1.1.1 命题教学设计及教案分析

1.1.1

命题

[学习目标]

1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式.

知识点一

命题的定义

(1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考]

(1)“x>5”是命题吗？

(2)陈述句一定是命题吗？

答案

(1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题. 知识点二

命题的结构

从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论.

题型一

命题的判断

例1

(1)下列语句为命题的是(

) A.x－1＝0

C.你会说英语吗？

(2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数；

②梯形是不是平面图形呢？

③22 015是一个很大的数；

④4是集合{2,3,4}的元素；

B.2＋3＝8 D.这是一棵大树

⑤作△ABC≌△A′B′C′. 答案

(1)B

(2)①④

解析

(1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟

并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故都不是命题.因此，判断一个语句是否为命题，关键有两点：①是否为陈述句；②能否判断真假. 跟踪训练1

判断下列语句是不是命题. (1)求证3是无理数；

(2)x2＋2x＋1≥0；

(3)你是高二学生吗？

(4)并非所有的人都喜欢苹果；

(5)一个正整数不是质数就是合数；

(6)若x∈R，则x2＋4x＋7＞0；

(7)x＋3>0. 解

(1)(3)(7)不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题. 题型二

命题真假的判断

例2

判断下列命题的真假：

(1)已知a，b，c，d∈R，若a≠c，b≠d，则a＋b≠c＋d；

(2)若x∈N，则x3>x2成立；

(3)若m>1，则方程x2－2x＋m＝0无实数根；

(4)存在一个三角形没有外接圆. 解

(1)假命题.反例：1≠4,5≠2，而1＋5＝4＋2. (2)假命题.反例：当x＝0时，x3>x2不成立. (3)真命题.∵m>1⇒Δ＝4－4m<0，

∴方程x2－2x＋m＝0无实数根. (4)假命题.因为不共线的三点确定一个圆，即任何三角形都有外接圆. 反思与感悟

要判断一个命题是真命题，一般需要经过严格的推理论证，在判断时，要有理有据，有时应综合各种情况作出正确的判断.而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可.

跟踪训练2

下列命题：

①若xy＝1，则x、y互为倒数；

②四条边相等的四边形是正方形；

③平行四边形是梯形；

④若ac2>bc2，则a>b. 其中真命题的序号是________. 答案

①④

解析

①④是真命题，②四条边相等的四边形是菱形，但不一定是正方形，③平行四边形不是梯形. 题型三

命题的构成形式

例3

(1)已知命题：弦的垂直平分线经过圆心并且平分弦所对的弧，若把上述命题改为“若p则q”的形式，则p是______________________，q是_________________________________. 答案

一条直线是弦的垂直平分线

这条直线经过圆心且平分弦所对的弧

(2)把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假. ①已知x，y为正整数，当y＝x＋1时，y＝3，x＝2；

②当abc＝0时，a＝0且b＝0且c＝0. 解

①已知x，y为正整数，若y＝x＋1，则y＝3，x＝2，假命题. ②若abc＝0，则a＝0且b＝0且c＝0，假命题. 反思与感悟

把一个命题改写成“若p，则q”的形式，首先要确定命题的条件和结论，若条件和结论比较隐含，要补充完整，有时一个条件有多个结论，有时一个结论需多个条件，还要注意有的命题改写形式也不惟一. 跟踪训练3

指出下列命题中的条件p和结论q，并判断各命题的真假. (1)若四边形是平行四边形，则它的对角线互相平分；

(2)若a>0，b>0，则a＋b>0；

(3)面积相等的三角形是全等三角形. 解

(1)条件p：四边形是平行四边形，结论q：四边形的对角线互相平分.真命题. (2)条件p：a>0，b>0，结论q：a＋b>0.真命题. (3)条件p：两个三角形面积相等，结论q：它们是全等三角形.假命题.

1.下列语句不是命题的个数为(

) ①2<1；②x<1；③若x<1，则x<2；④函数f(x)＝x2是R上的偶函数. A.0

C.2

B.1 D.3

答案

B 解析

①③④可以判断真假，是命题；②不能判断真假，所以不是命题. 2.下列命题为真命题的是(

) A.互余的两个角不相等

B.相等的两个角是同位角

C.若a2＝b2，则|a|＝|b| D.三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角

答案

C 解析

由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的. 3.下列命题是真命题的是(

) A.若a2＝4，则a＝2

11C.若＝，则a＝b

ab答案

C 解析

判断是假命题，只需举反例，用排除法，得到正确选项. 由a2＝4得a＝±2，排除A；

取a＝b＝－1，排除B；

－2<1，但(－2)2>12，排除D.故选C. 4.给出下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；

②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；

③垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是(

) A.①②

B.②③

C.③④

D.②④

答案

D 解析

当两个平面相交时，一个平面内的两条直线可以平行于另一个平面，故①错；由平面与平面垂直的判定定理可知②正确；空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行、相交也可以异面，故③错；若两个平面垂直，在一个平面内与它们的交线垂直的直线才与另一个平面垂直，故④正确.

1.根据命题的定义，可以判断真假的陈述句是命题.命题的条件与结论之间属于因果关系，真命题需要给出证明，假命题只需举出一个反例即可. 2.任何命题都是由条件和结论构成的，可以写成“若p，则q”的形式.含有大前提的命题写B.若a＝b，则a＝b

D.若a

成“若p，则q”的形式时，大前提应保持不变，且不写在条件p中.

一、选择题

1.下列语句是命题的是(

) A.2 015是一个大数

B.若两直线平行，则这两条直线没有公共点

C.对数函数是增函数吗？

D.a≤15 答案

B 解析

A、D不能判断真假，不是命题；B能够判断真假而且是陈述句，是命题；C是疑问句，不是命题. 2.下列命题是真命题的是(

) A.{∅}是空集

B.{x∈N||x－1|<3}是无限集

C.π是有理数

D.x2－5x＝0的根是自然数

答案

D 解析

x2－5x＝0的根为x1＝0，x2＝5，均为自然数. 3.已知α、β、γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是正确的.如果把α、β、γ中的任意两个换成直线，在所得的命题中，真命题有(

) A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

答案

C 解析

把α、β换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，由直线与平面垂直的判定定理可知，该命题是正确的；把α、γ换成直线a、b时，则该命题可改写为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β

”，它是判断直线与平面的位置关系的，显然是错误的；把β、γ换成直线a、b，则该命题改为“a∥α，b⊥α⇒a⊥b”，显然成立. 4.下列命题是真命题的是(

) A.若ab＝0，则a2＋b2＝0 B.若a>b，则ac>bc

C.若M∩N＝M，则N⊆M

D.若M⊆N，则M∩N＝M

答案

D 解析

A中，a＝0，b≠0时，a2＋b2＝0不成立；B中，c≤0时不成立；C中，M∩N＝M

说明M⊆N.故A、B、C均错误. 5.已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中的假命题是(

) A.若a∥b，则α∥β

B.若α⊥β，则a⊥b

C.若a、b相交，则α、β相交

D.若α、β相交，则a、b相交

答案

D 解析

D中如果α、β相交，a和b可以相交，也可以异面. 6.给定下列命题：

①若k>0，则方程x2＋2x－k＝0有实数根；

②若a>b>0，c>d>0，则ac>bd；

③对角线相等的四边形是矩形；

④若xy＝0，则x、y中至少有一个为0. 其中真命题的序号是(

) A.①②③

B.①②④

C.①③④

D.②③④

答案

B 解析

①中Δ＝4－4(－k)＝4＋4k>0，故为真命题；②由不等式的性质知，显然是真命题；③如等腰梯形对角线相等，不是矩形，故为假命题；④为真命题. 7.设f(x)，g(x)都是单调函数，有如下四个命题：

①若f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递增；

②若f(x)单调递增，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递增；

③若f(x)单调递减，g(x)单调递增，则f(x)－g(x)单调递减；

④若f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)－g(x)单调递减. 其中为真命题的是(

) A.①②

B.①④

C.②③

D.②④

答案

C 解析

对于②，构造函数f(x)＝x，g(x)＝－x，

则f(x)－g(x)＝2x，显然f(x)－g(x)单调递增；

对于③，构造函数f(x)＝－x，g(x)＝x，

则f(x)－g(x)＝－x－x＝－2x，

显然f(x)－g(x)单调递减. 综上可知，正确的命题为②③. 8.已知命题“直线l与平面α有公共点”是真命题，那么下列命题：

①直线l上的点都在平面α内；

②直线l上有些点不在平面α内；

③平面α内任意一条直线都不与直线l平行. 其中真命题的个数是(

) A.3

B.2

C.1

D.0 答案

D 解析

直线l与平面α有公共点，则直线l与平面α相交或直线l在平面α内，因此可判断①②③都是假命题，故选D. 二、填空题

9.命题“偶函数的图象关于y轴对称”写成“若p，则q”的形式为_____________________. 答案

若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称

10.在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点.下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的序号). ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穿多个整点的充分必要条件是：k与b都是有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线. 答案

①③⑤

1解析

①直线y＝x＋既不与坐标轴平行又不经过任何整点，故①正确.②直线y＝2x＋22经过整点(－1,0)，故②错.③若直线l经过无穷多个整点，当然经过两个不同整点.反之，设直线l经过两个不同整点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则直线l的方程为(x2－x1)(y－y1)＝(y2－y1)(x－x1).令x＝x1＋k(x2－x1)，y＝y1＋k(y2－y1)，且k∈Z，则x，y∈Z，易知点P(x，y)满足上述直线l的方程.从而可知l经过无穷多个整点，故③正确.④k，b都是有理数，但直线y＝kx1＋b不一定过整点，如直线y＝，故④错.⑤直线y＝2x恰好经过一个整点(0,0)，故⑤正确.2综上所述，①③⑤正确. 11.下列语句：

①三角形的内角和为π；

②0是最小的偶数吗？

③2不等于3；

④若两直线不平行，则它们相交. 其中，不是命题的序号为________，真命题的序号为________. 答案

②

①③

解析

②是疑问句，不是命题，其余都是命题.①③是真命题.若两直线不平行，则它们相交或为异面直线，④是假命题.

三、解答题

12.命题：3mx2＋mx＋1>0恒成立是真命题，求实数m的取值范围. 解

“3mx2＋mx＋1>0恒成立”是真命题，需对m进行分类讨论. 当m＝0时，1>0恒成立，所以m＝0满足题意；

当m>0，且Δ＝m2－12m<0，

即00恒成立，

所以0a，B：x>1，请选择适当的实数a，使得由A，B构造的命题“若p，则q”为真命题. 1＋a1＋a解

若A，则B，即“若x>，则x>1”，由命题为真命题可知≥1，解得a≥4；

551＋a1＋a若B，则A，即“若x>1，则x>”，由命题为真命题可知≤1，解得a≤4. 55综上所述，a≥4或a≤4.