三角形中的垂直平分线PPT专用课堂实录内容

3线段的垂直平分线

第1课时 线段垂直平分线的性质定理及逆定理

【知识与技能】

证明线段垂直平分线的性质定理和判定定理

【过程与方法】

经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明能力,丰富对几何图形的认识

【情感态度】

通过小组活动，学会与他人合作，并能与他人交流思维的过程和结果. 【教学重点】

运用几何符号语言证明垂直平分线的性质定理及其逆命题. 【教学难点】

垂直平分线的性质定理在实际问题中的运用.

一.情景导入，初步认知

如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?

【教学说明】从实际问题入手，提高学生的学习兴趣，使学生明白数学来源于生活，用于生活. 二.思考探究，获取新知

探究1：垂直平分线的性质. 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC=BC，P是MN上的点．求证：PA=PB．

证明：∵MN⊥AB，

∴∠PCA=∠PCB=90°

∵AC=BC，PC=PC, ∴△PCA≌△PCB(SAS)．

∴PA=PB(全等三角形的对应边相等) 【归纳结论】线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等

探究2:垂直平分线判定

你能写出上面这个定理的逆命题吗?它是真命题吗? 逆命题就很容易写出来．“如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点在这条线段的垂直平分线上．”

写出逆命题后时，就想到判断它的真假．如果真，则需证明它；如果假，则需用反例说明．

引导学生分析证明过程. 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA=PB．

求证：P点在AB的垂直平分线上．

证明：过点P作已知线段AB的垂线PC,PA=PB，PC=PC，

∴Rt△PAC≌Rt△PBC(HL定理)．

∴AC=BC，

即P点在AB的垂直平分线上

【教学说明】此处证明可让学生用多种方法证明. 【归纳结论】到一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. 三.运用新知，深化理解

1.已知：如图，在

△ABC 中，AB = AC，O 是

△ABC 内一点，且 OB = OC.求证：直线 AO 垂直平分线段BC．

证明：∵ AB = AC，

∴

点 A 在线段 BC 的垂直平分线上（到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上）. 同理，点 O 在线段 BC 的垂直平分线上. ∴

直线 AO 是线段 BC 的垂直平分线（两点确定一条直线）.

2.如图，DE为△ABC的AB边的垂直平分线，D为垂足，DE交BC于E， AC = 5，BC = 8，求△AEC的周长.

解：∵DE为△ABC的AB边的垂直平分线, ∴AE=BE. ∴C△AEC=AC+AE+CE=AC+BE+CE=AC+BC=5+8=13. 3.如图，已知：线段CD垂直平分AB，AB平分∠DAC. 求证：AD∥BC

证明：∵CD是AB的垂直平分线，

∴AC=BC, ∴∠CAB=∠B, 又∵∠CAB=∠DAB, ∴∠DAB=∠B,∴AD∥BC. 4.如图，已知：AD是△ABC的高，E为AD上一点，且BE=CE. 求证：△ABC是等腰三角形.

证明：∵BE=CE，AD⊥BC ∴AD是BC的垂直平分线，

∴AB=AC, ∴△ABC是等腰三角形.

5.如图，已知：AB⊥BC，CD⊥BC，∠AMB=75°,∠DMC=45°，AM=DM. 求证：AB=BC.

证明：连接AC. ∠AMD=180°－75°－45°=60°，且AM=DM，

∴△AMD是等边三角形. ∴AM=AD. 又∵∠MDC=90°－45°=45°，

∴∠MDC=∠DMC，

∴CD=CM，

∴AC为DM的垂直平分线，

又∵CD=CM ∴CH是∠DCM角平分线

∴∠ACM=90°－45°=45°，

∴∠BAC=180°-∠B=∠ACM=90°-∠ACM=45°

∴AB=BC. 【教学说明】学生是第一次证明一条直线是已知线段的垂直平分线，因此老师要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程. 四.师生互动，课堂小结

通过这节课的学习你有哪些新的收获？还有哪些困惑？

布置作业:教材“习题1.7”中第1、3 题.

由于本节课是对垂直平分线的性质与判定的综合应用，学生掌握起来难度较大，所以要引导学生理清证明的思路和方法并给出完整的证明过程.