3.3.4 两条平行直线间的距离优质课教案

3.1.2

两条直线平行与垂直的判定

四川省金堂实验中学

杨侠

（一）教学目标

1．知识与技能

理解并掌握两条直线平行与垂直的条件，会运用条件判定两直线是否平行或垂直.

2．过程与方法

通过探究两直线平行或垂直的条件，培养学生运用正确知识解决新问题的能力，以及数形结合能力.

3．情感、态度与价值观

通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养学生的成功意识，合作交流的学习方式，激发学生的学习兴趣.

（二）教学重点、难点

重点：两条直线平行和垂直的条件.

难点：启发学生，把研究两条直线的平行或垂直问题，转化为研究两条直线的斜率的关系问题. （三）教学方法

尝试指导与合作交流相结合，通过提出问题，观察实例，引导学生理解掌握两条直线平行与垂直的判定方法. 教学环节

教学内容

上一节课，我们已经学习了直线的倾斜角和斜率的概念，而且知道，可以用倾斜角和斜率来表示直线相对于x复习引入

轴的倾斜程度，并推导出了斜率的坐标计算公式.现在，我们来研究能否通过两条直线的斜率来判断两条直线的平行或垂直. 1．特殊情况下，两条直线平行与垂直. 两条直线中有一条直线没有斜率，（1）当另一条直线的斜率也不存在概念形成

时，两直线的倾斜角都为90°，它们互相平行；（2）当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°

，两直线互相垂直. 2．两条直线的斜率都存在时，两直线的平行与垂直.

概念深化

设直线l1和l2的斜率分别为k1和k2.我们知道，两条直线的平行或垂直是由两条直线的方向决定的，而两条直借助计算机，让学生通过

通过斜率相等判定两直线平行，是通过代数,21度量，感知的关系. 方法得到几何结论，体现了用代由学生讨论得出答案

由学生回忆上节课内容，设置情境引入新再由老师引入新课. 课

师生互动

设计意图

线的方向又是由直线的倾斜角或斜率决定的，所以我们下面要研究的问题是：两条互相平行或垂直的直线，它们的斜率有什么关系？首先研究两条直线互相平行（不重合）的情形.如果l1∥l2（图），那么它们的倾斜角相等；a1 = a2.（借助计算机，让学生通过度量，感知a1，a2的关系）

∴tga1 = tga2.即k1 = k2.

数方法研究几何问题的思想

反过来，如果两条直线的斜率相等：即k1 = k2，那么tga1 = tga2.

由于0°≤a1＜180°，0°≤a＜180°，∴a1 = a2

又∵两条直线不重合，∴l1∥l2.

结论：两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即l1∥l2k1 =

k2. 注意：上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1 = k2那么一定有l1∥l2；反之则不一定。

下面我们研究两条直线垂直的情形.如果l1⊥l2，这时1a2，否则两直线平行.设21（图）甲图的特征是l1与l2的交点在x轴上方；乙图的特征是l1与l2的交点在x轴下方；丙图的特征是l1与l2的交点在x轴上，无论哪种情况下都有借助计算机，让学生通过度量，感知k1，k2的关系，并使l1(或l2)转动起来，但仍保持l1⊥l2，观察k1，k2的关系，得到猜想，再加以验证，可使1为锐角，钝角等.

通过计算机的演示，培养学生的观察、猜想，归纳的数学思想方法. 1902.因为l1、l2的斜率分别是k1、k2，即190，所以20o.∴tg1tg(902)1.tg1

即k11或k1k2 = –1，k2反过来，如果k11即k1·k2 = k2–1不失一般性，设k1＜0.k2＞0，那么tg11tg(90o2).tg2可以推出a1 = 90°+2.l1⊥l2. 结论：两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数；反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直，即l1l2k11k1k21

k2

注意：结论成立的条件，即如果k1·k2 = –1，那么一定有l1⊥l2；反之则不一定. 例1 已知A (2,3)，B (–4,0)，P（– 3，例1

解：直线BA的斜1），Q（–1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，并证明你的结论. 率k1 = (3 – 0)/(2 – (–4)) = 0.5，

直线PQ的斜率k2

= (2 – 1)/( –1 – (–3)) = 0.5，

因为k1 = k2 = 0.5，所以直线BA∥PQ. 例2 已知四边形ABCD的四个顶点分试判断四边形ABCD的形状，并给出应用举例

证明.

(–2,6)，试判断直线AB与PQ的位置关系.

试判断三角形ABC的形状. 反馈练习

见导学案

例2

解：直线BA(–4)) = 0.5，直线PQ的斜讲解，使学生进别为A(0,0)，B (2, –1)，C (4,2)，D (2,3)，的斜率k1

= (3 –

0)/(2 –

通过例题的率k2 = (2 – 1)/( –1 – (–3)) 一步理解掌握直= 0.5，因为k1 = k2 = 0.5，线平行与垂直的条件. 例3

解：直线AB的斜率k1

= (6 –

0)/ (3 –

(–6)) = 2/3，

直线PQ的斜率k2

= 因为k1·k2 = –1，所以AB⊥PQ. 例3 已知A(–6,0)，B (3,6)，P (0,3)，Q

所以直线BA∥PQ. 例4

已知A(5, –1)，B (1,1)，C (2,3)，(6 – 3) (–2 – 0) = 3/2，

（1）两条直线平行或垂直的真实等价条件；

归纳总结

（2）应用条件，判定两条直线平行或垂直. （3）应用直线平行的条件，判定三点共线.

课后作业

1、教材P89习题3.1A组3、4、5 2、见《金太阳导学案》的第二课时

由学生独立完成

巩固深化新学知识

由学生归纳，教师再补充完善. 培养学生的概括能力

四、反馈练习

1．下列说法中，正确的是

（

）

A．两条直线平行，则它们的斜率相等

B．若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行

C．若两条直线斜率都不存在，则这两条直线平行

D．若两条直线的斜率都存在，但不相等，则这两条直线不平行

2．若直线l经过两点P(m,n)，Q(n,m)，mn，则直线l的倾斜角是

（

）

A．150

B．135

C．60

D．45

3. 已知A(5,1),B(1,1),C(2,3)，ABC的形状是

(

)

A．锐角三角形

B．钝角三角形

C．直角三角形

D．不能确定

4．已知直线a的斜率为2，直线b上有三个点A(3,5),B(m,7),C(1,n)，若a//b，则

mn

．

5．判断下列直线平行还是垂直：

①

经过两点A(2,3)，B(1,0)的直线l1，与经过点P(1,0)且斜率为1的直线l2；

②

经过两点C(3,1)，D(2,0)的直线l3，与经过点M(1,4)且斜率为5的直线l4；

6．试确定m的值，使过点A(m,1),B(1,m)

的直线与过点

P(1,2),Q(5,0)

的直线

⑴

平行；

⑵

垂直．

备选例题

例1

试确定M的值，使过点A(m + 1，0)，B(–5，m)的直线与过点C(–4，3)，D(0，5)的直线平行. 【解析】由题意得：

kABm0m531,kCD

5(m1)6m0(4)2由于AB∥CD，即kAB = kCD，

所以m1，所以m = –2. 6m2例2

已知长方形ABCD的三个顶点的坐标分别为A (0，1)，B (1，0)，C

(3，2)，求第四个顶点D的坐标. 【解析】设第四个顶点D的坐标为(x，y) 因为AD⊥CD，AD∥BC

所以kAD·kCD = –1，且kAD = kBC

y1y2,1x0x2x0x3(舍去),.

所以，

解得y1y3y120,x031所以第四个顶点D的坐标为(2，3). 例3

已知定点A(–1，3)，B(4，2)，以A、B为直径的端点，作圆与x轴有交点C，求交点C的坐标. 【解析】以线段AB为直径的圆与x轴交点为C. 则AC⊥BC，设C (x，0) 则kAC所以32

,kBCx1x4321

x1x4所以x = 1或2，所以C (1，0)或(2，0)