习题2.3课堂实录【1】

平面解析几何综合题

______定值问题

一、【考纲解读】

解析几何是高考的必考内容，它包括直线、圆、圆锥曲线和圆锥曲线综合应用等内容．以直线与圆锥曲线位置关系为载体，在代数、三角函数、向量等知识的交汇处设置解答题，考查圆锥曲线性质和向量有关公式、性质的应用，考查解决轨迹、不等式、参数范围、探索型等综合问题的思想方法，并且注重测试逻辑推理能力．

二、真题展示

1、【2015高考新课标2，理20】（本题满分12分）

已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

(Ⅰ)证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

（Ⅱ）若l过点(m,m)，延长线段OM与C交于点P，四边形OAPB能否为平行四3边形？若能，求此时l的斜率，若不能，说明理由．

x222、[2014·江西卷] 如图1-7所示，已知双曲线C：2－y＝1(a>0)的右焦点为F，点A，B分a别在C的两条渐近线上，AF⊥x轴，AB⊥OB，BF∥OA(O为坐标原点)．

图1-7 (1)求双曲线C的方程；

x0x(2)过C上一点P(x0，y0)(y0≠0)的直线l：2－y0y＝1与直线AF相交于点M，与直线xa|MF|3＝相交于点N.证明：当点P在C上移动时，恒为定值，并求此定值．

2|NF|

x2y233、(2013山东)椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，经ab2过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.

1

(1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明

二、知识与方法

定值问题的求解方法：一般通过取极端位置（即特殊位置）探索出定点、定值，然后进行一般性证明。

三、例题分析

例题1.【2015高考新课标2，理20】

已知椭圆C:9x2y2m2(m0),直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．

证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；

11＋为定值，并求出这个定值．

kk1kk2x2y2例题2,A为椭圆221(ab0)上的一个动点，弦AB,AC分别过焦点F1,F2，ab当AC垂直（2）设x轴时，恰好有AF1:AF23:1（1）求该椭圆的离心率；AF11F1B,AF22F2C，试判断12是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由。

2

规律方法

(1)先由特例得出一个值(此值一般就是定值)，再证明定值：将问题转化为证明待证式与参数(某些变量)无关．(2)先将式子用动点坐标或动线中的参数表示，再利用其满足的约束条件使其绝对值相等的正负项抵消或分子、分母约分得定值．

3x2y2【训练】已知点P(1，－)在椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)上，过椭圆C的右焦点2abF2(1,0)的直线l与椭圆C交于M，N两点．

(1)求椭圆C的方程；

|AB|2(2)若AB是椭圆C经过原点O的弦，且MN∥AB，W＝，试判断W是否为|MN|定值？若W为定值，请求出这个定值；若W不是定值，请说明理由．

规律总结

解析几何定值包括几何量的定值和曲线系(直线系)过定点等问题，处理时可以直接计算推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后再进行一般性证明．对于客观试题，通过特值法探求定值更能达到事半功倍的效果．

四．作业

x2y231.已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)的右焦点为F2(1,0)，点H(1，)在椭圆上．

ab2(1)求此椭圆方程；

(2)点M(x0，y0)在圆x2＋y2＝b2上，M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，问|F2P|＋|F2Q|＋|PQ|是否为定值？如果是，求出定值；如不是，说明理由．

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x2y232.椭圆C：2＋2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别是F1、F2，离心率为，经过F1且垂直于ab2x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1. (1)求椭圆C的方程；

(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2，设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M(m，0)，求m的取值范围；

(3)在(2)的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点，设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明11＋为定值，并求出这个定值．

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