1.4.1 全称量词第二课时教学实录

全称量词与存在量词

教学目标：1．理解全称量词、存在量词，能够用符号表示全称命题、特称命题，并会判断其真假．

2．掌握判断全称命题、特称命题真假的判断方法．

教学重点：理解全称量词、存在量词的概念及区别；

教学难点：全称命题、特称命题真假的判断；

课 型：新授课

教学过程：

一、复习旧知：引导学生回顾命题的概念。

二、思考？

下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？

（1）x3；

（2）2x1是整数；

（3）对所有的xR，x3；

（4）

对任意一个xZ，2x1是整数

三、引入基本概念

语句（3）在（1）的基础上，用短语“对所有的”对变量x进行限定；

语句（4）在（2）的基础上，用短语“对任意一个”

对变量x进行限定，

从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句。

短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。

另外，常见的全称量词还有“一切”

“每一个”

“任给”等。

例如，命题：

对任意的nZ，2n1是奇数；

所有的正方形都是矩形；

每一个三角形都存在外接圆；

对一切无理数x，3x2还是无理数；

任给一个实数，它的平方都是非负数。

都是全称命题。

通常，将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)表示，变量x的取值范围用M表

示。那么，全称命题“对M中任意一个x，有p(x)成立”可用符号简记为xM,p(x)

读作“对任意x属于M，有p(x)成立。数学中经常出现这种用符号语言表达的全称命题。

如下面的例子：（1）xR,sin2x2sinxcosx；

（2）nN,4n2m,mN

问题：对给定的全称命题，如何判断它的真假呢？

例1：判断下列全称命题的真假

（1）

所有的素数是奇数；

（2）

对每一个无理数x，x也是无理数；

（3）

xR,x11

222

通过对上述三个全称命题进行分析，最后引导学生自主总结出一般方法：

要判定全称命题是真命题，需对集合M中每个元素x，证明p(x)成立；如果在集合M中找到一个元素x0，使得p(x0)不成立，那么这个全称命题就是假命题．

接下来的知识可以让学生自学

四、思考？

下列语句是命题吗？（1）与（3），（2）与（4）之间有什么关系？

（1）2x13；

（2）x能被2和3整除；

（3）存在一个x0R，使2x013；

（4）

到少有一个x0Z，x0能被2和3整除是整数

五、引入基本概念

语句（3）在（1）的基础上，用短语“存在一个”对变量x进行限定；

语句（4）在（2）的基础上，用短语“至少有一个”

对变量x进行限定，

从而使（3）（4）成为可以判断真假的语句。

短语“存在一个”“

至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。

另外，常见的存在量词还有“有些”

“有一个”

“对某个”“有的”等。

例如，命题：

有些奇函数的图象不过原点；

有一个四边形没有外接圆；

有的无理数的平方还是无理数；

对某个实数x，它的算术平方根为0。

都是特称命题。

特称命题“存在M中的元素x0，使p(x0)成立”可用符号简记为x0M,p(x0)

读作“存在M中的元素x0，使p(x0)。

问题：对给定的特称命题，如何判断它的真假呢？

例2：判断下列特称命题的真假

（1）

存在两个相交平面垂直于同一条直线；

（2）

有些整数只有两个正因数；

2（3）

有一个实数x0，使x02x030。

通过对上述三个全称命题进行分析，最后引导学生自主总结出一般方法：

要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中找到一个元素x0，使p(x0)成立即可，否则，这一特称命题就是假命题．

六、课堂练习

1．判断下列全称命题的真假：

（1）每个指数函数都是单调函数；

（2）任何实数都有算术平方根；

（3）xx∣x是无理数2．判断下列特称命题的真假：

2

（1）x0R,x00；

，x2是无理数。

（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；

（3）x0x∣x是无理数

，x02是无理数。