(1)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．( × ) (2)(2014·上海改编)设a，b∈R，则“a＋b>4”是“a>2且b>2”的充分条件．( × ) 3(3)若α∈(0,2π)，则“sin α＝－1”的充要条件是“α＝π”．( √ ) 2p⇒q且q⇒/ p p⇒/ q且q⇒p p⇔q p⇒/ q且q⇒/ p

1．(2014年高考浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(

A

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

2.（2015湖南文）

设xR，则“x1”是“x1”的（

C

）.

A . 充分不必要条件

B. 必要不充分条件

C. 充要条件

D. 既不充分也不必要条件

3.(2016·陕西西安一模)若f(x)是定义在R上的函数，则“f(0)＝0”是“函数f(x)为奇函数”的(

A

) A．必要不充分条件

B．充要条件

C．充分不必要条件

D．既不充分也不必要条件

【典例解析】

题型1.充分与必要条件的判别

例1.(1)(2016·四川)设p：实数x，y满足x>1且y>1，q：实数x，y满足x＋y>2，则p是q的(

A

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

(2)(2016·天津)设x>0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的(

C

) A．充要条件

B．充分而不必要条件

C．必要而不充分条件

D．既不充分也不必要条件

(3)．(2014·广东)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sinA≤sin B”的(

A

) A．充分必要条件

B．充分非必要条件

C．必要非充分条件

D．非充分非必要条件

(4).设x∈R，则“|x－2|<1”是“x2＋x－2>0”的(

A

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

【变式训练1】

1.(2015·安徽)设p：x<3，q：－1

C

) A．充分必要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

1 3

2.(2015·湖北)l1，l2表示空间中的两条直线，若p：l1，l2是异面直线；q：l1，l2不相交，则(

A

) A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件

B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件

C．p是q的充分必要条件

D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件

3.(2015·陕西)“sin α＝cos α”是“cos 2α＝0”的(

A．

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

4.(2015·天津)设x∈R，则“1

A

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

5.(2013·山东)给定两个命题p，q，若p是q的必要而不充分条件，则p是q的(

A

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：若p是q的必要不充分条件，则qp但p/q，其逆否命题为pq但q/p，

所以p是q的充分不必要条件.故选A.

1.在判断充分必要条件时注意小范围与大范围的关系

(1).确定条件是什么，结论是什么．

(2).由条件尝试推导结论，由结论尝试推导条件．

(3).“以小推大”即小范围推得大范围. 2.充分、必要条件的判断方法

(1).利用定义判断：直接判断“若p，则q”，“若q，则p”的真假．

(2).从集合的角度判断：若p以集合A的形式出现，q以集合B的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则关于p，q的充分条件、必要条件又可叙述为：

①.若A⊆B，则p是q的充分条件；

②.若A⊇B，则p是q的必要条件；

③.若A＝B，则p是q的充要条件；

(3).利用等价转化法：条件和结论带有否定性词语的命题，常转化为其逆否命题来判断真假．

题型2.根据充要条件求解参数的取值范围

例2.(1)(2017·长沙模拟)已知命题p：a≤x≤a＋1，命题q：x2－4x<0，若p是q的充分不必要条件，则a的取值范围是________．

(2).方程ax2＋2x＋1＝0(a∈R，a为常数)的解集只有一个负实根的充要条件是________．

答案(1)(0,3)

(2)a≤0或a＝1 (1)令M＝{x|a≤x≤a＋1}，N＝{x|x2－4x<0}＝{x|0

a>0，∵p是q的充分不必要条件，∴MN，∴解得0

1(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，∴原方程有一个负实根x＝－. 2当a≠0时，ax2＋2x＋1＝0只有一个负实根．∴方程有一个正根和一个负根或方程有两个相等的负根，当方程有一正一负根时，则x1x2＜0，

2

1∴a＜0，且Δ＝4－4a＞0，解得a＜0.当方程有两个相等的负根时，Δ＝4－4a＝0，a＝1，此时方程的根为－1，符合题意，综上，方程的解集只有一个负实根的充要条件是a≤0或a＝1.] 【变式训练2】

1.条件p：－2

) A．(4，＋∞)

B．(－∞，－4)

C．(－∞，－4]

D．[4，＋∞) 答案

(1)B解析

(1)由题意，可得p是q的充分不必要条件，∴{x|－2

∴－a>4，即a<－4. 2.已知α：x≥a，β：|x－1|<1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________．

解析：α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}，∵β：|x－1|<1，∴0

∴β可看作集合B＝{x|00”是“x

－1 解析由x2－2x－3>0，解得x<－1或x>3.由题意知，{x|x3}，所以a≤－1，

4.(2015·河南南阳二模)设命题p：数a的取值范围是________．

2x－111【解析】

由<0，得(2x－1)(x－1)<0，解得

0，

取值范围是2215．已知集合A＝{x|＜2x＜8，x∈R}，B＝{x|－1＜x＜m＋1，x∈R}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，2则实数m的取值范围是________．

1解析：A＝{x|＜2x＜8，x∈R}＝{x|－1＜x＜3}，∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A，

2∴AB，∴m＋1＞3，即m＞2.答案：(2，＋∞) 例3.已知P＝{x|x2－8x－20≤0}，S＝{x|1－m≤x≤1＋m}．

(1)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的充要条件，若存在，求出m的取值范围．

(2)是否存在实数m，使x∈P是x∈S的必要条件，若存在，求出m的取值范围．

解：由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，所以P＝{x|－2≤x≤10}．

1－m＝－2，m＝3，(1)因为x∈P是x∈S的充要条件，所以P＝S，所以所以这样的m不存在．

1＋m＝10，m＝9，1－m≥－2，(2)由题意x∈P是x∈S的必要条件，则S⊆P，所以所以m≤3.

1＋m≤10，综上，可知m≤3时，x∈P是x∈S的必要条件．

【变式训练3】

1.已知p：12x－1<0，命题q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的充分不必要条件，则实x－1x12；q：x2－2x＋1－m2≤0 (m>0)，若p是q的必要非充分条件，求实数m的取值范围．

3x－1解p：1－>2，解得x<－2，或x>10，A＝{x|x<－2，或x>10}．

3q：x2－2x＋1－m2>0，解得x<1－m，或x>1＋m，B＝{x|x<1－m，或x>1＋m}．

3

∵p是q的必要非充分条件，∴B1－m≤－2A，即且等号不能同时成立⇒m≥9，∴m≥9. 1＋m≥10

2.已知集合M＝{x|x<－3，或x>5}，P＝{x|(x－a)·(x－8)≤0}．

(1)求M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

解

(1)由M∩P＝{x|5

(2)求实数a的一个值，使它成为M∩P＝{x|5

1.根据充要条件求解参数范围的方法

(1).解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解．

(2).求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．

2.等价转化思想在充要条件中的应用

①.将p，q之间的关系转化成p，q之间的关系．

②.将条件之间的关系转化成集合之间的关系．

1.2 充分条件与必要条件(1)

【基础训练】

1.（2014北京）设a，b是实数，则“ab”是“a2b2”的（ D

）

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2015四川）

设a,b为正实数，则“ab1”是“log2alog2b0”的（

A

）. A.充要条件

B.充分不必要条件

C.必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3（2015安徽）设p：x3，q：1x3，则p是q成立的（

C.

）. A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

4.(2013·福建)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(

A

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．(2014·安徽)“x<0”是“ln(x＋1)<0”的(

B

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

0”是“|x1|„1”的（

B

）. 6.（2017天津）设xR，则“2x…A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

17．在△ABC中，“A>30°”是“sinA>”的(

) 2A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

8．(2017·南昌调研)m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋9＝0垂直的(

A

)

A．充分不必要条件

B.必要不充分条件

C．充要条件

D.既不充分也不必要条件

9.在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，则“a≤b”是“sin A≤sin B”的(

A

)

4

A．充要条件

B.充分不必要条件

C．必要不充分条件

D.既不充分也不必要条件

10．设A，B是两个集合，则“A∩B＝A”是“A⊆B”的(

C

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

11.设a，b都是不等于1的正数，则“3a>3b>3”是“loga3

B

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

12.已知向量a＝(m2，－9)，b＝(1，－1)，则“m＝－3”是“a∥b”的(

A

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

13.(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

A

)A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[考向2]∵直线a与直线b相交，故平面α与平面β有公共点，∴平面α与平面β相交．若平面α和平面β相交，则直线a与b可能相交、平行或异面

14.函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(

A

) A．m＝－2

B．m＝2

C．m＝－1

D．m＝1 π115.(2015年聊城模拟)“θ≠”是“cos θ≠”的________条件．答案

必要不充分

32116.“m<”是“一元二次方程x2＋x＋m＝0有实数解”的____________条件．答案

充分不必要

4【能力提升】

11.(2014·福建)直线l：y＝kx＋1与圆O：x2＋y2＝1相交于A，B两点，则“k＝1”是“△OAB的面积为”的( A ) 2A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分又不必要条件

解析

(1)将直线l的方程化为一般式得kx－y＋1＝0，所以圆O：x2＋y2＝1的圆心到该直线的距离d＝1.又弦k2＋1长为21－2|k|2|k||k|1111＝2，所以S△OAB＝·2·2＝2＝，解得k＝±1.因此可知“k＝1”是“△OAB2k＋1k＋1k＋12k＋1k＋121的面积为”的充分而不必要条件，故选A. 22.如果x，y是实数，那么“x≠y”是“cos x≠cos y”的(

C

) A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分又不必要条件

设集合A＝{(x，y)|x≠y}，B＝{(x，y)|cos x≠cos y}，则A的补集C＝{(x，y)|x＝y}，B的补集D＝{(x，y)|cos x＝cos y}，显然CD，所以BA.于是“x≠y”是“cos x≠cos y”的必要不充分条件．

3.“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的(

A

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：由sin φ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此为曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点的充要条件，故“φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．

4．设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α.“m∥β”是“α∥β”的(

B

) A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5.（2015北京）设a，b是非零向量，“ab=ab”是“a//b”的（

A

）. A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

5

6．（2016·衡水中学）“x2＋(y－2)2＝0”是“x(y－2)＝0”的(

B

) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件

7. （2016·衡水中学）已知命题p：函数f(x)＝|x＋a|在(－∞，－1)上是单调函数，命题q：函数g(x)＝loga(x＋1)(a>0且a≠1)在(－1，＋∞)上是增函数，则p是q的(

C

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

由p成立，得a≤1，由q成立，得a>1，所以p成立时a>1，则綈p是q的充要条件．故选C 8.(2013年高考浙江卷)若α∈R，则“α＝0”是“sin α

A

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

π解析：若α＝0，则sin α＝0，cos α＝1，所以sin α

ππ9．条件p：<α<，条件q：f(x)＝logtan α

x在(0，＋∞)内是增函数，则p是q的(

B

) 42A．充要条件

B．充分不必要条件

C．必要不充分条件

D．既不充分也不必要条件

πππ，π⊂π＋kπ，π＋kπ＋kπ，＋kπ，解析：∵f(x)＝logtan αx在(0，＋∞)内是增函数，∴tan α>1，得α∈k∈Z，而224424(k∈Z)．∴p是q的充分不必要条件．

10.(2015·河南郑州联考)已知a，b为非零向量，则“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的(

C

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

[考向2]∵f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2，且f(x)＝(ax＋b)2为偶函数，

∴2a·b＝0，即a·b＝0，所以a⊥b；若a⊥b，则有a·b＝0，∴f(x)＝(ax＋b)2＝a2x2＋2a·bx＋b2＝a2x2＋b2为偶函数，∴“函数f(x)＝(ax＋b)2为偶函数”是“a⊥b”的充要条件，故选C. 11．(2016·枣强中学)设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(

A

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

先证“α⊥β⇒a⊥b”，∵α⊥β，α∩β＝m，b⊂β，b⊥m，∴b⊥α.又∵a⊂α，∴b⊥a，再证a⊥b⇒/

α⊥β，举反例，当a∥m时，由b⊥m满足a⊥b，此时二面角α－m－β可以为(0，π]上的任意角，即α不一定垂直于β，故选A. 12.(2016·衡水中学一轮检测)设等比数列{an}的公比为q，则“0

D

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

an＋1－an＝a1qn－a1qn1＝a1qn1(q－1)，而a1的正负性未定，故无法判断数列{an}的单调性，因此“0

13．(2016·武邑中学热身)已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．现－－有下列命题：

①.s是q的充要条件；

②.p是q的充分不必要条件；

③.r是q的必要不充分条件；

④.p是s的必要不充分条件；

⑤.r是s的充分不必要条件．

则正确命题的序号是(

B

) A．①④⑤

B．①②④ C．②③⑤

D．②④⑤

解析

∵q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件．∴q，r，s互为充要条件．又p是r的充分不必要条件，∴①s是q的充要条件正确；②p是q的充分不必要条件正确；③r是q的必要不充分条件错误；④綈p是綈s的必要不充分条件正确；⑤r是s的充分不必要条件错误，故选B.

6

14．(2016·枣强中学模拟)若A：log2a<1，B：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一个根小于零，则A是B的( A

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

解析

解法一：由log2a<1，解得00}，B＝{x∈R|x<0}，C＝{x∈R|x(x－2)>0}，则“x∈A∪B”是“x∈C”的(

C

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分又不必要条件

解析：由题意得A∪B＝{x∈R|x<0或x>2}，C＝{x∈R|x<0或x>2}，故A∪B＝C，则“x∈A∪B”是“x∈C”的充要条件．

16．已知向量a＝(sin α，cos α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b的夹角为θ，则“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的(

) A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

解析：选C.由条件可知|a|＝|b|＝1，若|a－b|＝1，则(a－b)2＝1，即a2＋b2－2a·b＝1，所以1＋1－2cos θ＝1，1即cos θ＝，故θ＝60°.同理，若θ＝60°，则|a－b|＝1也成立．故“|a－b|＝1”是“θ＝60°”的充分必要条件．

217.下列四个结论中：

①“λ＝0”是“λa＝0”的充分不必要条件；②在△ABC中，“AB2＋AC2＝BC2”是“△ABC为直角三角形”的充要条件；③若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b全不为零”的充要条件；④若a，b∈R，则“a2＋b2≠0”是“a，b不全为零”的充要条件．正确的是________．答案

①④

解析

由λ＝0可以推出λa＝0，但是由λa＝0不一定推出λ＝0成立，所以①正确．

由AB2＋AC2＝BC2可以推出△ABC是直角三角形，但是由△ABC是直角三角形不能确定哪个角是直角，所以②不正确．由a2＋b2≠0可以推出a，b不全为零，反之，由a，b不全为零可以推出a2＋b2≠0，

所以③不正确，④正确．

18．在下列四个结论中，正确的是________．(写出所有正确结论的序号) ①若A是B的必要不充分条件，则綈B也是綈A的必要不充分条件；

a>0②“”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件；

2Δ＝b－4ac≤0

③“x≠1”是“x2≠1”的充分不必要条件．答案

①②

1.2 充分条件与必要条件(2)

【基础训练】

1．(2017·石家庄质检)已知命题p：x2＋2x－3>0；命题q：x>a，且綈q的一个充分不必要条件是綈p，则a的取值范围是(

B

)

A．(－∞，1]

B.[1，＋∞)

C．[－1，＋∞)

D.(－∞，－3] 解x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故綈p：－3≤x≤1，又綈q：x≤a，由綈q的一个充分不必要条件是綈p，可知綈p是綈q的充分不必要条件，故a≥1.] 2.已知条件p：x2＋x－2>0，条件q：x>a，若q是p的充分不必要条件，则a的取值范围可以是(

A

) A．a≥1

B．a>1

C．a≥－1

D．a≤－2 3.若“x2>1”是“x

－1 解析

由x2>1，得x<－1或x>1.又“x2>1”是“x1”，反之不成立，

7

所以a≤－1，即a的最大值为－1. 4.若xm＋1是x2－2x－3>0的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．答案[0,2]

解析

由已知易得{x|x2－2x－3>0}{x|xm＋1}，又{x|x2－2x－3>0}＝{x|x<－1或x>3}，

－1≤m－1－1

5.已知集合A＝{x|y＝lg(4－x)}，集合B＝{x|x＜a}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．(4，＋∞)

[A＝{x|x＜4}，由题意知A2B，所以a＞4.] 6.已知p：x8x200，q：x22x1a20a0．若p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

解

p：x2－8x－20≤0⇔－2≤x≤10，q：x2－2x＋1－a2≤0⇔1－a≤x≤1＋a.∵p⇒q，q⇒/ p，

1－a≤－2，∴{x|－2≤x≤10}{x|1－a≤x≤1＋a}．故有1＋a≥10，a>0，因此，所求实数a的取值范围是[9，＋∞)．

【能力提升】

1.设p：|4x－3|≤1；q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是(

A ) 1111A．[0，]

B．(0，)

C．(－∞，0]∪[，＋∞)

D．(－∞，0)∪(，＋∞) 22221解析

(1)设A＝{x||4x－3|≤1}，B＝{x|x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0}，易知A＝{x|≤x≤1}，B＝{x|a≤x≤a＋1}．

211a≤2，a<2，由綈p是綈q的必要不充分条件，从而p是q的充分不必要条件，即AB，∴或

a＋1>1a＋1≥1，1故所求实数a的取值范围是[0，]．

22.f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)＋1<3}，Q＝{x|f(x)<－4}，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是(

D

) A．t≤－1

B．t>－1

C．t≥3

D．t>3 答案.依题意，P＝{x|f(x＋t)＋1<3}＝{x|f(x＋t)<2}＝{x|f(x＋t)3. 3．(2015·河南省实验中学模拟)设条件p：|x－2|<3，条件q：0

A

)

A．(0，5]

B．(0，5)

C．[5，＋∞)

D．(5，＋∞) [考向3]因为条件p：|x－2|<3，所以可得p：－10，4.函数f(x)＝x有且只有一个零点的充分不必要条件是(

) －2＋a，x≤0

且两个等号不同时成立，解得a≥9.

11A．a<0

B．0

D．a≤0或a>1 22

8

6．方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是

(

C

)．

A．0

B．a<1

C．a≤1

D．0

法一

(直接法)当a＝0时，x＝－符合题意．当a≠0时，若方程两根一正一负(没有零根)，

2Δ＝4－4a>0，a<1，则1⇔a<0a<0

Δ＝4－4a≥0，－2<0，⇔a<0；若方程两根均负，则a1a>0

a≤1，⇔⇔00

综上所述，所求充要条件是a≤1. 法二

(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B，所以选C.答案

C 7.已知集合A＝{x|x2－mx＋1＝0}，若A∩R＝∅，则实数m的取值范围为(

A

) A．m<4

B．m>4

C．0

D．0≤m<4 思维点拨

考虑条件所对应集合的包含关系，“以小推大”．

(2)∵A∩R＝∅，则A＝∅，即等价于方程x2－mx＋1＝0无实数解，即Δ＝m－4<0，即m<4，选A. 注意m<0时也表示A＝∅. 8.(2016·浙江嘉兴一模)命题“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题的一个充分不必要条件可以是(

B

) A．a≥4

B．a>4

C．a≥1

D．a>1 考向3]若“对任意x∈[1，2)，x2－a≤0”为真命题，则有a≥(x2)max，其中x∈[1，2)，所以a≥4，命题成立的一个充分不必要条件即寻找[4，＋∞)的一个真子集即可，故选B. 9.(2015·安徽望江中学调研)已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若p是q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．

1【解析】

方法一：由2x2－3x＋1≤0，得≤x≤1，

21≤x≤1.由x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0，得a≤x≤a＋1，∴命题q为{x|a≤x≤a＋1}．

∴命题p为x21x>1或x<，q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x

p对应的集合A＝x21110，.

∴a＋1≥1且a≤，∴0≤a≤.即实数a的取值范围是222方法二：∵p是q的必要不充分条件，∴根据原命题与逆否命题等价，得p是q的充分不必要条件．

1≤x≤1，q：Q＝{x|a≤x≤a＋1}，

由方法一知p：P＝x21a≤，1120，

∴p⇒q，即PQ⇔∴0≤a≤.【答案】

22a＋1≥1，10.已知集合A是函数y＝lg(20＋8x－x2)的定义域，集合B是不等式x2－2x＋1－a2≥0(a>0)的解集，p：x∈A，q：x∈B.

9 

(1)若A∩B＝∅，求a的取值范围；

(2)若p是q的充分不必要条件，求a的取值范围．

解

(1)由题意得A＝{x|－2

1＋a≥10若A∩B＝∅，则必须满足1－a≤－2，解得a≥9.∴a的取值范围为a≥9. a>0(2)易得綈p：x≥10或x≤－2.∵綈p是q的充分不必要条件，

10≥1＋a∴{x|x≥10或x≤－2}是B＝{x|x≥1＋a或x≤1－a}的真子集，则－2≤1－a，解得0

a>0

∴a的取值范围是0

10