习题2.4教案和课堂实录

直线与圆锥曲线

----直线与抛物线

【教学目标】

知识与技能： 1、掌握直线与抛物线三种位置关系的数与形的一一对应；

2、能利用方程组解的个数来判断直线与抛物线的位置关系；

3、充分利用韦达定理解决直线与抛物线有关弦的问题。

过程与方法：在探究过程中, 体会设而不求的思想,运用数形结合和方程的思想，以运动的观点观察问题，思考问题，分析问题,进一步提高学生分析和解决问题的能力

情感、态度与价值观：通过本节的探究性学习，让学生初步尝试数学研究的过程，体验成功的喜悦，从而激发学生学习数学的兴趣，增强学好数学的信心。

【教学重点与难点】

重点：直线与抛物线的位置关系及其有关弦的问题

难点：如何灵活应用有关知识解决问题

【教学方法】

引导式、启发式

【教学手段】

多媒体平台

【教学过程】

1．

开门见山，单刀直入

导入语：同学们，前面我们学习了直线与椭圆、双曲线的有关问题，这节课我们来研究直线与抛物线的有关问题。

2．

温故而知新，探究直线与抛物线的位置关系

知识回顾 1：直线与椭圆、双曲线的位置关系：

根据公共点的个数，直线与椭圆的位置关系分别有：相离、相交；直线与双曲线的位置关系分别有：相离、相切、相交（一个公共点- 1 -

或里两个公共点）；且相交有一个公共点时直线与双曲线的渐近线平行。（学生回答，教师投影图形）

动手探究：自己动手探究直线与抛物线的位置关系。（学生动手，教师巡视）

（投影学生的成果，并由学生自己分析讲解） 动脑思考：当直线与抛物线只有一个公共点时是什么情况呢?（相切或相交）（提问学生回答）

知识的综合应用:

直线与抛物线线只有一个公共点是直线与抛物线相切的_______ 条件. 知识回顾2 ：直线与椭圆、双曲线位置关系的判断。

（对于直线与椭圆，先联立方程组，再根据△的符号，若△＜0，则相离；若△=0，则相切；若△＞0，则相交。

对于直线与双曲线，先判断直线是否与渐近线平行；若平行，则直线与双曲线相交；若不平行，再联立方程祖根据△的符号；若△＜0，则相离；若△=0，则相切；若△＞0，则相交。）（学生回答，教师投影）

类比探究：如何判定直线与抛物线位置关系呢? （ ①判断直线与抛物线的对称轴是否平行；

②联立方程组,判△的符号。）（学生回答，教师投影）

（由旧知识引入新的问题，过度自然，符合学生的认知过程，激发了学生的求知

欲，使他们联系旧知识积极地思考问题，从而探究出新知识。）

3．

知识回归应用

应用一：位置关系问题

例1：已知抛物线的方程为y24x，直线l过定点P(2,1)，斜率为k；问：k为何值时，直线l与抛物线y24x（1）只有一个公共点？（2）有两个公共点？（3）没有一个公共点？

（由学生应用知识分析解题思路：利用数形结合，可先讨论直线与对称轴平行的情况，再联立方程组，讨论判别式△的情况）

（师生共同完成解题过程，教师板书第一问的过程，并强调注意细节地方，最后两问由学生在第一问基础上快速完成。）

- 2 -

（利用几何画板展示题中直线与抛物线随斜率变化时的公共点的变化情况，加强学生数形结合的解题思想。）

变式教与学，深化认识

变式1：过点P(4,4)作直线与抛物线y24x只有一个交点,这样的直线 条。

变式2：过点P(4,2)作直线与抛物线y24x只有一个交点,这样的直线有 条。 变式3：过点(0,1)与抛物线y22px(p0)只有一个公共点的直线条数

条。（由学生口答并分析，教师总结要强调数形结合的思想，并引入名言：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.”

。）

总结归纳：如何确定过定点且与抛物线只有一个公共点的直线的条数呢？（由学生同桌讨论，培养合作精神及总结归纳能力）

（当定点在抛物线上时有两条，当定点在抛物线内时有一条，当定点在抛物线外有三条。）

应用二：有关弦的问题：

例2：已知抛物线y24x，过点P（1，1）引一弦，使它恰在点P被平分，求这弦所在的直线方程。

（先由学生动手画图，教师引导：要求已知一点的直线方程，可通过什么来求呢？学生会马上反应过来---斜率，层层引导，有利与提高学生的分析问题的能力。）

（联系前几节课的知识学生可动手探究出方法: 法一:直接设直线的斜率，联立方程组,利用韦达定理和中点坐标，从而求出斜率；

法二:点差法,可得直线的斜率。 一题多解，开阔思维。

）

投影学生不同的解法过程，教师讲解时要提醒细节地方，如：要考虑斜率不存在时的情况及检验△）

变式教与学，深化拓展

引申１：求此弦AB的长度（学生讲方法—弦长公式，并由实际的计算让学生体- 3 -

会弦长的两种选取要根据实际情况，选取计算最简便的）

引申2：若C为抛物线上一点，且△ABC的面积为33，求点C的坐标。 2（学生探究方法：先把三角形面积表示出来。以AB为底，再利用点到直线的距离公式求高。）

4．创新应用

2y2x交于相异如图，设直 与抛物线 ayx2y o A B ．Ｐ

. C

x A、B两点，以线段AB为直径作圆H（H为圆心）试证抛物线顶点在圆H 的圆周上. （学生探究思路，各抒己见，一题多解）

（参考：法一：证明OB⊥OA，即证kOBkOA1

法二：向量法：证OB⊥OA即证

y1y2x1x21法三：证OH5．思悟小结：

我最大的收获是_______ 6．课后探究：

对直线与抛物线有关的问题做深入研究，写一篇学习体会或数学小论文。

7．作业：

《金版学案》必做：P54 1—9 选做：10

- 4 - 1AB）

2y o . H A B x

课后反思：

1.

要活用教材

新课程标准下,有多个版本的教材,内容编排不全相同,就是同一教材,如果教师不能领会和把握好数学的本质,内在的东西,在处理教材时往往因循守旧,照本宣科.伤其十指,不如断其一指,因此教师要大胆取舍,懂得是用教材而不是教教材.本节课就是本着这样的宗旨而设计的。

2．把课堂还给学生

本节课主要的指导思想是尽量让学生多动手，多思考，给多点机会学生展示其思维过程；培养学生的创新思维及总结归纳的能力，让学生尽量从自己的实践中体会知识的形成及提炼出知识应用的方法。

3．

抓好双基，提高能力

基本知识的掌握要有基本的能力训练,做练习是巩固和提高学生能力的基本途径,但要有针对性,不要滥,要形散神聚，还要活学活用，一举反三，提高学生解决问题的能力. 4．不足之处

由于时间有限,在敢于放手让学生大胆探究的同时,课堂的进程也受到一定的影响,教师很难把握. - 5 -