1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）板书设计

高中数学教案（新课标）

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

课

题：

1.3

空间几何体的表面积与体积

教学内容：

1.3.1

柱体、锥体、台体的表面积与体积

教学目的：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式;掌握简单几何体的体积与表面积的求法. 教学重点：了解柱体、锥体、台体的表面积和体积计算公式及其应用. 教学难点：表面积和体积计算公式的应用. 教学过程：

一、课前复习

分析展开图与其表面积的关系，其一，表面积是各个面的面积的和；其二，介绍求几何体表面积的方法，即把它们展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求立体图形的表面积. 棱柱的展开图是由平行四边形组成的平面图形，棱锥的展开图是由三角形组成的平面图形，棱台的展形图是由梯形组成的平面图形.∴求它们的表面积的问题就可转化为求平行四边形、三角形和梯形的面积问题. 圆柱的侧面可以展开成为一个矩形，圆锥的侧面可以展开成为一个扇形的，圆柱、圆锥、圆台都有统一的表面积公式，得出这些公式的关键是要分析清楚它们的底面半径、母线长与对应的侧面展开图中的边长之间的关系. 由于圆柱可看成上下两底面全等的圆台；圆锥可看成上底面半径为零的圆台，因此圆柱、圆锥就可以看成圆台的特例.这样，圆柱、圆锥的表面积公式就可以统一在圆台的表面积公式之下. 几何体占有空间部分的大小，叫做几何体的体积.这里的“大小”没有比较大小的含义，而是要用具体的“数”来定量的表示几何体占据了多大的空间，因此就产生了度量体积的问题. 度量体积时应知道：①完全相同的几何体，它的体积相等；一个几何体的体积等于它的各部分体积的和. 体积相等的两个几何体叫做等积体.相同的两个几何体一定是等积体，但两个等积体不一定相同.体积公式的推导是建立在等体积概念之上的. 二、讲解新课

提出问题

在初中，我们已经学习了正方体和长方体的表面积，以及它们的展开图（图1），你知道上述几何体的展开图与其表面积的关系吗？

引入新课

知识点1

空间几何体的表面积

空间几何体( 正方体、长方体)是由多个平面图形围成的几何体，它们的表面积就是各个面的面积的和. 我们可以把空间几何体展成平面图形，利用平面图形求面积的方法，求空间几何体的表面积. 知识点2

棱柱、棱锥、棱台的表面积

棱柱的侧面展开图是平行四边形，其表面积等于围成棱柱的各个面的面积的和；

棱锥的侧面展开图是由多个三角形拼接成的，其表面积等于围成棱锥的各个面的面积的和；

棱台的侧面展开图是由多个梯形拼接成的，其表面积等于围成棱台的各个面的面积的和. 知识点3

圆柱、圆锥、圆台的表面积

圆柱、圆锥、圆台的表面积等于侧面积与底面积的和，圆柱的侧面展开图是矩形，圆锥的侧面展开图是扇形. 底面是圆面，其底面积直接应用圆的面积公式即得.

圆柱的侧面展开图是一个矩形.如果圆柱的底面半径为r,母线长为l，那么圆柱的底面面积为πr2,侧面面积为2πrl.因此，圆柱的表面积S=2πr2+2πrl=2πr(r+l). 圆锥的侧面展开图是一个扇形.如果圆锥的底面半径为r, 母线长为l，那么它的表面积S=πr2+πrl=πr(r+l). 圆台的侧面展开图是一个扇环，它的表面积等于上、下两个底面的面积和加上侧面的面积，即S=π(r2+r′2+rl+r′l). 圆柱、圆锥、圆台侧面积的关系：

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

1

高中数学教案（新课标）

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

圆柱和圆锥都可以看作是圆台退化而成的几何体.圆柱可以看作是上下底面全等的圆台，圆锥可看作是上底面退化成一点的圆台，观察它们的侧面积，不难发现：

1212S圆台表=π(r1l+r2l+r12+r22)S圆锥表=πr(r+l). S圆柱表=2πr(r+l)rrrr0,rr从上面可以很清楚地看出圆柱和圆锥的侧面积公式都可以看作由圆台侧面积公式演变而来. 知识点4

柱体、锥体、台体的体积

柱体的体积公式：

V柱体=Sh(S为底面积，h为柱体的高)；

1Sh(S为底面积，h为锥体的高)；

31台体的体积公式：

V台体=(SSS'S')h(S′,S分别为上、下底面积，h为台体的高). 3锥体的体积公式：

V锥体=指出:

柱体可以看作是上、下底面相同的台体，锥体可以看作是有一个底面是一个点的台体.因此柱体、锥体可以看作“特殊”的台体. 当S′=0时，台体的体积公式变为锥体的体积公式; 当S′=S时，台体的体积公式变为柱体的体积公式. 柱体、锥体的体积公式可以看作台体体积公式的“特殊”形式. 它们之间的体积关系,如右图. 三、典例解析

例1

已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体S—ABC，求它的表面积.

解：由于四面体S—ABC的四个面是全等的等边三角形，所以四面体的表面积等于其中任何一个面面积的4倍.

先求△SBC的面积，过点S作SD⊥BC，交BC于点D. ∵BC=a,SD=SBBD221a31332SD=aa2()2a,∴S△SBC=BC·aa. 222422∴四面体S—ABC的表面积S=4×32a3a2. 4例2

已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等.若圆柱的底面半径为r，圆柱侧面积为S，求圆锥侧面积.

解：设圆锥的母线长为l，因为圆柱的侧面积为S，圆柱的底面半径为r，即S圆柱侧=S，根据圆柱的侧面积公式可得：圆柱的母线（高）长为SS，由题意得圆锥的高为，又圆锥的底面半径为r，根据勾2r2rS2S242r4S22股定理，圆锥的母线长l=r(. )，∴S圆锥侧=πrl=π·r·r()2r2r22例3

如图，一个圆台形花盆盆口直径为20 cm，盆底直径为15 cm，底部渗水圆孔直径为1.5 cm，盆壁长为15 cm.为了美化花盆的外观，需要涂油漆.已知每平方米用100毫升油漆，涂100个这样的花盆需要多少毫升油漆？（π取3.14，结果精确到1毫升，可用计算器）

解：如图，由圆台的表面积公式得一个花盆外壁的表面积

S=π［(15215201.52)1515］-π()≈1 000(cm2)=0.1(m2).涂100个这样的2222第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

2 花盆需油漆：0.1×100×100=1 000（毫升）.即涂100个这样的花盆需要1 000毫升油漆.

高中数学教案（新课标）

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

例4

有一堆规格相同的铁制（铁的密度是7.8 g/cm3）六角螺帽（图8）共重5.8 kg,已知底面是正六边形，边长为12 mm,内孔直径为10 mm,高为10 mm，问这堆螺帽大约有多少个?（π取3.14）

解：六角螺帽的体积是六棱柱体积与圆柱体积的差，

即V=1023×122×6×10-3.14×()×10≈2 956(mm3)=2.956(cm3). 24所以螺帽的个数为5.8×1 000÷(7.8×2.956)≈252(个). 例5

两个平行于圆锥底面的平面将圆锥的高分成相等的三段，求圆锥被分成的三部分的体积的比. 解：因为圆锥的高被分成的三部分相等，所以两个截面的半径与原圆锥底面半径之比为1∶2∶3，于是自上而下三个圆锥的体积之比为(3r2h)∶［3(2r)2·2h］∶［3(3r)2·3h］=1∶8∶27，所以圆锥被分成的三部分的体积之比为1∶（8－1）∶（27－8）=1∶7∶19. 例6

如图，有个水平放置圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米，4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间.（精确到0.01秒）

解：如图，设水面的半径为r，则EH=r-2分米，BG=2分米，

在△ABG中，∵EH∥BG，∴∴AHEH.∵AH=2分米, AGBG2r214.∴r=分米.∴当水面的高度为3分米时，容器中525876114214876292水体积为V水=·3［()+×4+42］=立方分米,∴所用时间为25≈36.69秒. 35525325四、课堂练习

21.

有两个相同的直三棱柱，高为，底面三角形的三边长分别为3a,4a,5a(a＞0).用它们拼成一个三棱柱a或四棱柱，在所有可能的情形中，表面积最小的是一个四棱柱，求a的取值范围.

解：两个相同的直三棱柱并排放拼成一个三棱柱或四棱柱，有三种情况：

四棱柱有一种，就是边长为5a的边重合在一起，表面积为24a2+28，三棱柱有两种，边长为4a的边重合在一起，表面积为24a2+32，边长为3a的边重合在一起，表面积为24a2+36，两个相同的直三棱柱竖直放在一起，有一种情况，表面积为12a2+48. 最小的是一个四棱柱，这说明24a2+28＜12a2+4812a2＜200＜a＜15. 32.

如图是一个正方体，H、G、F分别是棱AB、AD、AA1的中点.现在沿△GFH所在平面锯掉正方体的一个角，问锯掉部分的体积是原正方体体积的几分之几? 解：设正方体的棱长为a，则正方体的体积为a3. 三棱锥的底面是Rt△AGF，即∠FAG为90°，G、F又分别为AD、AA1的中11111a.所以△AGF的面积为aaa2.又因AH是三222281棱锥的高，H又是AB的中点，所以AH=a.所以锯掉的部分的体积

2111213111a.又因a3a3为aa,所以锯掉的那块的体积是原正方体体积的. 32848484848五、备选习题

点，所以AF=AG=1. 正方体的表面积是96，求正方体的体积. 解：设正方体的棱长为a，则6a2=96，解得a=4，则正方体的体积是a3=64. 第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

3

高中数学教案（新课标）

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

2.

圆锥的底面半径为1，高为3，求圆锥的表面积. 解：设圆锥的母线长为l，则l=31=2，所以圆锥的表面积为S=π×1×(1+2)=3π.

3.

正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为23，求这个正三棱锥的体积. 解：可得正三棱锥的高h=(23)(3)=3，于是V=22133293. 33444. 若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的_________倍. 解：圆柱的体积公式为V圆柱=πr2h，底面半径不变，高扩大为原来的4倍，其体积也变为原来的4倍；当圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42=16倍. 5. 三棱锥V—ABC的中截面是△A1B1C1，求三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A—A1BC的体积之比. 解：中截面将三棱锥的高分成相等的两部分，所以截面与原底面的面积之比为1∶4，将三棱锥A—A1BC转化为三棱锥A1—ABC，这样三棱锥V—A1B1C1与三棱锥A1—ABC的高相等，底面积之比为1∶4，于是其体积之比为1∶4. 6.

已知某个几何体的三视图如图24，根据图中标出的尺寸（单位：cm）,求这个几何体的体积. 解：该几何体是四棱锥，并且长为20 cm的一条侧棱垂直于底面，所以四棱锥的高为20 cm,底面是边长为20 cm的正方形（如俯视图），所以底面积是20×20=400 cm2，所以该几何体的体积是18000×400×20=cm3. 337.

已知一圆锥的侧面展开图为半圆，且面积为S，求圆锥的底面面积. 2lS,解：如图，设圆锥底面半径为r，母线长为l，由题意得2

l2r,解得r=SSS. ，所以圆锥的底面积为πr2=2228.

一个正三棱柱容器，底面边长为a，高为2a，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图，这时水面恰好为中截面，求正三棱柱中容器内水面的高度. 解：设容器内水面的高度为h，水的体积为V，则V=S△ABCh. 又图中水组成了一个直四棱柱，其底面积为3SABC，高度为2a，

43SABC2a33a. 则V=SABC·2a，∴h=44SABC29.

圆台的两个底面半径分别为2、4，截得这个圆台的圆锥的高为6，求这个圆台的体积. 解：设这个圆台的高为h，画出圆台的轴截面，可得26h，解得h=3，所以这个圆台的体积是462(2+2×4+42)×3=28π.

310.

有位油漆工用一把长度为50 cm，横截面半径为10 cm的圆柱形刷子给一块面积为10 m2的木板涂油漆，且圆柱形刷子以每秒5周的速度在木板上匀速滚动前进，则油漆工完成任务所需的时间是多少?（精第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

4

高中数学教案（新课标）

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

确到0.01秒）

解：圆柱形刷子滚动一周涂过的面积就等于圆柱的侧面积，∵圆柱的侧面积为

S侧=2πrl=2π·0.1·0.5=0.1π m2，又∵圆柱形刷子以每秒5周匀速滚动，∴圆柱形刷子每秒滚过的面积为10m2200.5π m，因此油漆工完成任务所需的时间t=≈6.37秒. 0.5m2211.

已知三棱锥O—ABC中，OA、OB、OC两两垂直，OC=1,OA=x，OB=y，且x+y=4，求三棱锥体积的最大值. 解：由题意得三棱锥的体积是锥的体积取最大值11112xyx(4x)(x-2)2+，由于x＞0，则当x=2时，三棱326632. 312.

如图所示，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为1，求这个几何体的体积.

解：根据三视图，可知该几何体是三棱锥，并且侧棱PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC.则该三棱锥的高是PA，底面三角

形是直角三角形，所以这个几何体的体积

为V=1111SABCPA1. 332613.

若一个正三棱柱的三视图如图13所示，求这个正三棱柱

的表面积. 解：该正三棱柱的直观图如图所示，且底面等边三

角形的高为23，正三棱柱的高为2，则底面等边三角

形的边长为4，所以该正三棱柱的表面积为

3×4×2+2××4×23=24+83. 14. 如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形，俯视图为一个半径为1的圆及其圆心，求这个几何体的体积

解：由三视图知该几何体是圆锥，且轴截面是等边三角形，其边长等于底面直径2，则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为3，所以这个几何体的体积为V=13121323. 315.

已知某几何体的俯视图是如图15所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6、高为4的等腰三角形. （1）求该几何体的体积V；

（2）求该几何体的侧面积S. 解：由三视图可知几何体是一个底面边长分别为6、8的矩形，高为4的四棱锥.设底面矩形为ABCD.如图16所示，AB=8，BC=6，高VO=4. （1）V=1×(8×6)×4=64. 3(2) 设四棱锥侧面VAD、VBC是全等的等腰三角形，侧面VAB、VCD也是全等的等腰三角形，在△VBC第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

5

高中数学教案（新课标）

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

中，BC边上的高为h1=VO(2AB28)42()242,在△VAB中，AB边上的高

22为h2=VO(211BC26)42()2=5.∴此几何体的侧面积S=2(64285)=40+242. 222216. 如图所示的几何体是一棱长为4 cm的正方体，若在它的各个面的中心位置上，各打一个直径为2 cm、深为1 cm的圆柱形的孔，求打孔后几何体的表面积是多少?（π取3.14）

解：因为正方体的棱长为4 cm，而孔深只有1 cm，所以正方体没有被打透.这样一来打孔后所得几何体的表面积，等于原来正方体的表面积，再加上六个完全一样的圆柱的侧面积，这六个圆柱的高为1 cm，底面圆的半径为1 cm.

正方体的表面积为16×6=96（cm2），一个圆柱的侧面积为2π×1×1=6.28（cm2），

则打孔后几何体的表面积为96＋6.28×6=133.68（cm2）.即几何体的表面积为133.68 cm2. 17.

如图18所示是由18个边长为1 cm的小正方体拼成的几何体，求此几何体的表面积. 解：18个小正方体一共摆了三层，第一层2个，第二层7个，因为18-7-2=9，所以第三层摆了9个.另外，上、下两个面的表面积是相同的，同样，前、后,左、右两个面的表面积也是分别相同的.

因为小正方体的棱长是1 cm，所以上面的表面积为12×9=9（

cm2），

前面的表面积为12×8=8（

cm2），左面的表面积为12×7=7（

cm2），则此几何体的表面积为9×2+8×2+7×2=48( cm2).即此几何体的表面积为48 cm2. 六、教学小结

数学模型方法不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法.我国从1992年开始的一年一度的大学生数学建模竞赛，正得到各大专院校的广泛支持和广大学生的积极参与，全国上下掀起了学数学建模、应用数学建模解决实际问题的高潮，这一切表明数学建模方法在理论上和应用上的重要性. 数学建模的过程大概可表示如下：实际问题;抽象、简化、假设，确定变量和参数;建立数学模型并求解，确定参数;用实测数据等来检验该数学模型;回到实际问题.

下面介绍数学模型法解决问题的一个例子：怎样使饮料罐制造用材最省的问题.

首先，把饮料罐假设为正圆柱体（实际上由于制造工艺等要求，它不可能正好是数学上的正圆柱体，但这样简化确实是近似的、合理的）.在这种简化下，我们就可以来明确变量和参数了，例如可以假设：

V——罐装饮料的体积，r——半径，h——圆柱高，b——制罐铝材的厚度，k——制造中工艺上必须要求的折边长度.上面的诸多因素中，我们先不考虑k这个因素.于是V=πr2h，由于易拉罐上底的强度必须要大一点，因而在制造上其厚度为罐的其他部分厚度的3倍.因而制罐用材的总面积

为A=3πr2b+πr2b+2πrhb=(4πr2+2πrh)b. 每罐饮料的体积是一样的，因而V可以看成是一个常数（参数），解出h=（2r2+V代入A，得A=A(r)=2πbr2V），从而知道，用材最省的问题是求半径r使A(r)达到最小.A(r)的表达式就是一个数学模型. r可以用多种精确或近似方法求A(r)的极小值及相应的r.易求得：h=V3423(4)2V3=4r,即罐()V3V2高h应为半径r的4倍. 当你拿起可口可乐、百事可乐、健力宝等饮料罐测量一下时，高h和半径r的比几乎与上述计算完全一致！其实这一点也不奇怪，这些大饮料公司年生产的罐装饮料都高达几百万罐，甚至更多，因而从降低成本和获取利润的角度，这些大公司的设计部门一定会考虑在同样工艺条件、保证质量前提下用材最省的问题. 第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

6

高中数学教案（新课标）

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

大家还可以把折边k这一因素考虑进去，然后得到相应的数学模型，并求解之，最后看看与实际符合的程度如何. 这个问题的解答可以给我们很多启发，我们会发现现实生活中有许多的类似问题. 例如，当你到民航售票处去买国际机票时，你在机票上会看到像“免费交运的行李为两件，每件最大体积（三边之和）不得超过62英寸（158 cm），但两件之和不得超过107英寸（273 cm），每件重量不得超过32公斤”的说明.试计算一下三边之和为158 cm的长方体（我们通常用的箱子、装货的纸箱都是这种形状的）要使之体积最大的长、宽、高应是多少？（试证明为正方体！）再到市场上去调查一下有多少箱子是这样的,为什么？

在马路上见到的油罐车上的油罐为什么不是正圆柱形而是椭圆圆柱形？体积一定、用材最少的油罐的尺寸应是什么形状？这些问题都会激起我们的思考和应用数学的兴趣.

第一章

空间几何体（1.3 第1课时）

7