小结板书设计及设计说明

例谈高考压轴题中不等式的证明方法

新化一中高三数学备课组

胡定新

学习目标：

1.复习巩固求函数导数技巧、利用导数研究函数的单调性、极值、最值等. 2.通过多角度解答2018年文数高考压轴题总结用导数证明函数不等式的方法和技巧. 3.提高逻辑推理、数据分析的能力. 学习过程：

一、2019年高考考核目标与要求：

①考查导数的概念、导数的几何意义、导数的运算以及导数的应用，重点考查利用导数的方法研究函数的单调性、极大（小）值、最大（小）值、研究方程和不等式. ②对函数和导数的考查侧重于理解和应用，试题有一定的综合性，并与数学思想紧密结合，对函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论思想等都进行深入的考查，体现能力立意的原则. 二、2019年高考《考试说明》摘抄

1．了解导数概念的实际背景.

2．通过函数图像直观理解导数的几何意义.

3．能根据导数的定义求五个常见幂函数的导数.

4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

5．能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间.

6．会用导数求函数的极值；会求闭区间上函数的最值.

【导读】高考对导数的综合考查将导数内容和传统内容中有关不等式和函数的单调性等有机地结合在一起考查，以函数为载体，以导数为工具，以考查函数诸多性质和导数极值理论、单调性、几何意义及其应用为目标，是高考导数与函数交汇试题的显著特点和命题趋向. 基础知识检测

1.已知函数f(x)＝aex－ln x－1，若x＝2是函数f(x)的极值点，则a=

. 2.已知函数f(x)＝12ex－ln x－1，则函数的增区间是

，减区间是

. 2e3.(选修1-1第99页B组习题（3）)证明不等式

：ex>1+x, x≠0. 4.比较下列两个代数式的大小.(1)ex－1

x ;(2)lnx

x－1(x>0)

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三、重解高考题、体会一题多解

(2018·数学（文）全国Ⅰ第21题)已知函数f(x)＝aex－ln x－1. （1）设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间；

1(2)证明：当a≥e时，f(x)≥0. 法一：虚设零点.利用导数求函数最值（导函数零点不可求时，先设零点而不求，然后整体代入最值中），转化为最值与零的大小关系.

思维升华：

法二：利用不等式性质放缩消去参数a，再构造新函数.

思维升华：

法三：利用经典不等式ex1x;lnxx1(x0)放缩，再结合不等式性质证明.

思维升华：

ex1x;lnxx1(x0)变形1.ex1x;变形2.exex;变形3.ex1把握经典的函数不等(x1).立足教材、x1式及其变形：

变形4.lnxx1(x0);变形5.lnx111(x0);变形6.lnx1(x0).xx

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变形公式还有很多，由于篇幅和时间关系，在这里就列举其中几个，也不探讨它们的证明.

同学们，(2018·数学（文）全国Ⅰ第21题)你还能想到其他的解法吗？

四、再解高考题，品味多题同解

1.(2013年全国卷(理)节选)设函数f(x)exln(xm).求证：当m2时，f(x)0.

课后思考题

2.(2015年全国卷1(文)节选)设函数f(x)e2xalnx.

(2)证明：当a0时，f(x)2aaln2a.

3.(2016年全国卷3(文)节选)设函数f(x)lnxx1.

(2)证明：当x(1,)时，1x1

lnxx.

五、研读高考题解法、掌握通性通法

方法一：虚设零点

1.(2013年全国卷(理)节选)设函数f(x)exln(xm).求证：当m2时，f(x)0.

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分析：因为f(x)ex11,利用极值点求出f(x)minf(x0).由极值点得ex0，两边取xmx0m11x0(x0m)m2m0.得证.x0mx0m对数得x0ln(x0m).代入f(x0)得f(x0)2.(2015年全国卷1(文)节选)设函数f(x)e2xalnx.2(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.a

分析：因为f(x)2e利用2e2x02xaa的零点满足2e2x0，利用极值求出f(x)minf(x0)2e2x0alnx0.xx0aa22消去f(x0)中的指数式和对数式得：f(x0)2ax0aln2aaln.即证.(x1)lnx(x1)alnx(x1)(x1)x02x0a

分析：先分离参数得ax1,x(1,).由lnxx1推出x1x1x12.故a2.

方法二：利用经典函分析：利用exx1ln(x2)ln(xm)，又三个等号不能同时成立，得证.2.(2016年全国卷3(文)节选)设函数f(x)lnxx1.x1(2)证明：当x(1,)时，1x.lnx分析：利用lnxx1推出数不等式放缩

x11x11;由lnx1推出x.得证.lnxxlnx3.(2016年全国卷2(文)节选)设函数f(x)(x1)lnxa(x1).(2)若当x(1,)时，f(x)0,求实数a的取值范围.1.(2013年全国卷(理)节选)设函数f(x)exln(xm).求证：当m2时，f(x)0.

1.(2013年全国卷(理)节选)设函数f(x)exln(xm).求证：当m2时，f(x)0.

方法三：放缩消参，再构造函数

分析：先利用exln(xm)exln(x2)放缩，然后构造函数g(x)exln(x2)，

再求g(x)的最小值，得证.

2.(2015年全国卷1(文)节选)设函数f(x)e2xalnx.2(2)证明：当a0时，f(x)2aaln.a

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分析：先利用exex放缩得到f(x)2exalnx，然后构造函数g(x)2exalnx，再求g(x)的最小值，得证.

六、课时小结

1.利用导数证明函数不等式能否总结成以下方法？

法一、虚设零点：构造函数，利用导数求函数最值（导函数零点不可求时，先设零点而不求，然后整体代入最值中），转化为最值与零的大小关系. 法二、放缩消参：利用不等式性质放缩消去参数，再构造新函数. 法三、合理放缩：利用经典不等式放缩，再结合不等式性质证明. 2.利用导数证明函数不等式问题属于综合题，注重数学核心素养的考查，对能力要求很高.但不管怎么考，都离不开我们的教材和高考考试大纲这一基本原则.由于时间关系,本节课只能就函数不等式的证明做一些探讨，与不等式有关的其他问题（如恒成立、求参数取值范围等）希望同学们在以后的学习中能学习并掌握. 5 第

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