习题2.3课堂实录【3】

双曲线的标准方程与几何性质

环节1

明晰高考要求

考试说明对双曲线的要求是了解双曲线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线），在高考中以选择题或填空题的形式出现，主要考查两类题型：

①双曲线的方程

真题示例

x2y2题1【2017天津】已知双曲线221(a0,b0)的左焦点为F，离心率为2.若经过F和abP(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为（

）

x2y2x2y2x2y2x2y21

（B）1（C）11（A）（D）44884884

x2y25题2【2017课标3】已知双曲线C：221

(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为yx,且与ab2x2y21有公共焦点，则C的方程为（

）

椭圆123x2y21

A．810x2y21

B．45x2y21

C．54x2y21

D．43②双曲线得几何性质及应用

真题示例

x2y25题3【2013课标1】已知双曲线C：221（a0,b0）的离心率为，则C的渐近线ab2方程为（

）

A.y111x

B.yx

C.yx

D.yx

432x2y2题4【2016课标2】圆已知F1,F2是双曲线E:221的左，右焦点，点M在E上，MF1与abx轴垂直，sinMF2F1,则E的离心率为（

）

13

1

3（A）2

（B）2

（C）3

（D）2 题5【2014课标1】已知F是双曲线C：x2my23m(m0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（

）

A.3

B.3

C.3m

D.3m

环节2

问题自主解决

1、回归教材

题组1 题1 （选修2—1第二章习题A组第1题）双曲线4x2-y2+64=0上一点P到它的一个焦点的距离等于1，那么点P到另一个焦点的距离等于

。

题2 （选修2—1第二章习题A组第2题）求适合下列条件的双曲线的标准方程：

（1）焦点在x轴上，a25，经过点A（-5，2）；

（2）经过两点A(7,62),B(27,3)。

题组1 自主问题探究

问题1：在双曲线的定义中要注意什么条件？若将条件中“P到它的一个焦点的距离等于1”改为“P到它的一个焦点的距离等于20”，则答案是什么？

问题2：求双曲线的方程需要解决的两个问题：定性是指什么？定量是指什么？（定量之间又有什么关系？）

问题3：在不好确定焦点在x轴还是在y轴时，能否用一个统一的方程来表示双曲线？

题组2 x2y21表示双曲线，求m题3 （选修2—1第二章P55课后练习第3题）已知方程2mm1的取值范围。

2

x2y21与曲线题4

（选修2—1第二章复习参考题第3题改编）曲线169x2y21(9k16)的（

）

16k9kA、实轴长相等

B、虚轴长相等

C、焦距相等

D、以上都不对

题组2

自主问题探究

x2y21是双曲线的标准方程吗？若不是，你能加上一些条件之后能表示双曲问题4：方程mn线吗？

x2y21在什么条件下表示椭圆？在什么条件下表示双曲线？

问题5：方程mn

2、高考真题精编

题组1 x2y2题1（2016年课标2）圆已知F1,F2是双曲线E:221的左，右焦点，点M在E上，MF1ab1与x轴垂直，sinMF2F1,则E的离心率为（

）

33（A）2

（B）2

（C）3

（D）2 x2y2题2（2017课标1）已知双曲线C：221（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为ab半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点.若∠MAN=60°，则C的离心率为

. y2题3（2017北京）若双曲线x1的离心率为3，则实数m=_________. m2题组2 x2题4（2015年课标1）已知M（x0，y0）是双曲线C：y21上的一点，F1、F2是C上的两2

3

个焦点，若MF1MF2＜0，则y0的取值范围是( )

（A）（-333322222323，）（B）（-，）（C）（，）

（D）（，）

33333366x2y21表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为题5【2016课标1】已知方程22mn3mn（A）(1,3)

（B）(1,3)

4，则n的取值范围是（

）（C）(0,3) （D）(0,3)

题6（2014 大纲理

9）已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，点A在C上，若F1A2F2A，F2，则cosAF2F1（

）.A．环节3 经典考题选讲

x2y2例1（2015天津理6）已知双曲线221a0,b0

的一条渐近线过点2,3

，且

ab2211

B．

C．

D．

4343双曲线的一个焦点在抛物线y247x的准线上，则双曲线的方程为（

）. x2y21

A．2128x2y21

B．2821x2y21

C．34x2y21D．43

x2y2例2（2015重庆理10）设双曲线221a0,b0的右焦点为F，右顶点为A，过

abF作AF的垂线与双曲线交于B，C两点，过B，C分别作AC，AB的垂线，两垂线交

于点D.若D到直线BC的距离小于aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是

（

）. A.1,00,1

B. ,11,

C.2，00，2

D. ，-22，+

环节4

规律总结提升

1、

2、

3、

4、

4

环节5

考题精选精做

x2y2y=2x+10，题1（2014 天津）已知双曲线2-2=1(a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l：ab双曲线的一个焦点在直线l上，则双曲线的方程为（

）. x2y23x23y23x23y2x2y2=1-=1

D.-=1

=1

B.-A.-C.20510025520

25100x2y2x2y21与曲线1的题2（2014 广东）若实数k满足0k9,则曲线（

）. 259k25k9A.焦距相等

B.实半轴长相等

C. 虚半轴长相等

D.离心率相等

y2题3（2014 北京）设双曲线C经过点2,2，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为4________；渐近线方程为________. x2y21

的左、右焦点分别为F1,F2，点P在双曲线E

题4（2015福建）若双曲线E:916上，且PF13，则PF2（

）.A．11

B．9

C．5

D．3 x2y2题5（2016天津）已知双曲线2=1b0，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径的4b圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为（

）. x2y2x23y2x24y2x2y2=1

B.=1

C.=1

D.=1

A.412444344x2y2x2y2题6（2014 山东）已知a0,b0,椭圆C1的方程为221，双曲线C2的方程为221，ababC1与C2的离心率之积为3，则C2的渐近线方程为（ ）. 2A.x2y0

B.2xy0

C.x2y0

D.2xy0

y2题7（2014 北京）设双曲线C经过点2,2，且与x21具有相同渐近线，则C的方程为4________；渐近线方程为________.

5

题8（2015江苏）在平面直角坐标系xOy中，P为双曲线x2y21右支上的一个动点．若

点P到直线xy10的距离大于c恒成立，则实数c的最大值为

．

xy2yx2π1与C2:1题9（2013湖北）已知0，则双曲线C1:4cos2sin2sin2sin2tan2

22的（ ）. A．

实轴长相等 B．虚轴长相等 C．焦距相等 D．离心率相等

x2y2题10（2015湖南）设F是双曲线C:221的一个焦点，若C上存在点P，使线

ab段PF的中点恰为其虚轴的一个端点，则C的离心率为

. 2x2y2题11（2107课标2）若双曲线C:221a0,b0的一条渐近线被圆x2y24所ab截得的弦长为2，则C的离心率为（

）. A．2

B．3

C．2

D．23

3x2题12（2017江苏）在平面直角坐标系xOy中，双曲线y21的右准线与它的两条渐近线3分别交于点P,Q，其焦点是F1,F2，则四边形F1PF2Q的面积是

．

6

参考答案

环节1 ab题1、B；解析：由题意得40解得：c4,ab22，所以双曲线方程为：b10(c)ax2y21，故选B；

88题2、B；【解析】

x2y2b试题分析：双曲线C：221

(a＞0,b＞0)的渐近线方程为yx

，

aab椭圆中：a212,b23,c2a2b29,c3

，椭圆，即双曲线的焦点为3,0

，

b5a22据此可得双曲线中的方程组：ca2b2

，解得：a24,b25

，

c3xy21

.故选B. 则双曲线C

的方程为45

b215c2a2b2b1c5题3、【解析】由题知，，即=2=，∴=，∴=，∴C的渐近线方2244a2aaaa21程为yx，故选C. 2题4、A；

题5、【答案】：A；

x2y21，c23m3,c3m3

【解析】：由C：xmy3m(m0)，得3m322设F3m3,0，一条渐近线y3x，即xmy0，则点F到C的一条渐近线的距离3md3m3=3，选A.

1m7

环节2 题1 依题意得d18，解得d=17或d=-15（舍去）

2、高考真题精编

题组1 题1【答案】A

题2【答案】【解析】

试题分析：如图所示，作APMN，因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，则MN为双曲线的渐近线ybx上的点，且A(a,0)，|AM||AN|b，

a23

3而APMN，所以PAN30，

点A(a,0)到直线ybx的距离|AP|a|b|1ba22，

在Rt△PAN中，cosPAN|PA|，代入计算得a23b2，即a3b，

|NA|由c2a2b2得c2b，所以e题3【答案】2

【解析】

c2b23. a33b试题分析：a21,b2m

，所以

题组2 题4【答案】A

c1m3

，解得m2

. a18

x2y2题5、221表示双曲线，则m2n3m2n0

∴m2n3m2

mn3mn由双曲线性质知：c2m2n3m2n4m2，其中c是半焦距

∴焦距2c22m4，解得m1

∴1n3

故选A．

题2（2015年课标2 ）已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，∆ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为（

）

（A）5

（B）2

（C）3

（D）2

题2 【答案】D

9

环节3 x2y2b例1解析

双曲线221a0，b0的渐近线方程为yx，

aba由点2，3在渐近线上，所以2b3，

a2双曲线的一个焦点在抛物线y47x准线方程x7上，

x2y21.故选D. 所以c7，由此可解得a2，b3，所以双曲线方程为43例2解析

根据题意知点D一定在x轴上，所以点到直线BC的距离为DF，由图知

yBOAFCDx

10

b4BFAFDF，2a2a2b2aDF，又因为DFaa2b2，

所以DFa22aa2b2，解出b1，所以1b1，

a2b2aaa2b4b根据实际情况b0，所以1,0a0,1．故选A．

环节5

考题精选精做

题4 B解析

由双曲线定义得PF1PF22a6，即3PF26，得PF29．故选B．

题5 D 解析

根据对称性，不妨设A在第一象限，AxA,yA，

x2y2416bb44b2xyb12联立，得.所以，得. A,2AAb22b422b4b42yx2x2y2故双曲线的方程为=1.故选D. 412题8解析

找到P到直线xy10的最小距离（或取不到），该值即为实数c的最大值．

由双曲线x2y21的渐近线为xy0，易知xy10与xy0平行，

因此该两平行线间的距离即为最小距离（且无法达到），故实数c的最大值为

d12．

22题10解析

根据对称性，不妨设F(c,0)，短轴端点为(0,b)，从而可知点(c,2b)在双曲线

c24b2c上，所以221e5. abab题11解析

取渐近线yx，化成一般式bxay0，圆心2，0到直线的距离为3a2ba2b2，得c24a2，e24，e2．故选A. 3333P题12解析

双曲线的渐近线方程为yx，而右准线为x，所以,，2223

11

3133Q,S4，从而F1PF2Q223．故填23．

2222

12