1.3 空间几何体的表面积与体积（通用）教学设计

8.2 空间几何体的表面积与体积

一、选择题

1．棱长为2的正四面体的表面积是(

)．

A.3 B．4 C．43 D．16 13解析

每个面的面积为：×2×2×＝3.∴正四面体的表面积为：43. 22答案

C 2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 (

)．

3A．2倍 B．22倍 C.2倍 D.2倍

4解析

由题意知球的半径扩大到原来的2倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到3原来的22倍．

答案

B 3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为(

)．

142284280140A. B. C. D.

3333解析

根据三视图的知识及特点，可画出多面体

的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去

一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积

V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2×2×2＝答案

B 1312284. 34．某几何体的三视图如下，则它的体积是(

)

A．8－2π 3

B．8－ D.π

3C．8－2π 2π

3解析

由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为12π1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－. 33答案 A 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(

)

3πA．24－π B．24－

23C．24－π D．24－π

2解析

据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝24－答案

A 6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为(

) 3π. 212

ππA.95－ cm2 B.94－ cm2

22ππC.94＋ cm2 D.95＋ cm2

22

解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四ππ棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的表面441ππ积为2π××1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－＝64－.故其244π表面积是94＋. 2答案 C

7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(

)．

A．33 B．23 C.3 D．1 解析

由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，3在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠3SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中

，BD＝3(4－x)，3所以x＝3(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝3，所以三角形ABD为正三角形，31所以V＝S△ABD×4＝3. 3

答案

C 二、填空题

8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________．

113解析

依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝3. 334答案

3 9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________．

解析

设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所4以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是πr3，所以圆柱的体32πr3积和球的体积的比是＝3∶2. 4πr33答案 3∶2 10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．

解析

由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为接顶点和底面中心即为高，可求得高为2答案

611．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．

3，连22122，所以体积V＝×1×1×＝. 2326

解析

由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h＋r＝R.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π222r2＋h22＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2. 答案

2πR2

12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.

解析

根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为52＋122＝13 (cm)．

答案

13 三、解答题

13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．

(1)请画出该安全标识墩的侧视图；

(2)求该安全标识墩的体积．

解析

(1)侧视图同正视图，如图所示：

(2)该安全标识墩的体积为

V＝VPEFGH＋VABCDEFGH

＝13×402×60＋402×20

＝64 000(cm3)．

14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为3，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的表面积S. 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为3，

所以V＝1×1×3＝3. (2)由三视图可知，该平行六面体中，

A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1，

所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，

S＝2×(1×1＋1×3＋1×2)＝6＋23. 15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．

(1)求该几何体的体积V；

(2)求该几何体的侧面积S. 解析

由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，

其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相

对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、

右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示．

11(1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64. 33(2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝42＋32＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝42＋42＝42. 故几何体的侧面面积为：

11×8×5＋×6×42＝40＋242. S＝2×2216．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. (1)求该四面体的体积的最大值；

(2)当四面体的体积最大时，求其表面积．

解析

(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝

CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P，

BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC，

∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC

11＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD

331＝·S△BPC·AD

311＝··a

32＝12a－－·x

442x2a2aaa2－x2x2

3a2136≤·＝a(当且仅当x＝a时取等号)．

122821∴该四面体的体积的最大值为a3. 8(2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为6a，

2

∴S表＝2×3216a＋2××a× 422a2－62a

432610a3215a2＝a＋a×＝a＋

2242423＋152＝a. 4