多边形的外角和优质公开课教案

教学设计：

《探索多边形的内角和与外角和》

（八年级上第四章第六节）

学校：通锦中学

姓名：杜晓宏

探索多边形的内角和与外角和（一）

一、教材与学情分析

(一) 教材分析：

本节课是学生在学习了三角形内角和的基础上进行研究的。它既是对三角形内角和知识的延伸与拓展，也为下一节学习用正多边形密铺奠定了基础，具有承上启下的作用。同时这些知识在生产和生活中经常用到，掌握这部分知识对学生参加实践活动具有实际意义，在内容上，从三角形内角和到多边形内角和再将内角和公式应用于多边形密铺，环环相扣，层层递进，这样编排易于激发学生的学习兴趣，适合学生的认知特点，通过这节课的学习，可以培养学生探索与归纳能力，体会从简单到复杂，从特殊到一般和转化等重要思想方法。

(二) 学情分析：

1、知识背景：学生已知三角形内角和等于180，会用字母表示数，了解基本的探索规律的方法。

2、能力背景：学生已经具备初步的探索规律的基础，需进一步提高其从未知转化成已知的能力，培养学生的创造性思维和探索能力，形成从特殊到一般和转化的数学思想和方法。

3、学习心理：学生属于英语实验班，思维活跃，具有好奇心，求知欲强，喜欢上数学课，具备参加探索活动的热情，因此，把这节课设计为探索活动课是切实可行的。

4、

预测目标：通过本节课学习，让学生会运用多边形内角和公式解决问题，且渗透转化思想和从特殊到一般的归纳方法，并使每一个学生都能积极地投入到探索过程中。



二、教学目标:

(一) 知识与技能目的：

1、理解多边形及正多边形的定义。

2、掌握并运用多边形内角和公式。

(二) 过程与方法目的：

1、

经历探索多边形内角和公式的过程，发展学生合情推理的意识，主动探索的习惯。

2、探索并了解多边形内角和公式，发展学生的说理能力及从未知转化为已知的能力和从特殊归纳到一般的能力。

(三) 情感态度与价值观目标：

1、师生共同活动，培养学生合作交流能力，训练学生的发散性思维，培养学生的创新精神。

2、使学生懂得数学内容普遍存在相互联系，相互转化的特点。

3、在探索过程中，进一步体会数学与现实生活有着密切的联系。

教学重点: 1、概念的认识与理解

2、多边形的内角和公式的探索、归纳及运用公式进行有关计算。

教学难点:

如何引导学生参与到探索多边形的内角和公式过程中，通过动手实践，观察、分析、归纳总结得出多边形的内角和公式。

三、教学媒体

在传统的板书设计上，利用课件辅助教学，适时呈现问题情景，以丰富学生感性认识，增强直观效果，提高课堂效率。且在探索四边形的四种分割方法时，利用几何画板动态演示运动的“O”点，突破学习上的障碍。

四、设计思想：

流程：

引入

归纳

先从特殊的四边形入手，求其内角和，再分别求五边形、六边形的内角和，从中寻找内角和规律。教师本着让每个学生都能参与，让每个学生的思维都得到训练，让每个学生的能力都得到培养和提高，这一教学理念来设置每个问题，每个教学环节。并及时给予学生肯定性或鼓励性的评价。

1.对原教学中问题的突破：按照《数学课程标准》的教学理念，尊重教材，又不能当教材的“复印者”，以提高学生学习数学的能力和方法为目的，根据学生已有的经验实验情况，机动灵活，创造性地使用教材。基于此想法，根据学生实际情况，对教材进行了重新编排的再加工（见附件一）。删掉了教材上现有的五边形分割方法，让学生真正在课堂上实现思维上的飞跃。

2.学习环境的营造：本节课为探究式学习，为避免弱势学生不能积极地参与到探索活动中，课堂上的位置也是精心编排的，让每组中都有不同层次的学生，以便培养学生的团队意识与合作意识。

应用

拓展

五、教学过程：

教学步骤

教师活动

学生活动

从生活中熟悉的图形感受多边形。

计算、回答。

回忆三角形的内角和。

学生个别回答，说方法。

包括用量角器量。

设计意图

创设情景，从学生身边熟悉的日常生活中，找寻数学问题。

以问题形式引出这节课的理论基础：三角形的内角和是180度。

1．巧设实际情景,引入课题

从学生熟悉的情（出示投影片:砖块，蜂巢等实物）景中引入课题。

引出这节课要研究的几何图

形――多边形。

2．讲授新课

提问:根据什么性质所得？

提出第一个探索活动。引导学生多角度解决问题，用动态演示几何画板（运动的O点）突破学生思维难点。

ABC中A＝110,C30,B?

提问：有哪些方法可以得到四边形的内角和? 为了训练学生思维的灵活性和广阔性，寻求多种不同的分割方法来得出四边形的内角和，以激起学生积极参与、尝试、探索。这既符合新课程教学理念，又符合学生的认知规律和年龄特征。

引导学生总结四种方法的共同点：

引导学生总结四观察，分析出结

分割

种方法的共同点：

论，感受把未知四边形内三角形内

转化

转化为已知的角和

角和

（未知）

思想。

（已知）

分组求五边形的内角和。

提出第二个探索活动。巡回指导，每组选一个代表上台讲述。

上台通过投影讲述，训练数学语言的表述能力。

总结把多边形分割成三角形的策略。渗透转化思想。

让学生把四边形的研究经验类比迁移到五边形的活动中，调动学生认知的最近发展区，使更多的学生参与到数学活动中。

“选择喜欢的方法”，即保证有效的教学时间，又尊重了学生的个体差异，体现了对学生的人文关怀，给学生提供了自主选择适合自己的探索问题策略的空间

“小组讨论”使弱势学生得到相应帮助。

探索n边形的内角和。

得结论：n边形的内角和等于

(n-2) 180

组织学生选择喜欢的方法探索，深入各小组，倾听他们的意见，注意学生参与的程度，并及时给予鼓励，肯定与纠正。

四人小组讨论，动手实验，用心探索，猜想归纳，组内合作交流，组间竞争，各尽其能。

最终归纳出n边形的内角和n－2180

教学步骤

练习：

1.

八边形的内角和是多少? 2.

正八边形的每个内角是多少度？正n边形的每个内角是多少度？

3．若一个多边形

，则它是八边形。

4．小明想：2008年奥运会在北京召开，设计一个内角和为2008 ْ的多边形图案多有意义，小明的想法能实现吗？

5．

一个多边形每个内角都等于140度,则它是几边形?

若发现问题，教师及时做好评讲纠正工作。

教师活动

学生活动

思考计算，回答在3题，从不同侧面，不同角度发表自己的看法和观点。

设计意图

第3题是一个条件开放型题，答案可填①有八个顶点，②有八个内角,③内角和为1080°。既巩固了新知，又训练了学生思维的灵活性与开阔性。

用数学知识解点评学生答案。

决实际问题，进一步体会其特点，体验成功的喜悦。

小结：通过这堂课的学习，你有什么收获？

组织，最后补充强调探索n边形内角和的方法：特殊到一般

充分发表自己感受，全班欣赏，补充，达成共识。

联系实际，激发兴趣

并强调方程思想。

4题为开放性题，可用算术，方程，数字特征解。解决策略多样化。且需验证解的合理性。得到n的取值范围。

这两题都是将几何问题用代数方法（方程）解决，注意了对学生学习能力的培养。

小结以开放的形式呈现，给学生提供了一个交流和倾听的机会。

课外拓展；下列圆半径为1,连接6个圆的圆心,可形成六边形ABCDEF,则图中6个扇形的面积之和是多少?

思考，讨论

留下探索空间，使探索活动延伸到课后。

六、教学反思：

这个案例呈现了初学几何的学生感到困难的问题――如何深入掌握多边形内角和定理。在案例完成后，有以下几方面反思：

1、探索课是否应提倡预习？

预习是一种良好的学习习惯。学生的学习习惯具有较强的自觉性和稳定性，预习是学生学习的起始环节，课前预习是一种科学的学习方法，也是培养学生自学能力的有效方法之一。但在本案例中，书上有明确的五边形分割方法，学生是通过预习可以顺利完成这个思维上的飞跃，而教师本意是希望通过提问，在课堂上实行这种飞跃的。所以，此时预习对于学生思维发生过程和思维发展过程起着一定的阻碍作用。因此，我对教材进行了重新设计，删除了五边形的分割方法，让学生在课堂上真正完成思维上的飞跃。

2．小组合作与分层教学

现代社会越来越强调人们在集体中协同工作的能力。对学生而言，是否善于与他人协同工作已经成为取得成功的重要条件。合作交流，这也是本堂课的情感目标。

但在实际实施过程中，常会出现一些小组讨论得热火朝天，而另一些基础较薄弱的组根本就不进行讨论的情况。因为这都是由于种种原因的影响，班级中学生的层次差别明显，有的甚至差异悬殊。因此，教师对学生座位进行了四人小组的精心安排，让每个小组中有不同层次的学生，使在分组讨论问题时四位同学之中可以相互配合、相互帮助，使各组水平相当，保证讨论的速度基本一致。

上升性思维是从个别的事物和经验中，通过分析、综合、比较、归纳，概括出具有一般特征和普遍规律性的思维。例如，对某些现象的概括，对某些经验的理论上的提炼，都运用这种思维。

发散性思维：着重测量发散思维的三个品质指标：流畅性——在短时间内思维发散的数量；变通性——思维在发散方向上所表现出的变化和灵活；独特性——思维发散的新颖性，独特的程度。

在小组讨论实施过程中，优生上升性思维较强而发散性思维较弱。例如：他们常只采用1种分割方法，但对归纳出n边形的内角和定理十分擅长。

差生对于无困难问题，思维反而更活跃，更自由，不受定式的约束，能够自由地把分割点放在多边形的内部外部，边上或顶点上，对于发散思维的三大品质指标而言，中差生的变通性和独特性更强。

对于这样的小组合作与分层教学有机实行，不仅在于优生能在差生困难问题上帮助差生，而且也可以充分调动差生的积极性，发挥他们的优势，增强他们的学习兴趣。

3. 创造宽松的教学氛围，使学生绽放闪光点

孔子说：“知之者不如好之者，好之者不如乐知者。”成功的教学所需要的不是强制，而是激发兴趣。在整堂课堂上，教师用举手投足，一颦一笑，时刻感染，吸引着学生，并给予学生的回答极大的赞赏。例如“这是一个伟大的研究成果”，“还有没有不同的研究成果？”充分体现了老师对学生劳动的尊重与欣赏。在宽松的教学氛围中，学生勇于展现自己。在练习“设计内角和为2008的多边形是否可行？”时，在学生回答出算术、方程方法后，此时，一名男同学（成绩中等）没有举手，直接站起来激动的说，他认为内角和＝（n2)180，必须为180的倍数，所以末数字尾最后一个数字必须为零，所以2008不可行。话音刚落，教室里响起了热烈的掌声，老师对学生大胆的质疑问题，主动追求知识，给予了很高的评价，再次把学生的学习热情推向高潮。在自主探究学习的课堂教学中，有时还会出现连老师也未曾想到的好方法、好建议，课堂将出现更多的不确定因素。师生之间是互教互学的平等和谐关系，课堂中的互动也将变成多方向、多中心的交叉互动关系。

4.

提问是否应十分明确？

教师是凭借语言传递信息来进行教学活动的，所以要提高数学课堂的教学效率，就必须提高信息载体――语言的功率。

教师问题提出不清楚，过宽，影响学生思维，造成学生无法理解教师真正意图。教师问题提得太小，太细。打得太牢，虽然降低了问题的难度，但也使学生的思维空间变得很小，学生思维空间小了，思维的差异性呈现不够，资源生成也变得很少。

我在实际教学中，执教两个层次的班，发现层次高的班，不需要提得过细。而层次略低的班，必须把问题分解，才能启发学生。所以，对于一些较难的问题，我设计了分层递进式提问。例：在分割四边形，提问第二种分割方法时

（师）：①你还有其它方法把四边形分成三角形吗？

②第一个方法是在四边形顶点处取一点，那这个点能不能取在其它地方呢？

③这个点能不能在四边形内部任取呢？

以上三个提问都针对同一问题，若第①问出，生有困难，师才提出第②问，生还不能答，师再提第③问。层层启发，所以提问时应细到什么程度，应由学生程度决定。

5、注意改进的方面：

在小组讨论前，应该留给学生充分的独立思考时间，不要让一些思维活跃的学生的回答代替了其他学生思考，掩盖了其他学生的疑问。

教无定法，贵在得法。在实际教学中有很多具体的情况和问题，需要我们不断灵活的进行探索，反思。才能使学生乐学数学，学好数学。才能使数学教学取得最佳效果。课程改革是一项长期、复杂和艰巨的任务，必须处理好继承与创新的关系，在对立中寻找平衡，在矛盾中建立统一，需要我们每一个教学工作者为此努力。

教学流程

创设情景引入课题

由问题引出

理论基础

多种方式探索

四边形的内角和

总结把多边形分割成三角形，渗透转化思想

分组探索

五边形内角和

教师

指导、监控

各组派代表

上台讲述

分组探索

n边形内角和

应用新知，尝试练习

归纳总结

课外拓展

布置课外作业

板书设计

探索多边形的内角和

三角形的内角和是180

1．多边形的定义

四边形

五边形

………

n边形

2．正多边形的定义

1803

180(n2)

分割

3．四边形

转化

三角形

1804360

1805360

4．N边形内角和（n2)180

(n3的自然数）1803－180

1804－180

n360

180(n1)180

1802

180